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大学物理 第五 Ppt99专业课件下载网 习题解答 习题一 1-1 Dr与Dr 有无不同?drdt和drdt有无不同? dvdt和dvdt有无不同?其不同在哪里?试举例说明 解：Dr是位移的模，Dr是位矢的模的增量，即Dr=r2-r1，Dr=r2-r1； vvdrdtdrdt是速度的模，即drdt=v=dsdt. 只是速度在径向上的分量. drdt=drdt+rrdrdt有r=rr，则 式中drdt就是速度径向上的分量， drdt与drdt不同如题1-1图所示. 题1-1图 vdvdvv (3)表示加速度的模，即a=，是加速度a在切向上的分量. dtdtdtdv有v=vt(t表轨道节线方向单位矢），所以 vdvdtdvdt=dvvdtvvt+vvdtdt式中就是加速度的切向分量. vdtdt(Qvdrdt与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x=x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出rx+y22，然后根据v =drdt，及adrdt22而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 Ppt99专业课件下载网 v=ædxöædyöç÷+ç÷及a=dtdtèøèø22æd2xç2çdtèöæd2y÷+ç2÷çdtøè2ö÷ 你认为两种方法哪一种÷ø2正确？为什么？两者差别何在？ vvv解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有r=xi+yj， vdxvdyvvdrv=i+jdtdtdt 2v22vvdxdyvdra=i+j222dtdtdt故它们的模即为 v=v+v2x2y=ædxöædyö+ç÷ç÷èdtøèdtø2222 ö÷÷ø2a=ax+ay=22ædxöædyç2÷+ççdt÷çdt2èøè2而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 v=drdta=drdt22其二，可能是将drdt与drdt22误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明drdt不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，drdt22也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中22édrvædqöù-r的一部分êa径=。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢在径向方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r及速度v的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。 1-3 一质点在xOy平面上运动，运动方程为 x=3t+5, y=12t+3t-4. 2式中t以 s计，x,y以m计(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1 s 时刻和t2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t0 s时刻到t4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t4 s 时质点的速度；(5)计算t0s 到t4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式) Ppt99专业课件下载网 解： r=(3t+5)i+(t2+3t-4)jm 2vv1v(2)将t=1,t=2代入上式即有 vvvr1=8i-0.5j m vvvr2=11j+4jm vvvvvDr=r2-r1=3j+4.5jm vvvvvv(3) r0=5j-4j,r4=17i+16j v v=vDrDt=vvr4-r04-0=vv12i+20j4vv-1=3i+5jm×s vvvvdr-1=3i+(t+3)jm×s (4) v=dtvvv则 v4=3i+7j m×s-1 (5) v0=3i+3j,v4=3i+7j vvvvv4-v0Dv4v-2 a=1jm×s Dt44vvdvv-2=1jm×s (6) a=dt这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。 vvvvvv1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示当人以v0(m·s-1)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小 图1-4 解： 设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成q角，由图可知 l=h+s 将上式对时间t求导，得 222Ppt99专业课件下载网 2ldldt=2sdsdt 题1-4图 根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的， v绳=-dsdtdldt=v0,v船=-dsdt即 v船=-=-ldlsdt2=ls2v0=1/2v0cosq或 v船=lv0s=(h+s)sv0将v船再对t求导，即得船的加速度 s=l22dldta=dv船dt-ls2dsdtv0=-v0s+lv船s2v0(-s+=ss)v02=hv0s3221-5 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为 a2+6x2，a的单位为m×s-2，x的单位为 m. 质点在x0处，速度为10m×s,试求质点在任何坐标处的速度值 解： a=dvdt=dvdxdxdt=vdvdx-12分离变量： udu=adx=(2+6x)dx 两边积分得 12v2=2x+2x+c 3由题知，x=0时，v0=10,c=50 v=2x3+x+25m×s-1 1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a4+3t m×s=0，求该质点在t10s 时的速度和位置 -2，开始运动时，x5 m，v Ppt99专业课件下载网 解： a=dvdt=4+3t 分离变量，得 dv=(4+3t)dt 积分，得 v=4t+32t+c12由题知，t=0,v0=0 ,c1=0 故 v=4t+又因为 v=分离变量， dx=(4t+32t)dt 2232t 32t 22dxdt=4t+积分得 x=2t+由题知 t=0,x0=5 ,c2=5 故 x=2t+所以t=10s时 32+212t+c2 312t+5 3v10=4´10+x10=2´102´10122=1903m×s-1´10+5=705m3q式中以弧度计，t以秒计，1-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 q=2+3t，求：(1) t2 s时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少? 解： w=dqdt=9t,b=2dwdt=18t -2 (1)t=2s时， at=Rb=1´18´2=36m×s -2 an=Rw2=1´(9´2)22=1296m×s(2)当加速度方向与半径成45角时，有 tan45°=atan=1 Ppt99专业课件下载网 即 Rw2=Rb 亦即 (9t2)2=18t 则解得 t3=于是角位移为 q=2+3t=2+3´32929=2.67rad 1-8 质点沿半径为R的圆周按sv0t-12bt的规律运动，式中s为质点离圆周上某点的弧2长,v0，b都是常量，求：(1)t时刻质点的加速度；(2) t为何值时，加速度在数值上等于b 解： v=dsdt=v0-bt at=dvdtv2=-b=(v0-bt)R(v0-bt)R24an=2R则 a=加速度与半径的夹角为 at+a22n=b+2j=arctan(2)由题意应有 a=b=atan=-Rb(v0-bt)2b+42(v0-bt)R24即 b=b+22(v0-bt)R2,Þ(v0-bt)=0 4当t=v0b时，a=b 1-9 半径为R的轮子，以匀速v0沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘上任意点B的运动方程为xR(wt-sinwt)，yR(1-coswt)，式中w=v0/R是轮子滚动的角速度，当B与水平线接触的瞬间开始计时此时B所在的位置为原点，轮子前进方向为x轴正方向；(2)求B点速度和加速度的分量表示式 Ppt99专业课件下载网 解：依题意作出下图，由图可知 题1-9图 (1) x=v0t-2Rsin=v0t-Rsinqq2cosq2=R(wt-Rsinwt)y=2Rsinq2sinq2=R(1-cosq)=R(1-coswt)(2) dxìv=Rw(1-coswt)xïïdt íïv=dy=Rsinwt)yïdtîdvxì2a=Rwsinwt=xïïdt ídvyïa=Rw2coswt=yïdtî1-10 以初速度v020m×s抛出一小球，抛出方向与水平面成幔 60°的夹角， 求：(1)球轨道最高点的曲率半径R1；(2)落地处的曲率半径R2 (提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系) -1解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示 题1-10图 (1)在最高点， v1=vx=v0cos60 oPpt99专业课件下载网 an1=g=10m×s-2又 an=1v12r12 r1=v12an1=(20´cos60°)10=10m(2)在落地点， v2=v0=20m×so-1, 而 an2=g´cos60 r2=v22an2=(20)210´cos60°=80m 1-11 飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为= 0.2 rad·s-2，求t2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度 解：当t=2s时，w=bt=0.2´2=0.4 rad×s-1 则v=Rw=0.4´0.4=0.16m×s-1 an=Rw2=0.4´(0.4)2=0.064m×s-2-2at=Rb=0.4´0.2=0.08m×s-2a=an+at=22(0.064)+(0.08)22=0.102m×s 1-12 如题1-12图，物体A以相对B的速度v2gy沿斜面滑动，y为纵坐标，开始时A在斜面顶端高为h处，B物体以u匀速向右运动，求A物滑到地面时的速度 解：当滑至斜面底时，y=h，则v¢A=因此，A对地的速度为 vvv'vA地=u+vA=(u+2gh,A物运动过程中又受到B的牵连运动影响，vv 2ghcosa)i+(2ghsina)jPpt99专业课件下载网 题1-12图 1-13 一船以速率v130km·h-1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率v240km·h-1 沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何? rvv 解：(1)大船看小艇，则有v21=v2-v1，依题意作速度矢量图如题1-13图(a) 题1-13图 由图可知 v21=v1+v2=50km×h22-1方向北偏西 q=arctanv1v2=arctan34=36.87° rvv(2)小船看大船，则有v12=v1-v2，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得 v12=50km×h-1方向南偏东36.87o