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多元函数微积分复习题多元函数微积分复习题 一、单项选择题 1函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2设函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续是函数在该点可偏导的 (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 3函数f(x,y)在点(x0,y0)处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4对于二元函数z=f(x,y), 下列结论正确的是 ( ). C A. 若limx®x=A, 则必有limxf(x,y)=A且有limf(x,y)=A; 0x®0y®y0y®y0B. 若在(x¶z0,y0)处¶x和¶z¶y都存在, 则在点(x0,y0)处z=f(x,y)可微; C. 若在(x¶z¶z0,y0)处¶x和¶y存在且连续, 则在点(x0,y0)处z=f(x,y)可微; ¶2z¶2D. 若z¶2z¶2z¶x2和¶y2都存在, 则. ¶x2=¶y2. 5二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处满足关系( ). C A. 可微(指全微分存在)Û可导(指偏导数存在)Þ连续; B. 可微Þ可导Þ连续; C. 可微Þ可导, 或可微Þ连续, 但可导不一定连续; D. 可导Þ连续, 但可导不一定可微. 6.向量a=(3,-1,-2),b=(1,2,-1)，则ab= (A) 3 (B) -3 (C) -2 (D) 2 D ) 1 ，A，B ，则MA·AB = ®® (A) -1； (B) 1； (C) 0 ； (D) 2； 6已知三点M，A，B ，则|MA®+AB®|= (A)-2; (B) 22; (C)2; (D)-2; 7设D为园域x2+y2£2ax (a>0), 化积分òòF(x,y)ds为二次积分的正确方法 D是_. D A. ò2adxòaa2a-x20-af(x,y)dy B. 2ò20dxò0f(x,y)dy C. òadq2acosq0ò-af(rcosq,rsinq)rdr pD. ò2cosq-pdqf(rcosq,rsinq)rdr 2ò2a08设I=ò3lnx1dxò0f(x,y)dy, 改变积分次序, 则I=_. B A. òln3ey30dyò0f(x,y)dx B. òln30dyòeyf(x,y)dx C. òln333lnx0dyò0f(x,y)dx D. ò1dyò0f(x,y)dx p9 二次积分ò2dqcosq0ò0f(rcosq,rsinq)rdr 可以写成_. D A. ò1dyòy-y2)dx B. ò11-y200f(x,y0dyò0f(x,y)dx C. ò1dxò1f(x,y)dy D. ò1x-x2000dxò0f(x,y)dy 10 设W是由曲面x2+y2=2z及z=2所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分I=òòòf(x,y,z)dxdydz表示为三次积分，I=_. C W2 A ò2p1r20dqò0drò0f(rcosq,rsinq,z)dz r2 B. ò2pdqò2200drò0f(rcosq,rsinq,z)rdz 2 C ò2p0dqòdròr2f(rcosq,rsinq,z)rdz 0222 D ò2p0dqòdròf(rcosq,rsinq,z)rdz 002211设L为x0y面内直线段，其方程为L:x=a,c£y£d， 则òP(x,y)dx= L a c 0 d 12设L为x0y面内直线段，其方程为L:y=a,c£x£d，则òP(x,y)dy= L a c 0 d 13设有级数å¥un,则limun=0是级数收敛的 n=1n®¥充分条件； (B) 充分必要条件； 既不充分也不必要条件； (D) 必要条件; ¥14幂级数ånxn的收径半径R = n=1 (A) 3 (B) 0 ¥15幂级数å1xn的收敛半径R= n=1n (A) 1 (B) 0 ¥¥ 16若幂级数åan+2nx的收敛半径为R，则åanxn的收敛半径为 n=0n=0 (A) R (B) R2 R (D) 无法求得 ¥ 若limn®¥un=0, 则级数åun( ) D n=1A. 收敛且和为 B. 收敛但和不一定为 C. 发散 D. 可能收敛也可能发散 ¥18. 若åun为正项级数, 则( ) n=1 D ） D ） A ） A ）3 ， 所求平面的方程为 2-5+4=0 即 2 x -75y +4z = 0 2求经过两点M1和 M2的直线方程。 . 解: M®1M2= (4, 2 ,-1 ) 所求直线方程为 x+1y+2Z-24=2=-1 3求过点 ( 0, -3, 2) 且以n =( 3, -2, 1 )为法线向量的平面方程. 解: 所求的平面方程为 3(x-0)-2(y+3)+1(z-2)=0 即 3x-2y+z-8=0 4设z=f(xy,y)，其中f具有二阶连续偏导数，求¶2z¶x¶y 解: ¶z¶x=yf,1 ¶2z¶x¶y=¶æ¶yç¶zöè¶x÷ø=¶¶y(yf1¢)=f1¢+y(xf11¢¢+f12¢¢) 5设lnx2+y2=arctanydyx, 求dx解: 方程两边对x求导得 6 1¢-yx2+y2×12x2+y2(2x+2yy¢)=1æy2×xy1+çöx2 èx÷ø 由此得 y¢=x+yx-y 6z=f(xy,y)，其中f具有二阶连续偏阶导数，求¶2设z¶x2。 解: ¶z¶x=yfu, ¶2z¶æ¶zö¶¶¶x2=¶xçè¶x÷ø=¶x(yfu)=y¶x(f2u)=yfuu 7设xz=lnzy, 求¶z¶x. 解: 方程xz=lnz-lny两边同时对x求导得 z-x¶z ¶xz2=1¶zz¶x, ¶zz¶x=x+z 8,by)，其中f具有连续的二阶偏导数，求¶2设z=f(axz¶x¶y 解: ¶z¶x=af1¢ ¶2z¶x¶y=¶æ¶yçèaf¢²1ö÷ø=abf12 9设 siny+ex-xy2=0,求dydx. 解: 方程两边对x同时求导得 7 coy×s¢y+x-e2-y2¢=x y y 0 由此得 ex-y2y¢=2xy-cosy10计算二重积分òò(3x+2y)dxdy, 其中D是由直线x=0,y=0,x+y=2 D所围成的闭区域。 解: òò(3x+2y)dxdy=ò22-x222-0dxò0(3x+2y)dy=ò03xy+yx0dx =ò22x-2x2+4)2dx=éê2ù200(ëx2-3x3+4xúû= 03 11改变二次积分I=ò22y0dyòy2f(x,y)dx的积分次序。 解: 积分区域为 D:0£y£2,y2£x£2y D也可表示为 D:0£x£4,x2£y£x I=ò4x0dxòxf(x,y)dy 2 12计算二重积分òò(3x+2y)dxdy, 其中D是由直线x=0,y=0,y=x-1 D所围成的闭区域。 解: òò(3x+2y)dxdy=ò1dxò0(3x+2y)dy=ò13xy+y20x-1dx D0x-10 =-ò10(4x2-5x+1)dx=1613改变二次积分I=ò1dyòy00f(x,y)dx的积分次序。 解: 积分区域为 D:0£y£1,0£x£y D也可表示为 D:0£x£1,x£y£1 有 ò1y110dyò0f(x,y)dx=ò0dxòxf(x,y)dy 8 14计算二重积分òò(3x+2y)dxdy其中D: 0£x£1,0£y£1. D解: òò(3x+2y)dxdy=ò1dx1(3x+2y)dy=13xy+y210dx D0ò0ò0 =ò1312ù50(3x+1)dx=éêë2x+xúû=. 0215改变二次积分I=ò1dyò1-1y2f(x,y)dx的积分次序。 解: 积分区域为 D:-1£y£1,y2£x£1 D也可表示为 D:0£x£1,-x£y£x I=ò1x0dxò-xf(x,y)dy 利用格林公式计算曲线积分 I = òL(2x-y+4)dx+(5y+3x-6)dy,其中L为三顶点分别为(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界. 解: 由格林公式 I = òò¶¶x(5y+3x-6)-¶¶y(2x-y+4)dxdy D = 4òòdxdy = 4´12´3´2 D= 12 17利用格林公式计算曲线积分 òL(-y)dx+xdy, 其中L为正向的圆周 x2+y2=a2(a.>0). 解：由格林公式 I = òò¶¶xx-¶¶y(-y)dxdy D = 2òòdxdy D9 16 = 2pa2 18利用格林公式计算曲线积分 I = òL(2x-y+4)dx+(5y+3x-6)dy, 其中L为三顶点分别为(0,0),(3,0),(0,3)的三角形正向边界. 解: 由格林公式 I = òò¶¶x(5y+3x-6)-¶D¶y(2x-y+4)dxdy = 4òòdxdy D= 4´12´3´3 = 18. ¥19 判别级数ån2sinpn=13n的收敛性。 (n+1)2sinp 解: Qr=limun+13n+1n®¥u=lim=1<1 nn®¥n2sinp33n ¥ 由比值判别法知级数ån2sinpn=03n收敛 ¥ 20求幂级数å1xnn=1n×2n的收敛区间。 1 解: r=an+1(n+1)2n+1nlim®¥a=lim1n®¥n2n=2 n R=1r=2， 收敛区间为(-2,2) 10 ¥ 21求幂级数å1nn=1n×3nx的收敛区间。 1解: r=liman+1(n+1)3n+1n®¥a=limnn®¥1=13, n3n R=1r=3 收敛区间为(-3, 3) 四、解下列各题题 1 利用柱面坐标计算三重积分 òòòzdxdydz，其中W是由曲面z=x2+y2W与平面z=4所围成的闭区域。 解: W:0£j£2p,0£r£2,r2£z£4 òòòzdxdydz=ò2pj24W0dò0dròr2zrdz =12p2ò0djò20r(16-r4)dr =643p 2 利用柱面坐标计算三重积分 òòòzdxdydz， W其中闭区域W为半球体x2+y2+z2£1,z³0. 解: W在xoy平面内的投影区域为D:x2+y2£1， 用柱面坐标可表示为 W:0£j£2p,0£r£1,0£z£1-r2 11 òòòzdxdydz=òdjòdròW002p11-r20zrdz=pòr1-r2dz 01()1214ùp =pé r-r=ê2ú4û04ë3 利用柱面坐标计算三重积分 òòò1x2+y2dxdydz，其中W是由曲面z=9-x2-y2 W与平面z=0所围成的闭区域。 解: W:0£j£2p,0£r£3,0£z£9-r2 òòòx2+y2dxdydz=Wò2p39-r20djò0drò0r×rdz =ò2p33240djò0r2(9-r2)dr=5p 4 计算曲线积分ò(x2-y)dx-(x+y2)dy，其中L是在圆周y=2x-x2上由 L 点O到点A的一段弧。 解: Q=-(x+y2),P=x2-y ¶Q¶P¶x=¶y=-1, 曲线积分与路径无关， ò(x2-y)dx-(x+y2)dy=x2-y)dx-(x+y2)dy L-ò(-OA =ò120(x-x)-(x+x2)dx ( y=x , 0£x£1 ) 1 =ò(-2x)dx = - 1 0 5计算曲线积分ò(x2-y)dx-(x+y2)dy，其中L是在圆周y=2x-x2上由 L 点O到点A的一段弧。 解： Q=-(x+y2),P=x2-y ¶Q¶P¶x=¶y=-1, 曲线积分与路径无关， 12 ò(x2-y)dx-(x+y2)dy=L-ò(x2-y)dx-(x+y2)dy -OA =ò20x2dx ( y=0, 0£x£2 ) =836 计算曲线积分ò(x2-y)dx-(x+y)dy，其中L是在圆周y=2x-x2上由 L 点A到点0的一段弧。 解: Q=-(x+y2),P=x2-y ¶Q¶P¶x=¶y=-1, 曲线积分与路径无关， ò(x2-y)dx-(x+y2)dy=)()L-ò(x2-ydx-x+y2dy -AO =ò022xdx ( y=0 , x由2到0) = -83. ¥7 判别级数å(-1)n1n=2lnn 是否收敛？如果收敛，是绝对收还是条件收敛？ 解: 记 u1n=lnn, 则 u1n=lnn>1ln(n+1)=un+1(n=2,3,L,n,L) 且 limu1n®¥n=limn®¥lnn=0 n 由莱布尼兹定理, 级数å(-1)1lnn收敛 又¥Q11lnn>1n,而级数å发散,由比较判别法可知 n=2n 级数å¥1发散,从而级数å¥(-1)n1为条件收敛n=2lnnn=2lnn 13 ¥ 8判别级数å(-1)nlnæç1ön=2è1+n÷ø 是否收敛？如果收敛，是绝对收还是条件收敛？ 1 解： 记uæ1ölnæçè1+ön÷øn=lnçè1+n÷ø， Qlimn®¥1=1 n 而å¥1发散，所以¥1ön=1nålnæç1+n=1èn÷ø发散 又Qu=lnæç1ö1öè1+n÷ø>lnænçè1+n+1÷ø=un+1 (n=1,2,3,LL) 且 limn®¥u=limn®¥lnæçè1+1önn÷ø=0， 由莱布尼兹定理知 å¥(-1)n-1lnæç1+1ö÷收敛且为条件收敛. n=1ènø¥9 判别级数å(-1)nln(1+!n2) 是否收敛？如果收敛，是绝对收还是条件收敛？n=2解: (-1)n-1ln1(+1n2)=ln1(+1n2) ln(1+1Qlimn2)n®¥1=1 n2 级数å¥ln(1+12n=2n)收收敛， 从而级数å¥(-1)nln(1+1n=2n2)为绝对收敛. 10 计算I=òòx-y2ds, 其中D:-1£y£1,0£x£1. æç11ö÷Dè15ø 11. 计算I=òòx2+y2-2ds, 其中D:x2+y2£3. æç5pö÷Dè2ø14 12. 求由锥面z2=x2+y2与圆柱面x2+y2=ax(a>0)所围成的立体的体积. æç8öè9a3÷ø五应用题 1将周长为2p的矩形绕它的一边旋转得一圆柱体，问矩形的 边长各为多少时，所得圆柱体的体积为最大？ 解. 目标函数：V=px2y，附加条件：x+y=p L(x,y)=px2y+l(x+y-p) ìLX=2pxy+l=解方程组：ï0íL2y=px+l=0 ïîx+y=p得唯一可能极值点：x=2p,y=133p 故当矩形的边长分别为23p和13p时，绕短边旋转所得到园柱 体的体积最大，且其体积为V=427pp3 2从斜边之长为l的一切直角三角形中，求有最大周长的 直角三角形. 解： 设直角三角形的两直角边分别为x和y，问题化为求 A=x+y+l在条件x2+y2=l2下的最大值问题。 设L(x,y)=x+y+l+l(x2+y2-l2) .2分 15 ìLX=1+2xl=0ï 解方程组íLy=1+2yl=0 ïx2+y2=l2î 得 x=y=2 .5分 22l时直角三角形的周长最 故可知当两直角边都等于2大。 .7分 3. 求原点到曲面(x-y)2-z2=1上点的最短距离. 4. 证明: 曲面xyz=a3上任一点处的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积 16