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大学物理 No3作业解析大学物理作业 No.3 波的干涉 一、选择题 1. S1和S2是波长均为l的两个相干波的波源，相距3l/4，S1的相位比S2超前p2。若两波单独传播时，在过S1和S2的直线上各点的强度相同，不随距离变化，且两波的强度都是I0，则在S1、S2连线上S1外侧和S2外侧各点，合成波的强度分别是 D (A) 4I0， 4I0; (B) 0，0; (C) 0， 4I0; (D) 4I0，0。 解：在S1的外侧，两波源引起的分振动的相位差 PS1S2vQul13l43p=-2p，合振动振幅A=2A0，波的强度I=4I0； l22r-rp3p在S2外侧，Dj=j2-j1-2p21=-+=p，所以I = 0 。 l22Dj=j2-j1-2pr2-r1=-2. 沿着相反方向传播的两列相干波，其波动方程为y1=Acos2p(nt-x/l)和pl2y2=Acos2p(nt+x/l)。在叠加后形成的驻波中，各处的振幅是 D (A) A; (B) 2A; (C) 2Acos(2px/l); (D) 2Acos(2px/l)。 解: 两列波叠加后形成的驻波方程为 xöæy=y1+y2=2Acosç2p÷cos(2pnt)=A(x)cos(2pnt), løèxöæ振幅A(x)=2Acosç2p÷。 èlø3. 在一根很长的弦线上形成的驻波是 C (A) 由两列振幅相等的相干波，沿着相同方向传播叠加而形成的; (B) 由两列振幅不相等的相干波，沿着相同方向传播叠加而形成的; (C) 由两列振幅相等的相干波，沿着反方向传播叠加而形成的; (D) 由两列波，沿着反方向传播叠加而形成的。 解：驻波形成的条件：振幅相等的两列相干波沿同一直线相向传播。 4. 有两列沿相反方向传播的相干波，其波动方程分别为y1=Acos2p(nt-x/l)和 y2=Acos2p(nt+x/l)。叠加后形成驻波，其波腹位置的坐标为： C (A)x=±kl。 (B)x=±(2k+1)l。 (C)x=±kl/2。 (D)x=±(2k+1)l/4。 其中的k=0,1,2,3LL。 xöæ解：驻波方程为 y=y1+y2=2Acosç2p÷cos(2pnt) løèxöæs2p÷=±2A,波腹处 2Acoçèlø所以 x=±l xöæcoçs2p÷=±1,èlø2pxl=±kp， k2(k=0,1,2LL) éxö4pùæ5. 在弦线上有一简谐波，其表达式为y1=2.0´10-2cosê100pçt+÷-ú (SI) 203èøëû为了在此弦线上形成驻波，并且在x0处为一波腹，此弦线上还应有一简谐波，其表达式为： éxöpùæ D (A) y2=2.0´10-2cosê100pçt-÷+ú (SI) è20ø3ûëéxö4pùæ(B) y2=2.0´10-2cosê100pçt-÷+ú (SI) 203èøëûéxöpùæ (C) y2=2.0´10-2cosê100pçt-÷-ú (SI) è20ø3ûëéxö4pùæ(D) y2=2.0´10-2cosê100pçt-÷-ú (SI) 203èøëûéùxöæ解：设另一波的波动方程为y2=2.0´10-2cosê100pçt-÷+jú è20øëû4p4pæöæ+j÷çj-ç3÷coçs5px-3s10p0t+则驻波方程为 y=y1+y2=4.0´10-2coç2÷ç2çç÷çèøèx0处为波腹， ö÷÷ ÷÷ø4p+j=±2kp3(k=0,1,2L) 取k0，则j=-p y2=2.0´10-2cosê100pçt-43éëæèxö4pù ÷-20ø3úû二、填空题 1. 机械波在介质中传播过程中，当一介质质元的振动动能的相位是p2时，它的弹性势能的相位是p2。 解：波的动能和势能同相位，所以弹性势能的相位也是p2。 2. 一个点波源位于O点，以O为圆心作两个同心球面，它们的半径分别为R1和R2。在两个球面上分别取相等的面积DS1和DS2，则通过它们的平均能流之比P 1/P2R2/R1。解: 球面波振幅 Aµ221A1R21,=， 又平均能流P=rA2w2u2DS， rA2R1222PAR所以 1=12=22 P2A2R13. 如图所示，S1和S2为同相位的两相干波源，相距为L，P点距S1为r；波源S1在P点引起的振动振幅为A1，波源S2在P点引起的振动振幅为A2，两波波长都是l，则P点的振幅ArS1PLS2æL-2rö22A1+A2+2A1A2cosç2p÷。 lèø解：Dj=2pr2-r1l=2p(L-r)-r=2pL-2r， llP点振幅A=æL-2rö2222A1+A2+2A1A2cosDj=A1+A2+2A1A2cosç2p÷ lèø4. 如图所示，P点距波源S1和S2的距离分别为3l和10l/3，l为两列波在介质中的波长，若P点的合振幅总是极大值，则两波源应满足的条件是振动方向相同；频率相同。S2的相位比S1的相位领先2/3。 解：两列波合成后有稳定的强弱分布，必须满足相干条件：振动方向相同；频率相同；相位差恒定。 Dj=j2-j1-2pr2-r1l10lS1r1=3l=j2-j1-2p3所以 j2-j1=p -3l=0PlS2r2=10l3235. 已知一驻波在t时刻各点振动到最大位移处，其波形如图(A)所示，一行波在t时刻的波形如图(B)所示。试分别在图(A)、(B)上注明所示的a、b、c、d四点此时的运动速度的方向(设此波为横波)。 y yaubab (B)O(A)O xxddc c ybyauab (B)O(A)O xxdd cc 不画四点速度方向，或注明四点速度为零 6. 一简谐波沿Ox轴正方向传播，图中所示为该波t时刻的波形图，欲沿Ox轴形成驻波，且使坐标原点O处出现波节，在另一图上画出另一简谐波t时刻的波形图。 yyuu A A xxOO .解：设向右传播的波的波动方程为y1=Acosçwt-2pæèö+j1÷ løxt时刻x0处y0=0,v0<0，所以wt+j1=欲形成驻波，向左传播的波应为 pxpöæ,y1tAcosç-2p+÷ 2l2øèxæöy2t=Acosçwt+2p+j2÷,lèøxpöæy2t=Acosç2p+j2-j1+÷ 2øèl驻波方程为 y=y1t+y2t=2Acoçs2pæèxl+j2-j1ö2j+j1öæswt+2÷coç÷ 2øèøt时刻x0处y0=0，取则y2t=Acosç2p三、计算题 j2-j12=p2æè3ö+p÷，波形如上左图所示。 l2øx1. 如图所示，S为点波源，振动方向垂直于纸面，S1和S2是屏AB上的两个狭缝，S1S2a。SS1AB，并且SS1b。x轴以S2为坐标原点，并且垂直于AB。在AB左侧，波长为l1；在AB右侧，波长为l2。求x轴上干涉加强点的坐标。 解：在坐标为x的P点，两列波引起的分振动的位相差为 æa2+b2-bx-x2+a2Dj=2pç+çl1l2è代入干涉加强的条件 ö÷ ÷øSbS1S2AaxBAæa2+b2-bx-x2+a22pç+çll21è解出干涉加强点的坐标为 x=ö÷=2kp÷ø22(k=0,1,2L)Sbl1S1S2aBl2P(x)xa-2(a+b-b)l-kl2(a+b-b)l-kl22122122k=0,1,2L(x³0) 2. 设入射波的方程式为y1=Acos2pçæxtö+÷，在x0处发生反射，反射点为一固定lTøè端。设反射时无能量损失，求： (1) 反射波的方程式； (2) 合成的驻波的方程式； (3) 波腹和波节的位置。 解：(1)反射点是固定端，反射时有半波损失，且振幅不变，所以反射波的方程式为 éæxtöùy2=Acosê2pç-÷+pú ëèlTøû(2) 合成的驻波的方程式为y=y1+y2=2Acosç2pæèxl+pötpöæ÷cosç2p-÷ 2øèT2ø(3) 波腹位置满足 2p波节位置满足 2pxlx+p2=np1æ1ön=1,2,3L， x=çn-÷l 2è2øplp1=(2n+1),n=0,1,2L， x=nl。 222B3. 如图所示，一平面简谐波沿x轴正方向传播，BC为波密介质的反射面。波由P点反射，OP = 3l/4，DP = l/6。 入射 在t0时，O处质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动。求D点处入射波与反射波的合振动方程。(设入射波O和反射波的振幅皆为A，频率为n。) 反射 解：以O点为坐标原点，设入射波方程式为 .D.PxC y1=Acoês2pçnt-éëæèxöù +j÷úløû3l4ö3ùæö÷+jú=Acosç2pnt-p+j÷ løû2èøæè在P点引起的振动方程为 y1P=Acosê2pçnt-éëæè反射时有半波损失，y2P=Acosç2pnt-pö+j÷，反射波方程式为 2ø y2=Acosê2pçnt-2péëæè3l4-xöpxöùéæù÷-+jú=Acosê2pçnt+÷+jú lø2løûûëèæèxö÷cos(2pnt+j) lø合成驻波方程式为 y=y1+y2=2Acosç2p由题设条件t0时x0处y0， y=2Acosç2p又xD=¶yp<0，所以j=， ¶t2æèxöæpöcos2pnt+÷ç÷ løè2ø3ll(9-2)l7l-=,，代入上式，得D点的振动方程 4612127öæpöpöææyD=2Acosç2p´÷cosç2pnt+÷=-3Acosç2pnt+÷=3Asin(2pnt) 12øè2ø2øèè
