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复变函数习题复变函数与积分变换习题集 第三章 复变函数的积分 一、 判断题 微积分中的求导公式、洛必达法则、中值定理等均可推广到复变函数。 有界整函数必为常数。 积分z-a=rò1dz的值与半径r(r>0)的大小无关。 z-a 若在区域D内有f¢(z)=g(z)，则在D内g¢(z)存在且解析。 若f(z)在0<z<1内解析，且沿任何圆周c:z=r(0<r<1)的积分等于零，则f(z)在z=0处解析。 设v1,v2在区域D内均为u的共轭调和函数，则必有v1=v2。 解析函数的实部是虚部的共轭调和函数。 以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数。 二、选择题： 1设C为从原点沿0至1+2i的有向线段，则Rezdz=( ) Cò1111-i -+i +i -i 22222设C为不经过点0,1与-i的正向简单闭曲线，则òC1dz为( ) z(z-1)2(z+i)pipi - 0 (A)(B)(C)都有可能 223设C为从1沿x+y=1至i的直线段，则òC(x2+y2)dx-2xydy=( ) -i i 1 -1 e-z4设C为正向圆周z=2，则òdz= ( ) 2c(1+z)-2pi -2epi 2epi 2pi1 1 复变函数与积分变换习题集 5设C为正向圆周z=1，则òC2(z-2)3sin1z-2dz= ( ) 2z-6z+102pi(3cos1-sin1) 0 6picos1 -2pisin1 exdx，其中z¹4，则f¢(pi）6设f(z)=ò=( ) 3(x-z)x=4-pi -1 pi 1 sin(z)224dz= ( ) 7设C为正向圆周x+y-2x=0，则ò2Cz-1p22pi 2pi 0 -pi 22228设C为椭圆x+4y=1，则积分1òCzdz= 2pi p 0 -2pi 229设c为任意实常数，那么由调和函数u=x-y确定的解析函数f(z)=u+iv是 ( ) (A)iz+c iz+ic z+c z+ic 10设v(x,y)在区域D内为u(x,y)的共轭调和函数，则下列函数中为D内解析函数的是( ) v(x,y)+iu(x,y) v(x,y)-iu(x,y) 2222u(x,y)-iv(x,y) 三、填空题 ¶u¶v-i ¶x¶x 2 复变函数与积分变换习题集 1设C为负向圆周|z|=2，则zdz= Cò5z2+2z+12设C为正向圆周z-i=2，则òdz= 3C(z-i)x2y2x2-x+2+=1正向，则f(1)= 3设f(z)=òdx,其中曲线C为椭圆49x-zCf¢(2+i)= f¢¢(-i)= 4设C为正向圆周z=1，则òCdz z5解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 6设C是从p到i的直线段，则积分ecoszdz= Còz7设C为过点2+3i的正向简单闭曲线，则当z从曲线C内部趋向2+3i时， exlimdx= ，当z从曲线C外部趋向2+3i时，z®2+3iòx-zccosxdx= 。 z®2+3iòx-zclim8调和函数j(x,y)=xy-x+y的共轭调和函数为 9若函数u(x,y)=x+axy为某一解析函数的虚部，则常数a= 10设u(x,y)的共轭调和函数为v(x,y)，那么v(x,y)的共轭调和函数为 四、计算积分 132ò|z|=1|z-1|dz|=8 2.6zdz, 其中R>0,R¹1且R¹2。 ò2z=R(z-1)(z+2)1dz，其中C为不经过z=±ai的简单正向闭曲线. ò222C(z+a)3 3复变函数与积分变换习题集 五、设f(z)在z平面上解析，且f(z)恒大于正常数M, 试证f(z)为常值函数. 六、证明：若f(z)在圆周|z-z0|=r上及其内部解析，则f(n)(z0)=n!2prnò2p0f(z0+reiq)e-inqdq. 七、设f(z)在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数a,b，试求极限f(z)dz并由此推证f(a)=f(b). R®+¥ò(z-a)(z-b)z=Rlim八、设f(z)在z<R(R>1)内解析，且f(0)=1,f¢(0)=2，试计算积分z=1ò(z+1)2f(z)dzz2并由此得出ò2p0cos2q2f(eiq)dq之值. 答案： 一、´， Ö，Ö，Ö，´，´，´，´， 二、1C 2. D 3. D 4. B 5. B 6. A 7. A 8A 9. D 10. B 三、1-8pi 210pi 3. 4pi, 0, 4pi 4. 2p 5. 平均值 1epei+(cosh1+isinh1) 7。2pie2(cos3+isin3)，0 8.(y2-x2)-y-x+c 9. 6。222-3 10. -u(x,y) 四、1. 设z=e, 则dz=iedq,|dz|=dq, 所以 iqiqò|z|=1|z-1|dz|=ò|cosq-1+isinq|dq=8. 02p2当0<R<1时，0； 当1<R<2时，8pi； 当2<R<+¥时，0 3分情况讨论： C为不包含z=±ai的简单正向闭曲线 4 复变函数与积分变换习题集 1dz=0 ò222C(z+a)C为包含z=ai，不包含z=-ai的简单正向闭曲线 12p1¢=2pi=. dz23ò222(z+ai)4a(z+a)Cz=aiC为包含z=-ai，不包含z=ai的简单正向闭曲线 12p1¢=2pi=-. dz23ò222(z-ai)4aC(z+a)z=-aiC为即包含z=-ai，也包含z=ai的简单正向闭曲线 1dz=0 ò222C(z+a)五、提示：对1运用刘维尔定理. f(z)七、提示：估值不等式证明极限0. 再用柯西积分公式计算，可验证f(a)=f(b)。 f(z)dz=8pi,八、ò(z+1)2zz=12ò2p0cos2qf(eiq)dq=2p. 2 5
