大一高等数学公式.docx

大一高等数学公式高等数学公式 导数公式： 2(tgx)¢=secx(arcsinx)¢=(arccosx)¢=-(arctgx)¢=11+x11-x22(ctgx)¢=-cscx11-x22(secx)¢=secx×tgx(cscx)¢=-cscx×ctgx(a)¢=alna(logaxxx)¢=1xlna(arcctgx)¢=-11+x2基本积分表： 三角函数的有理式积分： òtgxdxòctgxdxòsecòaòxòaò=-lncosx+C=lnsinx+Còcosòsindx2xx=òsecòcsc2xdx=tgx+Cxdx=-ctgx+Cdx22xdx=lnsecx+tgx+Còcscxdx=lncscx-ctgx+Cdx2òsecx×tgxdxòcscx×ctgxdxòax=secx+C=-cscx+C+C+xdx-adx-xdx22=1a1arctglnlnxa+C+C+Cx-ax+aa+xa-xxadx=axlna222a12aòshxdxòchxdxòp2=chx+C=shx+C=ln(x+x±a)+C2222a-x2=arcsin+Cdxx±a22p2In=òsin02nxdx=òcos0nxdx=2n-1naaa2In-2x+a)+Cx-axa+C2222òòòsinx=2u1+ux+adx=x-adx=a-xdx=22222x2x2x2x+a+x-a-a-x+2222222ln(x+lnx+arcsin22+C2，cosx=2x2du，u=tg，dx=22 21+u1+u 1 / 12 1-u2一些初等函数： 两个重要极限： e-e2e+e2shxchx2x-xx-x双曲正弦:shx=双曲余弦:chx=双曲正切:thx=arshx=ln(x+archx=±ln(x+arthx=12ln1+x1-xlimsinxx1xx®0=1)=e=2.7182818284x59045.lim(1+x®¥=e-ee+exx-x-xx+1）x-1)2三角函数公式： ·诱导公式： 函数 角A - 90°- 90°+ 180°- 180°+ 270°- 270°+ 360°- 360°+ sin cos tg -tg ctg ctg -ctg tg -ctg ctg tg -ctg ctg -sin cos cos cos sin sin -sin -ctg -tg -cos -tg -sin -cos tg -cos -sin ctg -cos sin -sin cos sin cos -tg tg -ctg -tg ·和差角公式： ·和差化积公式： sin(a±b)=sinacosb±cosasinbcos(a±b)=cosacosbmsinasinbtg(a±b)=tga±tgb1mtga×tgbctga×ctgbm1ctgb±ctgasina+sinb=2sinsina-sinb=2cosa+b2cossina-b2a+b2a-b2cosa+cosb=2coscosa-cosb=2sina+b2cossina-b2ctg(a±b)=a+b2a-b2 2 / 12 ·倍角公式： sin2a=2sinacosacos2a=2cosa-1=1-2sina=cosa-sinactg2a=tg2a=ctga-12ctga2tga1-tga222222sin3a=3sina-4sinacos3a=4cosa-3cosatg3a=3tga-tga1-3tga2333·半角公式： sintga2=±=±1-cosa21-cosa1+cosaasinA1-cosasinabsinB=cosctga2=±1+cosa21+cosa1-cosa22=1+cosasina2a2=csina1+cosaa2=±=sina1-cosa·正弦定理： =sinC=2R ·余弦定理：c=a+b-2abcosC ·反三角函数性质：arcsinx=p2-arccosxarctgx=p2-arcctgx 高阶导数公式莱布尼兹公式： n(uv)=u(n)=åCk=0knu(n-k)v(k)(n)v+nu(n-1)v¢+n(n-1)2!u(n-2)v¢¢+L+n(n-1)L(n-k+1)k!u(n-k)v(k)+L+uv(n)中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理：柯西中值定理：f(b)-f(a)=f¢(x)(b-a)=f¢(x)F¢(x)拉格朗日中值定理。f(b)-f(a)F(b)-F(a)当F(x)=x时，柯西中值定理就是曲率： 弧微分公式：平均曲率：K=ds=DaDs1+y¢dx,其中y¢=tga.Da:从M点到M¢点，切线斜率的倾角变DaDsdadsy¢¢(1+y¢)232化量；Ds：MM¢弧长。M点的曲率：直线：K=0;K=limDs®0=.半径为a的圆：K=1a. 3 / 12 定积分的近似计算： b矩形法：òf(x)»abb-an(y0+y1+L+yn-1)梯形法：òf(x)»abb-a1(y0+yn)+y1+L+yn-1n2b-a3n(y0+yn)+2(y2+y4+L+yn-2)+4(y1+y3+L+yn-1)抛物线法：òf(x)»a定积分应用相关公式： 功：W=F×s水压力：F=p×A引力：F=km1m2r2,k为引力系数 函数的平均值：y=1b-abòb-aa1bf(x)dx均方根：òaf(t)dt2空间解析几何和向量代数： 空间2点的距离：向量在轴上的投影：d=M1M2=(x2-x1)+(y2-y1)+(z2-z1)222PrjuAB=AB×cosj,j是AB与u轴的夹角。vvvvPrju(a1+a2)=Prja1+Prja2vvvva×b=a×bcosq=axbx+ayby+azbz,是一个数量两向量之间的夹角：cosq=k,axbx+ayby+azbzax+ay+az×bx+by+bz222222ivvvc=a´b=axbxjaybyvvvaz,c=a×bsinq.例：线速度：bzaybycyazbzczvvvv=w´r.axvvvvvv向量的混合积：abc=(a´b)×c=bxcx代表平行六面体的体积。vvv=a´b×ccosa,a为锐角时， 4 / 12 平面的方程：1、点法式：vA(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，其中n=A,B,C,M0(x0,y0,z0)Ax+By+Cz+D=0xa+yb+zc=1d=Ax0+By0+Cz0+DA+B+C空间直线的方程：2222、一般方程：3、截距世方程：平面外任意一点到该平面的距离：ìx=x0+mtx-x0y-y0z-z0vï=t,其中s=m,n,p;参数方程：íy=y0+ntmnpïz=z+pt0î2222二次曲面：1、椭球面：2、抛物面：3、双曲面：单叶双曲面：双叶双曲面：xaxa2222xa222+yb+2zc=1xy2p2q=z+-ybyb2222-+zczc2222=1=1多元函数微分法及应用 全微分：dz=¶z¶xdx+¶z¶ydydu=¶u¶xdx+¶u¶ydy+¶u¶zdz全微分的近似计算：多元复合函数的求导法Dz»dz=fx(x,y)Dx+fy(x,y)Dy：dz¶z¶u¶z¶vz=fu(t),v(t)=×+×dt¶u¶t¶v¶t¶z¶z¶u¶z¶vz=fu(x,y),v(x,y)=×+׶x¶u¶x¶v¶x当u=u(x,y)，v=v(x,y)时，du=¶u¶xdx+¶u¶ydydv=¶v¶xdx+¶v¶ydy隐函数的求导公式：FFFdydy¶¶dy隐函数F(x,y)=0，=-x，2=(-x)(-x)×dxFy¶xFy¶yFydxdxFyFx¶z¶z隐函数F(x,y,z)=0，=-，=-¶xFz¶yFz 5 / 12 2¶FìF(x,y,u,v)=0¶(F,G)隐函数方程组：íJ=¶u¶G¶(u,v)îG(x,y,u,v)=0¶u¶u¶x¶u¶y=-=-1¶(F,G)¶v1¶(F,G)×=-×J¶(x,v)¶xJ¶(u,x)1¶(F,G)¶v1¶(F,G)×=-×J¶(y,v)¶yJ¶(u,y)¶F¶v=Fu¶GGu¶vFvGv微分法在几何上的应用： ìx=j(t)x-x0y-y0z-z0ï空间曲线íy=y(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：=j¢(t0)y¢(t0)w¢(t0)ïz=w(t)î在点M处的法平面方程：若空间曲线方程为：j¢(t0)(x-x0)+y¢(t0)(y-y0)+w¢(t0)(z-z0)=0,GzGzFzFz,GxGxFxFxFyGyìvFyïF(x,y,z)=0,则切向量T=íGyG(x,y,z)=0ïî曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0)，则：v1、过此点的法向量：n=Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)2、过此点的切平面方程3、过此点的法线方程：Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0x-x0Fx(x0,y0,z0)=y-y0Fy(x0,y0,z0)=z-z0Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度： 函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向其中j为x轴到方向l的转角。函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=它与方向导数的关系是单位向量。¶l多元函数的极值及其求法： ¶f是gradf(x,y)在l上的投影。¶fv¶fvi+j¶x¶yl的方向导数为：¶f¶l=¶f¶xcosj+¶f¶ysinjvv¶fvv：=gradf(x,y)×e，其中e=cosj×i+sinj×j，为l方向上的¶l设fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，令：fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=CììA<0,(x0,y0)为极大值2AC-B>0时，íïîA>0,(x0,y0)为极小值ïï2则：值íAC-B<0时，无极ïAC-B2=0时,不确定ïïî 6 / 12 重积分及其应用： òòDf(x,y)dxdy=òòD¢f(rcosq,rsinq)rdrdqæ¶zöæ¶zö÷1+ç÷+çç÷dxdyè¶xøè¶yø22曲面z=f(x,y)的面积A=òòDx平面薄片的重心：x=MMòòxr(x,y)ds=Dòòr(x,y)dsD,y=MMyòò=DDyr(x,y)dsòòr(x,y)dsòòDxr(x,y)ds2平面薄片的转动惯量：平面薄片对z轴上质点M(0,0,a),(a>0)的引力：F=Fx,Fy,Fz，其中：，Fy=f3òòDr(x,y)xds222òòDr(x,y)yds222，Fz=-faòò3Dr(x,y)xds3(x+y+a)2(x+y+a)2(x+y+a)2222柱面坐标和球面坐标： ìx=rcosqï柱面坐标：íy=rsinq,òòòf(x,y,z)dxdydz=Wïz=zî其中：F(r,q,z)=f(rcosq,rsinq,z)ìx=rsinjcosqï2球面坐标：íy=rsinjsinq，dv=rdj×rsinj×dq×dr=rsinjdrdjdqïz=rcosjî2pòòòWF(r,q,z)rdrdqdz,pr(j,q)òòòWf(x,y,z)dxdydz=1MòòòWF(r,j,q)rsinjdrdjdq=1M2òdqòdj00òF(r,j,q)rsinjdr02重心：x=转动惯量：òòòWxrdv,y=òòòWyrdv,z=1M2òòòWzrdv，其中M=x=22òòòWrdvIx=òòòW(y+z)rdv，Iy=22òòòW(x+z)rdv，Iz=2òòòW(x+y)rdv曲线积分： 第一类曲线积分：ìx=j(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：í,(a£t£b),则：îy=y(t)bòLf(x,y)ds=òaìx=t22fj(t),y(t)j¢(t)+y¢(t)dt(a<b)特殊情况：íîy=j(t) 7 / 12 第二类曲线积分：ìx=j(t)，则：íy=y(t)îbòP(x,y)dxL+Q(x,y)dy=aòPj(t),yL(t)j¢(t)+Qj(t),y(t)y¢(t)dt两类曲线积分之间的关L上积分起止点处切向量格林公式：系：òPdx+Qdy=的方向角。)dxdy=ò(PcosaL+Qcosb)ds，其中a和b分别为òò(D¶Q¶x-¶P¶yòPdxL+Qdy格林公式：òò(D¶Q¶x-¶P¶y)dxdy=12òPdxL+Qdy¶Q¶P当P=-y,Q=x，即：-=2时，得到¶x¶y·平面上曲线积分与路径1、G是一个单连通区域；无关的条件：D的面积：A=òòDdxdy=òxdyL-ydx2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，·二元函数的全微分求积在¶Q¶x¶P¶y注意方向相反！：，且¶Q¶x¶P¶y。注意奇点，如(0,0)，应u(x,y)的全微分，其中：时，Pdx+Qdy才是二元函数(x,y)u(x,y)=òP(x,y)dx(x0,y0)+Q(x,y)dy，通常设x0=y0=0。曲面积分： 对面积的曲面积分：对坐标的曲面积分：òòååf(x,y,z)ds=òòDxyfx,y,z(x,y)1+zx(x,y)+zy(x,y)dxdy22òòP(x,y,z)dydzDxy+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy，其中：号；òòR(x,y,z)dxdyå=±òòRx,y,z(x,y)dxdy，取曲面的上侧时取正=±òòPx(y,z),y,zdydz，取曲面的前侧时取正Dyz号；号。+Qcosb+Rcosg)dsòòP(x,y,z)dydzåòòQ(x,y,z)dzdxå=±òòQx,y(z,x),zdzdx，取曲面的右侧时取正Dzx两类曲面积分之间的关系：òòPdydz+Qdzdx+Rdxdy=åòò(Pcosaå高斯公式： òòòW(¶P¶x+¶Q¶y+¶R¶z)dv=òòPdydzå+Qdzdx+Rdxdy=òò(Pcosaå+Qcosb+Rcosg)ds高斯公式的物理意义通量与散度：vdivn<0,则为消失.v¶P¶Q¶R散度：divn=+,即：单位体积内所产生的流体质量，若¶x¶y¶zvv通量：òòA×nds=òòAnds=òò(Pcosa+Qcosb+Rcosg)ds，ååå因此，高斯公式又可写成：òòòWvdivAdv=òòåAnds 8 / 12 斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系： òòå(¶R¶y-¶Q¶z)dydz+(¶P¶z-¶R¶x)dzdx+(dzdx¶¶yQ¶Q¶x-¶P¶y)dxdy=cosa¶¶xPòPdxG+Qdy+Rdzcosg¶¶zR上式左端又可写成：òòådydz¶¶xPdxdy¶¶zR¶R¶y=òòåcosb¶¶yQ空间曲线积分与路径无i¶¶xPj¶¶yQ关的条件：k¶¶zR¶Q¶P¶R¶Q¶P，=，=¶z¶z¶x¶x¶yv旋度：rotA=v向量场A沿有向闭曲线G的环流量：òPdx+Qdy+Rdz=GòGvvA×tds常数项级数： 等比数列：1+q+q2+L+qn-1=1-qn1-q等差数列：1+2+3+L+n=调和级数：1+12+13+L+1n(n+1)n2是发散的级数审敛法： 1、正项级数的审敛法根植审敛法：设：r=limnn®¥ìr<1时，级数收敛ïun，则ír>1时，级数发散ïr=1时，不确定îìr<1时，级数收敛ï，则ír>1时，级数发散ïr=1时，不确定î散。2、比值审敛法：Un+1Un设：r=limn®¥3、定义法：sn=u1+u2+L+un;limsn存在，则收敛；否则发n®¥交错级数u1-u2+u3-u4+L(或-u1+u2-u3+L,un>0)的审敛法如果交错级数满足ìïun³un+1，那么级数收敛且其和ílimu=0ïîn®¥n莱布尼兹定理：s£u1,其余项rn的绝对值rn£un+1。绝对收敛与条件收敛： 9 / 12 (1)u1+u2+L+un+L，其中un为任意实数；(2)u1+u2+u3+L+un+L如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对如果(2)发散，而(1)收敛，则称调和级数：å级数：å1nn发散，而收敛；£时发散p>1时收敛收敛级数；(1)为条件收敛级数。nå(-1)n收敛；12p级数：å1np幂级数： 23n1+x+x+x+L+x+Lx<1时，收敛于x³1时，发散11-x对于级数(3)a0+a1x+a2x+L+anx+L，如果它不是仅在原点x<R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使2n收敛，也不是在全x>R时发散，其中R称为收敛半径。x=R时不定r¹0时，R=求收敛半径的方法：设liman+1an=r，其中an，an+1是(3)的系数，则1rn®¥r=0时，R=+¥r=+¥时，R=0函数展开成幂级数： 函数展开成泰勒级数：余项：Rn=f(n+1)f(x)=f(x0)(x-x0)+(x-x0)n+1f¢¢(x0)2!(x-x0)+L+2f(n)(x0)n!(x-x0)+Ln(x)(n+1)!,f(x)可以展开成泰勒级数的f¢¢(0)2!2充要条件是：limRn=0n®¥x0=0时即为麦克劳林公式：f(x)=f(0)+f¢(0)x+x+L+f(n)(0)n!x+Ln一些函数展开成幂级数： (1+x)m=1+mx+x3m(m-1)2!x2+L+xm(m-1)L(m-n+1)n!xn+L(-1<x<1)sinx=x-3!+x52n-15!-L+(-1)n-1(2n-1)!+L(-¥<x<+¥)欧拉公式： ix-ixìe+eïcosx=ï2=cosx+isinx或íix-ixïsinx=e-eï2îeix三角级数： 10 / 12 ¥f(t)=A0+ån=1Ansin(nwt+jn)=a02¥+å(an=1ncosnx+bnsinnx)其中，a0=aA0，an=Ansinjn，bn=Ancosjn，wt=x。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xLsinnx,cosnxL任意两个不同项的乘积上的积分0。在-p,p傅立叶级数： f(x)=a02¥+å(an=1ncosnx+bnsinnx)，周期=2pì1ïan=pï其中í1ïbn=ïpî1+122pò-pf(x)cosnxdx(n=0,1,2L)pò-pf(x)sinnxdx(n=1,2,3L)13+2+142152+L=162p281+1222+1332+-1442+L=+L=pp26+L=p2241-2p121212212正弦级数：an=0，bn=p2ò0f(x)sinnxdxn=1,2,3Lf(x)=åba02nsinnx是奇函数p余弦级数：bn=0，an=pò0f(x)cosnxdxn=0,1,2Lf(x)=+åancosnx是偶函数周期为2l的周期函数的傅立叶级数： f(x)=a02¥+å(an=1ncosnpxl+bnsinnpxl)，周期=2llì1npxdx(n=0,1,2L)ïan=òf(x)cosllï-l其中íl1npxïbn=òf(x)sindx(n=1,2,3L)ïll-lî微分方程的相关概念： 一阶微分方程：y¢=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0：一阶微分方程可以化为g(y)dy=f(x)dx的形式，解法：可分离变量的微分方程òg(y)dy=òyxf(x)dx得：G(y)=F(x)+C称为隐式通解。程可以写成dudx，u+dudxdydx=f(x,y)=j(x,y)，即写成dxx=duyx的函数，解法：yx齐次方程：一阶微分方设u=，则dydx=u+x=j(u)，j(u)-u分离变量，积分后将代替u，即得齐次方程通解。一阶线性微分方程： 1、一阶线性微分方程：dydx+P(x)y=Q(x)-P(x)dxy=Ceò当Q(x)=0时,为齐次方程，P(x)dx-P(x)dxdx+C)eò当Q(x)¹0时，为非齐次方程，2、贝努力方程：dydxy=(òQ(x)eòn+P(x)y=Q(x)y，(n¹0,1) 11 / 12 全微分方程： 如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函数的全微du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0，其中：u(x,y)=C应该是该全微分方程的¶u分方程，即：¶u=P(x,y)，=Q(x,y)¶x¶y通解。二阶微分方程： dydx22+P(x)dydx+Q(x)y=f(x)，f(x)º0时为齐次f(x)¹0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： (*)y¢¢+py¢+qy=0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：(D)r2、求出(D)式的两个根2+pr+q=0，其中r，r的系数及常数项恰好是r1,r22(*)式中y¢¢,y¢,y的系数；3、根据r1,r2的不同情况，按下表写r1，r2的形式 出(*)式的通解： (*)式的通解 两个不相等实根(p2-4q>0) 两个相等实根(p2-4q=0) 一对共轭复根(p2-4q<0) r1=a+ib，r2=a-iby=c1er1x+c2er2xy=(c1+c2x)ey=eaxr1x(c1cosbx+c2sinbx) a=-p2，b=4q-p22二阶常系数非齐次线性微分方程 y¢¢+py¢+qy=f(x)，p,q为常数f(x)=ePm(x)型，l为常数；f(x)=ePl(x)coswx+Pn(x)sinwx型lxlx 12 / 12