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复旦大学博弈论第二章习题问题1：设博弈方1和博弈方2就如何分10000元钱进行讨价还价。假设确定了以下原则：双方提出自己要求的数额s1和s2，0£s1，s2£10000。如果，s1+s2£10000，则两博弈方的要求都得到满足，即分得s1和s2；但如果s1+s2>10000，则该笔钱就被没收。问该博弈的纯策略纳什均衡是什么？如果你是其中一个博弈方，你会选择什么数额，为什么？ 问题2：设古诺模型中有n家厂商。qi为厂商i的产量，Q=q1+q2+L+qn为市场总产量。P为市场出清价格，且已知P=P(Q)=a-QCi=Ci(qi)=cqi，也就是说没有固定成本且各厂的边际成本都相同，为常数c(c<a)。假设各厂同时选择产量，该模型的纳什均衡是什么？当趋向于无穷大时博弈分析是否仍然有效？ 问题3：两寡头古诺模型，P=P(Q)=a-Q，但两个厂商的边际成本不同，分别为c1和c2。如果0<ci<a/2，问纳什均衡产量各为多少？如果c1<c2<a，但2c2>a+c1，则纳什均衡产量又为多少？ 问题4：如果双寡头垄断的市场需求函数是P=P(Q)=a-Q，两个厂商都无固定成本边际成本为相同的常数c。如果两个厂商都只能要么生产垄断产量的一半，要么生产古诺产量。证明：这是一个囚徒困境型的博弈。 问题5：两个厂商生产一种完全同质的商品，该商品的市场需求函数为Q=100-P，设厂商1和厂商2都没有固定成本。若他们在相互知道对方边际成本的情况下，同时作出产量决策是分别生产20单位和1 30单位。问这两个厂商的边际成本各是多少？各自的利润是多少？ 问题6：两个企业1、2各有一个工作空缺，企业i的工资为wi，并且(1/2)w1<w2<w1。设有两个工人同时决定申请这两个企业的工作，规定每个工人只能申请一份工作，如果一个企业的工作只有一个工人申请，该工人肯定能得到这份工作；但如果一个企业的工作同时有两个工人申请，则企业无偏向地随机选择一个工人，另一个工人则会因为错过向另一个企业申请的时机而失业。该博弈的纳什均衡是什么？该博弈的结果有多少种可能性，各自的概率是多少？ 问题7：五户居民都可以在一个公共的池塘里放养鸭子。每只鸭子的收益v是鸭子总数N的函数，并取决于N是否超过某个临界值N；如果N<N，收益v=v(N)=50-N；如果N³N时，v(N)º0。再假设每只鸭子的成本为c=2元。若所有居民同时决定养鸭的数量，问该博弈的纳什均衡是什么？ 问题8：应用均衡概念和思想讨论下列得益矩阵表示的静态博弈。 博弈方2 L R U 6，6 2，7 博弈方1 D 7，2 0，0 问题9：三对夫妻的感情状态可以分别用下面三个得益矩阵对应的静态博弈来表示。问：这三个博弈的纳什均衡分别是什么？这三对夫妻的感情状态究竟如何？ 2 矩阵1： 丈夫 活着 死了 妻子 活着 1，1 0，-1 死了 -1，0 0，0 矩阵2： 丈夫 活着 死了 妻子 活着 0，0 0，1 死了 1，0 0，0 矩阵3： 丈夫 活着 死了 妻子 活着 -1，-1 0，1 死了 1，0 0，0 3 ìss£10000-s2问题1：解：u1(s1)=í11，那么，s1=10000-s2 0s>10000-sî12ìss£10000-s1那么，s2=10000-s1 u2(s2)=í22î0s2>10000-s1它们是同一条直线，s1+s2=10000上的任意点(s1,s2)，都是本博弈的纯策略的Nash均衡。假如我是其中一个博弈方，我将选择s1=5000元，因为(5000,5000)是比较公平和容易接受的。它又是一个聚点均衡。 问题2：pi=pqi-cqi=(a-c-åqj)qi，i=1,2,L,n j=1n令¶pi=a-c-2qi-åqj=0，i=1,2,L,n ¶qij¹i2a-cæa-cö*=q2=L=qn=解得：q1，p1=p2=L=pn=ç÷ n+1èn+1ø当n趋向于无穷大时，这是一个完全竞争市场，上述博弈分析方法其实已经失效。能不能提出你的建议与改进措施？ 问题3：双方的反应函数联立求解 ì*1q1=(a-2c1+c2)ïì2q1+q2=a-c1ï3，解得：í íq+2q=a-cî122ïq*=1(a+c-2c)212ï3î当0<ci<a/2，就是这个博弈的Nash均衡。 *如果c1<c2<a，但2c2>a+c1，当然可以推得q2=0。那么厂商1就变成垄a-c(a-c)。 *=断商它的最佳产量当然是q1，它的利润是：p1*=24a-ca-c问题4：古诺产量，垄断产量的一半，那么 342(a-c)pi=(a-c-Q)qi分别有四种情况：92(a-c)，825(a-c)5(a-c)， 3648222222厂 a-ca-ca-c5a-c5a-c()()()()， ， 商 古诺产量3 364899一 222a-c5(a-c)25a-ca-ca-c()()()垄断产量的一半 ， ， 4483688双方都有偷步的行为，直至达到古诺产量，达到均衡。 问题5：p1=(100-q1-q2)q1-c1q1，p2=(100-q1-q2)q2-c2q2 ¶p¶p令1=100-c1-2q1-q2=0，2=100-c2-2q2-q1=0 ¶q1¶q2厂商二 a-c古诺产量 3垄断产量的一半a-c 4 4 *代入q1=20,q2=30，所以：c1=30,c2=20。 问题6： 工人2 企业1 企业2 11工 企业1 w1，w1 w1，w2 人 22111 w2，w2 企业2 w2，w1 22有两个纯策略均衡，还有混合策略均衡。 2w-w2w-wa=b=12，1-a=1-b=21 w1+w2w1+w2问题7：ni是第i个农户养鸭子的数量，N=n1+n2+n3+n4+n5，当N<N时， ui=niv(N)-2ni=ni(50-N)-2ni，i=1,2,3,4,5 ¶ui=0,i=1,2,3,4,5，那么 ¶niì2n1+n2+n3+n4+n5=48ïn+2n+n+n+n=4812345ïï*ín1+n2+2n3+n4+n5=48，那么n1=n2=n3=n4=n5=8 ïn+n+n+2n+n=4845ï123ïîn1+n2+n3+n4+2n5=48如果N>5´8=40，则上述临界条件成立，五户居民每户养8只鸭子，就是该博弈的Nash均衡。 éNù*如果N£40，那么上述条件不成立，n1=n2=n3=n4=n5=êú。 ë5û问题8：有两个纯策略Nash均衡。和，但还有一个混合策14æ21öæ21ö略Nash均衡。ç,÷，ç,÷。但效率不高，双方的期望收益都是；不如的效率高，是Pearto均衡。应该设置一种机制，促使该Pearto均衡实现。 问题9：矩阵1有两个Nash均衡，和混合策æ11öæ11ö略Nash均衡ç,÷«ç,÷。两人的感情很好，同生死，共患难，极度恩爱，è22øè22ø单独活着反而更加痛苦。 矩阵2有三个Nash均衡，。说明两人感情恶化，生活很不幸福。一方死了，另一方更好，但没有到相互不可容忍的地步。这说明夫妻感情很不好，处于相当危险的状态。 矩阵3有两个Nash均衡，。达到你死我活、势不两立的程度。这说明这对夫妻感情状态极度恶化，已经相互仇恨到了不共戴天的程度。 5
