多元微积分A 期末复习题解答(1).docx
多元微积分A 期末复习题解答复习题2 一、填空题 1. 设曲线L:x2+y2=4 ，则曲线积分ò(x-y+1)x2+y2ds=LL8p 2若在全平面上曲线积分òn=04 二、单项选择题 1设有向曲线L为y=x，从点(1,1)到点(0,0)，则òf(x,y)dx=. LA . C. ò10f(x,x)dx; B. f(y2,y)dy; D. ò0110f(x,x)dx; 2yf(y2,y)dy. ò01ò2设曲面S质量分布均匀，且曲面S的面积A=3，曲面S的质心是(2,-1,0)，则òòydS= SA . -3; B. -2; C. 0; D. 1. 3设曲面S为z=-1的上侧，则. A . C. òòzdxdy=1; B. òòzdydz=1; SSòòzdzdx=-1; D. òòzdxdy=-1. SS多元微积分 A 补考试卷解答 第 1 页 共 6页 4. 下列正项级数中收敛的是. ¥n5n-3nA. å B. ; ånn4n=02n=1¥C. ån=1¥1n¥ D. n+1. å2n=1n¥5. 幂级数ån=1(-1)nnx. nA. 在x=-1，x=1处均发散; B. 在x=-1处收敛，在x=1处发散; C. 在x=-1处发散，在x=1处收敛; D. 在x=-1，x=1处均收敛. ì1-x,-p£x£06 设f(x)是以2p为周期的函数，在一个周期内f(x)=í ，0<x<pî1+x,则f(x)的傅里叶级数在点x=0处收敛于. A. 2; 三、设曲线L:y=2x+1上任意一点处的质量密度为 B. 1; C. 0; D. -1. r(x,y)=xy，求该曲线构件的质量M. 解： y¢=2，ds=5dx， M=òxyds L=òx(2x+1)5dx 01=75 6rrr四、求质点在平面力场F(x,y)=yi+2xj作用下沿抛物线L：y=1-x2从点(1,0)移动到点(0,1)所做的功W的值. 解： W=òydx+2xdy L=ò1-x2+2x(-2x)dx 10=ò 10多元微积分 A 补考试卷解答 第 2 页 共 6页 =2 3五、利用格林公式计算曲线积分ò(y2cosx+y)dx+(2ysinx+3x+1)dy，L其中曲线L为x2+y2=1的右半部分，从A(0,-1)到B(0,1). 解： L1:x=0，y从1到-1， P=y2cosx+y,¶Q¶P=2ycosx+3, =2ycosx+1, Q=2ysinx+3x+1,¶x¶yòL+L1Pdx+Qdy=òò ¶x¶yD-11又 òL1Pdx+Qdy=òdy=-2 所以ò(y2cosx+y)dx+(2ysinx+3x+1)dy=p+2 L六、 利用对面积的曲面积分计算旋转抛物面S：z=1-x2-y2在xoy面上方部分的面积 22¢解： z=1-x2-y2，z¢x=-2x,zy=-2y,dS=1+4x+4ydxdy， A=òòdS S=òò1+4x2+4y2dxdy D =ò =2p0dqòr1+4r2dr 0155-1p 6七、利用高斯公式计算曲面积分òòxydydz+yzdzdx-yzdxdyå, 其中å为圆锥面z=x2+y2及平面z=0，z=1所围成的圆锥体W的整个边界曲面的外侧 解： P=xy,Q=yz,R=-yz， 多元微积分 A 补考试卷解答 第 3 页 共 6页 òòxydydz+yzdzdx-yzdxdy=òòò(åW¶P¶Q¶R+)dv=òòòzdv ¶x¶y¶zW =ò =2p0dqòrdròzdz 011rp4(x-3)n八、求幂级数å的收敛区间. n(n+1)×5n=0¥解： an=an+11n+11， r=lim=lim=n®¥an®¥5(n+2)(n+1)×5n5n1 R=r=5 收敛区间为x-3<5，即 九、判别交错级数å(-1)nsinn=1¥1 是否收敛? 如果收敛，通过推导，指出n是绝对收敛还是条件收敛. 解： un=sin1>0，limun=0，un 单调递减， n®¥n¥由莱布尼茨申敛法知，交错级数å(-1)nsinn=11收敛。 n111 又 (-1)nsin=sin， nnn¥1所以å(-1)nsin发散， nn=1故交错级数å(-1)nsinn=1¥1为条件收敛. nxn十、( 7分 )求幂级数å的和函数，并求数项级数 nn×2n=1¥多元微积分 A 补考试卷解答 第 4 页 共 6页 (-1)n-1(-1)n-111=1-+L+L ån23nn=1¥的和. xn解： 设s(x)=å， nn=1n×2¥两边求导得 s¢(x)=ån=1¥xn-11， =n2-x2x两边积分得s(x)-s(0)=-ln(1-) ，又s(0)=0， 2¥(-1)n1当x=-2时，å收敛；当x=2时，å发散， nn=1nn=1¥x所以 s(x)=-ln(1-)， ， 2¥(-1)n(-1)n-1(-1)n-111令x=-2，å=-ln2 ，å=1-+L+L=ln2 nn23nn=1n=1¥十一、将函数f(x)=x展开为x的幂级数 (1-x)2¥1解： ， =åxn 1-xn=0¥1n-1两边求导得， =nxå2(1-x)n=1¥xn 所以 =nxå2(1-x)n=1十二、证明数项级数åcos(n!)绝对收敛 2nn=1¥多元微积分 A 补考试卷解答 第 5 页 共 6页 证明： cos(n!)1 £n2n2¥¥1cos(n!)因为å2收敛，由比较审敛法知å收敛， 2nnn=1n=1所以数项级数cos(n!)绝对收敛 å2nn=1¥多元微积分 A 补考试卷解答 第 6 页 共 6页
