复合函数单调性的判定方法.docx

复合函数单调性的判定方法复合函数单调性的判定方法 定理 设yf(u)，u(m，n)，ug(x)，x(a，b)(1)若yf(u)是(m，n)上的减函数，则yfg(x)的增减性与g(x)的增减性相反；(2)若yf(u)是(m，n)上的增函数，则yfg(x)的增减性与g(x)的增减性相同 证明：(1)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取ax1x2b，则有mg(x1)g(x2)n，由f(u)在(m，n)上是减函数得fg(x1)fg(x2)，故fg(x)在(a，b)上是减函数若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证fg(x)在(a，b)上是增函数 (2)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取ax1x2b，则有mg(x1)g(x2)n，由f(u)在(m，n)上是增函数，得fg(x1)fg(x2)，所以fg(x)在(a，b)上是增函数若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证fg(x)在(a，b)上是减函数 由此定理可知，复合函数单调性的判定是以简单函数的单调性为基础，而中学数学中的简单函数均是初等函数，因此熟悉各种初等函数的单调性是判定复合函数单调性的基础若能对各种初等函数的图象了如指掌，则对复合函数的单调性的判定将大有裨益我们就可借助初等函数的图象确定它的单调性，判定它的单调区间和函数值域，再利用上述定理就很容易判定复合函数的单调性 例1 讨论函数f(x)log0.5(x24x4)的单调性 解 f(x)的定义域为(，2)(2，)f(x)可视为2ylog0.5u与ux4x4复合而成u的图象是以x2为对称轴，开口向上的抛物线，在(，2)上为减函数，在(2，)上为增函数又ylog0.5u在其定义域上是减函数，故f(x)在(，2)上是增函数，在(2，)上是减函数 例2 试求函数f(x)2x2的单调区间 解 函数f(x)2x2可视为f(u)2u与ux2复合而成函数ux2在(，0上为减函数，在0，)上为增函数，且u0函u数f(u)2在u0时为增函数所以，f(x)在(，0上为减函数在0，)上为增函数 推论 由有限个简单函数复合而成的多重复合函数，若在所讨论的区间内每个简单函数均有意义，且均为严格单调函数当其中减函数的个数是偶数时，则复合函数是增函数；当减函数的个数是奇数时，则复合函数是减函数 (1)若0a1当x1时，在构成复合函数的三个函数中，2ylogau和vxx2是减函数，则f(x)是增函数当x2时，在构成复合函数的三个函数中，只有ylogau是减函数，则f(x)是减函数 (2)若a1，当x1时，构成复合函数的三个函数中只有一个函数ylogau是减函数，则f(x)是减函数当x2时，构成复合函数的三个函数都是增函数，则f(x)是增函数