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基本不等式及其应用简单数学简单爱，数学让我更精彩；有限时间，有限精力，有限题目，无限能力 必修五专题八：基本不等式及其应用 一知识结构 a+b (a³0，b³0)，当且仅当_时，等号成立 1.ab£2a+b其中和ab分别称为正数a，b的_和_ 22.基本不等式的重要变形： a2+b2³_(a，bÎR)Ûab£_； a+b³_(a，bÎR+)Ûab£_ 2a+b222(a+b)³ 2经典例题：下列不等式在a、b>0时一定成立的是_ 2aba+b2aba+ba2+b2a2+b2 ab ab a+b2a+b222a+b2ab2aba+ba2+b2a2+b2 ab ab 2a+ba+b2223均值定理 已知x，yÎR+，则： S2若x+y=S，则当x=y时，积xy取得最_值； 4若x×y=P，则当x=y时，和x+y取得最_值2P 利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。 二题型选编(熟能生巧,在有限时间内提高解题效率的最佳方法) 题组一：利用不等式求最值 例1：求下列各题的最值： 4+x的最小值； x-352xÎR，求f(x)=sinx+1+的最小值； 2sinx+140<x<，求f(x)=x(4-3x)的最大值； 3x>3，求f(x)=已知x>0,y>0,且变式练习： 19+=1,求x+y的最小值。 xy 第- 1 页 简单数学简单爱，数学让我更精彩；有限时间，有限精力，有限题目，无限能力 1设a,bÎR，且a+b=3，则2+2的最小值是 A6 B42 C22 D26 2下列不等式中恒成立的是 A abx2+214x2+4³2 Bx+³2 C³2 D2-3x-³2 xxx2+2x2+5B当x>0时,x+1³2 x3下列结论正确的是 A当x>0且x¹1时,lgx+1³2 lgxC当x³2时,x+11的最小值为2 D当0<x£2时,x-无最大值 xx4若x,y是正实数， 则(x+y)(+1x4)的最小值为 yA6 B 9 C 12 D 15 5若正数a、b满足ab=a+b+3，则a+b的取值范围是 A9,+¥) 6,+¥) C(0,9 D(0,6) 6设yÎR，且4y2+4xy+x+6=0，则x的取值范围是 A-3£x£3 B-2£x£3 Cx£-2或x³3 Dx£-3或x³2 7下列函数中最小值是4的是 44 By=sinx+ xsinx121+x1-x+3,x¹0 Cy=2+2 Dy=x+2x+1Ay=x+8若关于x的方程9+(4+a)×3+4=0有解，则实数a的取值范围是 A(-¥,-8È0,+¥) B(-¥,-4 C(-8,4 D(-¥,-8 9已知x<xx51，则函数y=4x-2+的最大值 。 44x-52a2-2a+110已知a>2，p=，q=2-a+4a-2则 a-2Ap>q Bp<q Cp³q Dp£q 11已知函数f(x)=lg(5+x4+m)的值域为R，则m的取值范围是 5xA.(-4,+¥) B. -4,+¥) C.(-¥,-4) D. (-¥,-4 第- 2 页 简单数学简单爱，数学让我更精彩；有限时间，有限精力，有限题目，无限能力 11 +的最大值为 。xy12.设x,yÎR,a>1,b>1，若a=b=3，则a+b=23，xy13若ab1，Plga×lgb，Q(lga+lgb)，Rlgç12æa+bö，则P、Q、R的÷）2èø大小关系是 ； 题组二：利用基本不等式解应用题 例2：某造纸厂拟建一座平 面图形为矩形且面积为162平方米的 三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示), 如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔 墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计. 试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价； 若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求 出最低总造价. 变式练习： 1某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y与营运年数x的函数关系为y=-(x-6)2+11(xÎN*),则每辆客车营运多少年，其运营的年平均利润最大 2一批货物随17列货车从A市以v km/h的速度匀速直达B市。已知两地铁路线长400 km，为了安全，两列货车的间距不得小于(v2)km ，那么这批货物20全部运到B市最快需要多少小时？ 3某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需 运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为 4某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房 子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用 把房屋总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域； 当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？ 25某校要建一个面积为392 m的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4 m的小路。问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值。 2m 4m4m 第- 3 页 2m简单数学简单爱，数学让我更精彩；有限时间，有限精力，有限题目，无限能力 6经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y与汽车的平均速度u之间的函数关系为：y=920u(u>0)。 2u+3u+1600在该时段内，当汽车的平均速度u为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？ 若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？ 7如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米， 要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内? (2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小?并求最小面积； (3)若AN的长度不少于6米，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积 8某单位决定投资3200元建一仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求： 仓库面积S的最大允许值是多少？ 为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 8解：设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则顶部面积为S=xy 依题设，40x+2´45y+20xy=3200，由基本不等式得 3200³240x×90y+20xy=120xy+20xy=120S+20S， S+6S-160£0，即(S-10)(S+6)£0，故S£10，从而S£100 所以S的最大允许值是100平方米， 取得此最大值的条件是40x=90y且xy=100，求得x=15，即铁栅的长是15米。 第- 4 页
