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复变函数练习题考试复习题一. 填空 11-cosq+isinq的指数形式： 2sinçæqö÷×eè2øi(p-q)22 (3+4i)1+i=5e-arctan(43)-2kpcosln5+arctan(43)+isinln5+arctan(43) sin6-ish23 tan(3-i)= 2ch21-sin23() 4 函数f(z)=y3-3x2y+ix3-3xy2解析，则则f¢(z)=-6xy+i3x2-3y2 5 6 ()()dz=0 2òz=1z+2z+2z=2ò(z+i)(z-1)(z-3)10dz=-pi(3+i)107 函数zf(z)=1+z21+epz()()的奇点：z=±i，二级极点；zk=(2k+1)i,k=1,±2,L为一级极点8 将函数f(z)=sin2z展开为z的幂函数： f(z)=å(-1)n=1¥n+122n-12nz,z<+¥ (2n!)1x2y2+=1的正向，求积分ò(z-1)ez-1dz=1/2 9 设C:49C1-e2z, 0 = 2 10 Res z3选择题 1 z=0是函数f(z)=z2e的 A 一级极点 B 本性奇点 C 可去奇点 D 零点 2 函数w=z的解析区域是： b1zA 复平面 B 扩充复平面 C 除去原点的复平面 D 除去原点与负实轴的复平面 dz3 设C为正向圆周z=2，则积分ò3的值为 2Cz(z-1) A 4 B 6pi C 0 D 8pi z134 函数f(z)=6在复平面上的所有有限奇点处留数的和： (z-1)(z8+1)A 4 B 1 C 1 D 2 5 分式线性映射w=f(z)将上半平面Im(z)>0映为上半平面Im(w)>0，w(2i)=i,w¢(0)=1,则映射w=f(z)可能为： 2z+1iz+2z+2z+2i, B f(z)=, C f(z)=, D f(z)= -z+1-z+2-z+2-z+2i三 设函数f(z)在z=z0连续，且f(z0)¹0，求证:可以找到z0的一个邻域，使函数f(z)在此邻域的内取值不 A f(z)=为零。 四 计算积分ò2z+Re(z)dz，其中C是从点A(1,0)到B(-1,0)的上半个圆周。 C 1 z2-2z+5五 求f(z)=在圆环域1<z<2和0<z-2<5内的罗朗展开式。 2(z-2)z+1p1dq,(a>b>0)。 六 计算ò0a+bcosq七 设w=f(z)在z<1上解析，且为分式线性映射，f(z)£1，w=f(z)将z<1映为w<1，证明： ()f¢(z)=1-f(z)1-z22£11-z2选择题 1；2；3；4；5 三 证明：因为f(z0)¹0，由连续性的概念，取e=f(z0)2>0，存在d>0， 使当z-z0<d时，有： f(z)-f(z0)<f(z0)2 从而 f(z0)-f(z)<f(z0)2 即：f(z)>f(z0)2>0 即：f(z)¹0. 四 解：C的参数方程为z=cost+isint，0£t£p， ò2z+Re(z)dz=ò(3cost+2isint)(-sint+icost)dt =ò(-5sintcost)dt+iò(3cost-2sinC0pp200p2t)dt 5pét5ùp=cos2t|0+iê+sin2tú=i 4ë24û02z2-2z+5五 求f(z)=在圆环域1<z<2和0<z-2<5内的罗朗展开式。 2(z-2)(z+1)p112p1pdq=òdq六 解：由于奇偶性，ò. 0a+bcosq2220a+bcosqa-biqz-a七 证明：由题意得，f(z)=e 1-az21-f(z)22¢()()1-fz=fz1-z 欲证f¢(z)=，只需要证明： (*) 21-zp()iq由于f¢(z)=e1-a22(1-az)，故f¢(z)=1-a1-az222iq又f(z)=f(z)×f(z)=e2z-a-iqz-a×e =1-az1-azzz-az-az+a1-az= f¢(z)1-z代入前面(*)，可得：1-f(z)=1-2zz-az-az+a1-az22(2) 故不等式得证。 又因为z<1,f(z)<1，则：f¢(z)=1-f(z)1-z22£11-z2复变函数与积分变换试题与答案 一、填空题 1z=-12-2i的三角表示式： ，指数表示式 2limf(z)表示z以 方式趋于z0时，f(z)的极限。 z®zo 。 2 3设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则f¢(z)= dz= |z|=1z2+5z+6ln(z+1)5函数f(z)=的奇点： z = 。 4积分ò。 ，孤立奇点： 极点： 。 6若w=f(z)在zo为共形映射， 表示这个映射在zo的转动角 表示这个映射在zo的伸缩率。 7分式线性映射具有 性， 性， 性。 8如果要把带形域映成角形域，我们经常利用 函数。 9傅代变换中，F(w)= ，f(t)= 。 10拉代变换中，F(s)= ，f(t)= 。 11以T为周期的函数f(t)，即f(t+T)=f(t)(t0)，当f(t)在一个周期上是分段连续时，则有Lf(t)= 。 二、判断题 1区域Im(z)0是无界的单连通的闭区域。 2初等函数在其定义域内解析，可导。 3解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的u(x,y)与v(x,y)互为共扼调和函数。 4如果f(z)在zo解析，那么f(z)在zo连续。 5如果f¢(zo)存在，那么f(z)在zo解析。 6如果zo是f(z)的奇点，那么f(z)在zo不可导。 7如果u(x,y)，v(x,y)的偏导数存在，那么f(z)=u+iv可导。 8每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛。 9幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点。 10在zo处可导的函数，一定可以在zo的邻域内展开成泰勒级数。 三、计算 3eiz1ò2dz C:|z-2i|=，取圆周正向。 2Cz+1sinzdz C:|z|=2，积分沿圆周正向。 p2C(z-)2dz3ò|z|=2 积分沿圆周正向。 (z+i)10(z-1)(z-3)2òxsinxdx的值 220x+a四、求解 1求u(x，y)=y33x2y与它的共扼调和函数v(x，y)构成的解析函数f(z)=u(x，y)+iv(x，y) 4I=ò+¥(z-1)2n2求幂级数å的和函数，并注明其收敛域。 n!n=03求对数函数的主值ln在z=0处的泰勒展式。 14求函数在z=2处的罗朗展式，并指明其收敛圆环。 (z-1)(z-2)5应用付代变换解微分方程： H¢(t)+H(t)=d(t) -¥<t<+¥ ¥6求F(s)=s这个拉氏变换的逆变换。 2s+1参考答案 一、填空题 3 -pi55öæ14çcosp-isinp÷，4e6； 66øè52任何； 3ux+ivx，vyiuy； +¥-¥+¥0 40； 50，1，负实轴，0，无； 8指数； 6Argf¢(zo)，f¢(zo)； 97保角，保圆，保对称； òf(t)e-iwtdt，1-st2pò+¥-¥f(w)e-iwtdw； 10ò1b+i¥F(s)estds； f(t)edt，ò2pib-i¥1111-e-sTòT0f(t)e-stdt 6×； 二、判断题 1×； 2×； 3×； 7×； 8×； 9×； 三、计算 4； 10×。 5×； eiz1解：=òcize=pe(1分) =2pi=2piez+iz=i2z(z+idz (2分)=pe z=i)-12解：=2pif(n)(zo)n!p2原式=2pi×Resf(z),p22 =2picoszz=0 =2picoszz=p=0 3解：=-2piResf(z),3+Res(z),¥ ìüpi1 =-=-2pií+0ý1010(3+i)î2(3+i)þexzixiz=2pi×=pie-a(2分) 4解：ò(2分)edx=2piRese,ai2222-¥x+az+a2+¥-aò+¥-¥xsinx1-a=pe(2分) x2+a22四、求解 1解：¶u¶v=-6xy= ¶x¶y2v=-6xydy=-3xy+g(x)ò¶v=-3y2+g¢(x) ¶x¶v¶u =-¶x¶y22232-3y=g¢(x)=-3y+3x g(x)=x3+c v(x,y)=x-3xy+c f(z)=(y-3xy)+i(x-2xy+c)=i(z+c) 2(z-1)2n2解：å=e(z-1) n!n=0¥13解：=å(-1)nzn 1+zn=032323¥|z|<+¥ |z|<1 nxdzn=å(-1)òzndz ln(1+z)=ò001+zn=0n+1¥nz =å(-1) |z|<1 n+1n=0z 4 4解：将f(z)在1<|z2|<+内展开为罗朗级数 11 =z-11+z-2¥111 (2分)=å(-1)n ×n+1(z-2)z-21+1n=0z-2¥1原式=å(-1)n(+¥>|z-2|>1) n+2(z-2)n=05解：FH¢(t)+1+(t)=Fd(t) iwFH(t)+FH(t)=1FH(t)=ìe-bt衰减函数f(t)=íî0ìe-btt³0H(t)=í î0t<01 iw+1t³01 Ff(t)= b+iwt<06解：f(t)=cost s2+1有两个一级零点s1=i，s2=i 12sstésùésùstf(t)=Lê2(2分)Rese,seåkú2úê2sës+1ûës+1ûk=11it-itt>0 =(e+e)=cost2+s=isste2ss=-i复变函数与积分变换试题与答案 一、填空 1z=i的三角表示式是： 。指数表示式是 曲线是一个 。 338的全部单根是： ， ， 4函数在f(z)=|z|2在z平面上是否解析 5设C是正向圆周|z|=1，积分ò6函数f(z)=12 。2|z-1|=4在复平面上表示的。 。 。 ，其中 是极dz= cz2e的弧立奇点是 和 2(1-z)点， 是本性奇点。 7级数1+z+z2+L+zn+L在|z|<1时的和函数是 8分式线性映射具有 ， ， 二、判断题(每题2分，请在题后括号里打“”或“×”)。 1零的辐角是零。 2i<2i. 3如果f(z)在z0连续，那么f¢(z0)存在。 4如果f¢(z0)存在，那f(z)在z0解析。 。 。 ） ） ） ） ） ） ） ） 5e2=e-z 6解析函数的导函数仍为解析函数 7幂级数的和函数在其收敛圆内解析。 8孤立奇点的留数在该奇点为无穷远点时其值为-b-1 9单位脉冲函数d(t)与常数1构成一个傅氏变换对。 10共形映射具有保角性和伸缩率的不变性。 三、计算题 5 sinzdz 3z2öæ12ò|z|=4ç+÷dz èz+1z-3ø1òc3ò|z|=2zezdz z2-11在无穷远点处的留数 (z+i)10(z-2)四、求解题 1 求函数u(x,y)=x2-y2的共扼调和函数v(x,y)和由它们构成的解析函数f(z)，使f=0。 12 求函数f(z)=在0<|z-1|<1内的罗朗展开式。 2z(1-z)五、解答题 t<0ì01求函数f(t)=í-bt的傅氏变换F(w)。 t³0îe2求方程 y¢¢+2y¢-3y=e-t满足初始条件y¢t=0=1，yt=0=0的解。 4求函数f(z)=参考答案 一、1 cos p2+isinp2 ，eip2 2. 圆 73. 1-3i 1+3i 2 4. 否 5. 0 6. 1，1， 2. × 8. 18. 保角性，保圆性，保对称性 1-z5. × 6. 二、1× 7. 3. × 9. 4. × 10. 三、1解：原式=2pi(sinz)¢¢z=0 4分=sinzz=0=0 3分 2!dz2+òdz=2pi+4pi=6pi 2解：原式=ò|z|=4z+1|z|=4z-31æ11öz13解：ò+edz=ez+ez×2pi=2pich1 ç÷z=1z=-1|z|=22z-1z+1ø2èéæ1ö1ù4解：Resf,¥=-Resêfç÷2,0ú ëèzøzûéùêú9éù11zú=-Res,0=Resê,0êú=0 210êæ1ö10æ1úzöë(1+zi)(1-2z)ûêç+i÷ç-2÷úøëèzøèzû¶u¶u=2x =-2y 四、解： ¶x¶yf¢(z)=¶u¶v¶u¶v+i=-i=2z ¶x¶x¶x¶x2f(z)=z2 f(z)=z+c f(0)=0 ¥112解：=å(-1)n(z-1)n z1+z-1n=0f(z)=å(-1)n=0¥n(z-1)n-2 6 五、解： -iwtF(w)=(2分）ò(t)edt -¥+¥=ò+¥0e-bte-iwtdt=-t1 b+iw2解：F y¢¢+2y¢-3y=F e S2Y-SY-Y¢+2SY-Y-3Y=(S2+2S-3)Y=Y1 S+1(2分) 2 S+1S+2(S-1)(S+1)(S+3)y(t)=åResYest,Sk S+2S+2(S+2)eststst=e+e+(S+1)(S+3)s=1(S-1)(S+3)s=-1(S+1)(S-1)311=et-e-t-e-3t 848s=-3 7 8