多元微积分A 期末复习题解答.docx
多元微积分A 期末复习题解答复习题1 一、填空题 1. 设曲线L:x2+y2=1 上任意一点处的质量密度为r(x,y)=x2+y2，则该 曲线构件的质量M=2p 2在全平面上(x+3y)dx+(kx+y)dy=0为全微分方程，则常数k= 3 . rr3向量场F=ezcosx,xy2z,ezsinx的散度 divF=2xyz 4设曲面S：x2+y2+z2=1，则òò(1+x-2y)dS=S4p 1öæ15. 数项级数åç-÷的和s= 1 n+1øn=1èn 二、单项选择题 1设有向曲线L为y=x2，从点(1,1)到点(0,0)，则òf(x,y)dy=. L¥A . C. ò0101f(x,x2)dx; B. f(y,y)dy; D. ò102xf(x,x2)dx; 1òò0f(y,y)dy. 2设曲面S质量分布均匀，且曲面S的面积A=2，òòxdS=0，òòydS=2，SS òòzdS=4，则曲面S的质心是SA .(0,1,2); B.(2,1,0); C. (1,0,2); D. (1,2,0). 3设曲面S为z=2的下侧，则下列结论中错误的是. A . òòzdxdy=-2p; B. òòzdxdy=2p; SS多元微积分 A 试卷解答 第 1 页 共 6页 C. òòzdydz=0; D. òòzdzdx=0. SS¥n=04. 设数项级数å(lna)n收敛，则常数a所在的区间是. A. (0,e); B. (0,1); C. (e-1,e); D. (0,e-1). 5. 下列正项级数中收敛的是. ¥2n+4nnA. å B. ; ånn+13n=1n=1¥¥11C. å D. åsin2. nn=1n=1n¥ìx-1,-p<x£06 设f(x)是以2p为周期的函数，在一个周期内，f(x)=í，x+1,0<x£pî则f(x)的傅里叶级数在点x=0处收敛于. A. -1; B. 0; C. 1; D. 三、计算曲线积分òL1. 2x2yds，其中L为连接两点(1,0)及(0,1)的直线段. 解：L的方程为y=1-x ，y¢=-1 òLx2yds=òx2(1-x)2dx 01=2ò(x2-x3)dx=012 12rrr四、验证平面力场F(x,y)=cosxsinyi+sinxcosyj所做的功与路径无关，ræppö并求质点在力F的作用下沿直线L从点(0,0)移动到点ç,÷所做的功W的值. è22ø解： 功W=òcosxsinydx+sinxcosydy LP=cosxsiny,Q=sinxcosy， 因为 ¶P¶Q=cosxcosy=，所以力所做的功W与路径无关 ¶y¶xL的方程为y=x，x从0到p， 2多元微积分 A 试卷解答 第 2 页 共 6页 pW=ò22cosxsinxdx=1. 0或L为折线(0,0)®(,0)®(,)，W=ò2cosydy=1 0222五、利用格林公式计算曲线积分ò(2xey+1)dx+(x2ey+x)dy，其中曲线LLpppp为圆x2+y2=1的上半部分，从A(1,0)到B(-1,0). 解： L1:y=0 ，x从-1到1， òL+L1(2xey+1)dx+(x2ey+x)dy=òò(2xey+1-2xey)ds=òòds=DDp2， 其中D:x2+y2£1,y³0； 1L1-1又 ò(2xey+1)dx+(x2ey+x)dy=ò(2x+1)dx=2， 所以 ò(2xey+1)dx+(x2ey+x)dy=Lp2-2 六、 计算曲面积分òòz2dS，其中 S为圆锥面z=x2+y2 S解： z=x2+y2，¶z=¶xxx+y22,¶z=¶yyx+y22， dS=2dxdy， Dxy:x2+y2£1 òòzS2dS=Dxyòò(x02+y2)2dxdy， =2ò2pdqòr3dr=012p 2七、利用高斯公式计算曲面积分222ydydz+xdzdx+zdxdy, 其中å为òòå圆柱面x2+y2=1及平面z=0，z=3所围成的圆柱体W的整个边界曲面的外侧 解： 由高斯公式可得 222ydydz+xdzdx+zdxdy=òòò2zdv òòåW多元微积分 A 试卷解答 第 3 页 共 6页 =ò2p0dqòrdrò2zdz=9p 0013 其中 W:x2+y2£1,0£z£3 八、求幂级数ån， n3nn的收敛区间. (x-1)nn=03¥解： an=r=liman+111=， 幂级数的收敛半径为R=3， n®¥a3rn 解 x-1<3，得幂级数的收敛区间为(-2,4) 1九、判别交错级数å(-1)n-1ln(1+)是否收敛? 如果收敛，通过推导，指nn=1¥出是绝对收敛还是条件收敛. 1解： un=ln(+n®¥1) ，n则 limun=0，且 un单调递减，由莱布尼茨审敛法知， 1交错级数å(-1)n-1ln(1+)收敛; nn=1111当n®¥时，(-1)n-1ln(1+)=ln(1+)， nnn¥故 å(-1)n=1¥n-11ln(1+) 发散； n¥1所以交错级数å(-1)n-1ln(1+)条件收敛. nn=1多元微积分 A 试卷解答 第 4 页 共 6页 (-1)n2n+1十、( 9分 ) 求幂级数åx的收敛域与和函数，并求数项级数 2n+1n=0¥(-1)n111(-1)n=1-+-+L+L的和. å3572n+1n=02n+1¥解： å(-1n)x2n=n=0¥1 ， 1+x2(-1)n2n+1两边积分，得 å， x=arctanx 2n+1n=0¥(-1)n当x=±1时，±å都收敛， 2n+1n=0¥(-1)n2n+1所以 å， x=arctanx n=02n+1¥¥(-1)n111(-1)np令x=1，则 å=1-+-+L+L=. 3572n+14n=02n+1 十一、利用ex的幂级数展开式，将函数f(x)=x(e2x-1) 展开为x的幂级数 (2x)n¥2nn解： e=å， =åx n!n!n=0n=02x¥¥æ¥2nnö2nnf(x)=x(e-1)=xçåx-1÷=xåx n=1n!èn=0n!ø2x2nn+1¥2n-1n=åx=åx . n=1n!n=2(n-1)!¥多元微积分 A 试卷解答 第 5 页 共 6页 十二、设级数åa收敛，证明级数å2nn=1¥an绝对收敛 n=1n¥证明: ¥¥an1æ21ö£çan+2÷， n2ènø¥¥an11æ21ö收敛收敛收敛， a,Þa+Þååååçn22÷nøn=1n=1nn=12èn=1n2n所以 an绝对收敛 ånn=1¥多元微积分 A 试卷解答 第 6 页 共 6页
