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复变函数第四章练习题 第四章例题 例4.1 考察级数的敛散性。 解 因 发散，故虽收敛，我们仍断定原级数发散。 例4.2 试求下列各幂级数的收敛半径。 解 。 。 解 因故 。 ， 。 解 因故 。 ，其他情形 ， 解 应当是平方数时列 。因此，相应有。 ，于是数的聚点是0和1，从而例4.3 将在展开成幂级数。 解 因在内解析，故展开后的幂级数在内收敛。已经知道： ， 在时将两式相乘得 。 例4.4 求解 因的支点为及的展开式。 ，故其指定分支在内单值解析。 其一般表达式为：当时 ， 例4.5 将及展为的幂级数。 。 解 因 同理 ， 。 两式相加除以2得 两式相减除以得 ， 例4.6 试将函数 按的幂展开，并指明其收敛范围。 解 。 例4.7 考察函数 在原点解 显然的性质。 在解析，且。 由或由 ， 知 为的三级零点。 例4.8 求解 的全部零点，并指出它们的级。 在平面上解析。由得 即 故 这就是 ， 在平面上的全部零点。显然 故 都是函数 例4.9 设在试证：在证 若有使在内 内使或。因及在区域， 的二级零点。 内解析； 。 在点连续，故由例1.28知，存在的邻域，内恒不为零。而由题设 . 。 , 故必 由唯一性定理 例4.10 试用最大模原理证明例3.9。即证：“设在闭圆上解析，如果存在，使当时 ， 而且 则在圆证 如果在上解析。故 内，内， 至少有一个零点。” 无零点。而由题设在上，且在 在上解析。此时 且在上， ， 于是必非常数，在上 。 ， 由最大模原理，这就得到矛盾。