大学概率论习题五详解.docx
大学概率论习题五详解大学概率论习题五详解 1、设X为离散型的随机变量，且期望EX、方差DX均存在，证明对任意e>0,都有 e2证明 设P(X=xi)=pi i=1,2,.则 P(X-EX³e)=£åiP(X-EX³e)£DXxi-EX³(X=x)£ååPeeixi-EX³(xi-EX)2p e2i(xi-EX)2p=DXe2ie22、设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，请利用切比雪夫不等式证明： P(X-Y³6)£证 E(X-Y)=0 1。 12cov(X,Y)=rDXDY=1 D(X-Y)=DX+DY-2cov(X,Y)=5-2=3 D(X-Y)1P(X-Y³6)=P(X-Y)-E(X-Y)³6)£= 26123、一枚均匀硬币要抛多少次才能使正面出现的频率与0.5之间的偏差不小于0.04的概率不超过0.01？ 解设Xn为 n 次抛硬币中正面出现次数，按题目要求，由切比雪夫不等式可得 æXnö0.5´0.5Pç-0.5³0.04÷çn÷£n´0.042£0.01 èø0.25=15625 从而有 n³0.01´0.042即至少连抛15625次硬币，才能保证正面出现频率与0.5的偏差不小于0.04的概率不超过0.01。 4、每名学生的数学考试成绩X是随机变量，已知EX=80，DX=25，试用切比雪夫不等式估计该生成绩在70分到90分之间的概率范围；多名学生参加数学考试，要使他们的平均分数在75分到85分之间的概率不低于90%，至少要有多少学生参加考试？ (e>0) e2又 P(70£X£90)=P(70-EX£X-EX£90-EX)=P(-10£X-EX£10) 解 (1)由切比雪夫不等式 PX-EX<e³1-=PX-80£10³1-()DX()25=0.75 100即该生的数学考试成绩在70分到90分之间的概率不低于75% (2)设有n个学生参加考试(独立进行)，记第i个学生的成绩为Xi (i=i,2.n)，则平均成绩1251n1n为X=åXi，又EX=åEXi=80, DX=DX= nnni=1ni=1 1 1´25n-1n则由切比雪夫不等式可得：P(75£X£85)=PX-80£5³1- =25nn-1³0.9，解得n³10，即有10个以上的学生参加考试，就要使上述要求不低于90%，只需n()可以达到要求。 5、设800台设备独立的工作，它们在同时发生故障的次数XB(800,0.01)，现由2名维修工看管，求发生故障不能及时维修的概率。 解 P(X>2)=1-P(X£2)=1-åCi=02i8000.01i0.99800-i 在二项分布表中不能查出。np=8，使用正态分布近似计算： 若使用正态分布近似计算：X N(8,7.92), 近似æX-8öP(X>2)=1-P(X£2)»1-Pç£-2.132÷è7.92ø =F(2.132)=0.98346、对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长来、有1名家长来、有2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15。若学校共有400名学生，设每个学生参加会议的家长数相互独立且服从同一分布，求：(1)参加会议的家长数X超过450的概率；(2)每个学生有一名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。 解 (1)以Xi (i=1,2.400)表示第i个学生来参加会议的家长数，则Xi的分布律为: Xi pi 而X=0 0.05 1 2 0.8 0.15 所以EXi=1.1，DXi=0.19，i=1,2.400 åXi=1400i近似由中心极限定理知：XN(440,76) P(X>450)»1-F(1.147)=0.1257 (2)以Y表示每个学生有一名家长来参加会议的个数，则YB(400,0.8) 由中心极限定理知：YN(320,64) 则P(Y£340)»F(2.5)=0.9938 7、射手打靶得10分的概率为0.5，得9分的概率为0.3，得8分、7分和6分的概率分别0 .1、0.05和0.05，若此射手进行100次射击，至少可得950分的概率是多少？ 解 设Xi为射手第i次射击的得分，则有 近似Xi 10 pi 0.5 且X=9 0.3 8 0.1 7 0.05 6 0.05 åXi=1100i2 ， EXi=9.15，EX=84.95，DX=1.2275 由中心极限定理得： 2 æ100öæ950-915öPçåXi³950÷=1-Fç÷=1-F(3.159)=0.0008 è100´1.2275øèi=1ø8、某产品的不合格率为0.005，任取10000件中不合格品不多于70件的概率为多少？ 解 依题意，10000件产品中不合格品数XB(10000,0.005)，由np=50，n(1-p)>5，故可用二项分布的正态近似，所求概率为 æö70-50÷P(X£70)»Fçç50(1-0.005)÷=F(2.8355)=0.9977 èø9、某厂生产的螺丝钉的不合格品率为0.01，问一盒中应装多少只螺丝钉才能使盒中含有100只合格品的概率不小于0.95？ 解 设 n 为一盒装有的螺钉数，其中合格品数记为X，则有XB(n,0.99)，该题要求n，使得下述概率不等式成立。 P(X³100)³0.95或P(X<100)<0.05 利用二项分布的正态近似，可得：Fçæ100-0.99nö÷<0.05=F(-1.645) 0.0099nèø因此，100-0.99n<-1.6450.0099n 解得，n>103.19 这意味着，每盒应装104只螺钉，才能使每盒含有100只合格品的概率不小于0.95。 1、为确定一批产品的次品率要从中抽取多少个产品进行检查，使其次品出现的频率与实际次品率相差小于0.1的概率不小于0.95。 解：依题意，可建立如下概率不等式 PP¢-P<0.1³0.95 其中P是这实际的次品率，如抽取n个产品则次品的频率P¢=定理，P¢近似服从正态分布： ()x1+x2+.xn，由中心极限nN(P,P(1-P)/n)或P¢-PN(0,P(1-P)/n) æ0.1nö1+0.95÷=0.975 从而有 FççP(1-P)÷³2èø查表可得 ：0.1n³1.96 或n³19.6P(1-P) P(1-P)由于P未知，只得放大抽检量，用1/2代替 P(1-P) ，可得：n³9.8 n³96，可见，需抽查96个产品才能使其次品率与实际次品率相差0.1小于的概率不小于0.95。 2、 假设批量生产的某产品的优质品率为60%，求在随机抽取的200件产品中有120到150件优质品的概率a 解 记nn随机抽取的200件产品中优质品的的件数，则nn服从二项分布，参数为n=200，p=0.60；np=120，np(1-p)=48由于n=200充分大，故根据棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理，近似地 3 Un=nn-npnp(1-p)=ìnn-12048N(0, 1)；£ý þ4848î =P0£Un£4.33»F(4.33)-F(0)»0.5 3、设随机变量X服从参数为l的泊松分布，X1,X2,L,Xn是独立与X同分布随机变量，证明：对任意e>0，都有 a=P120£nn£150=Pí0£nn-120150-120ü1n2limPåXi-(l+l2)³e=0 n®¥nk=122证明 由于X1,X2,L,Xn独立同泊松分布，可见X12,X2也独立同分布，而且数学,L,Xn期望存在： EXi2=DXi+(EXi)2=l+l2 因此，根据辛钦大数定律，有 1n2limPåXi-(l+l2)³e=0 n®¥nk=1 4
