圆的方程公开课教学设计.docx

圆的方程公开课教学设计§2.1圆的标准方程 教学目标 (一)知识与能力 1.了解确定圆的条件; 2.理解圆的标准方程的推导过程及方程形式,逐步理解用代数方法研究几何问题; 3.会用圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标,能根据条件写出圆的标准方程,能选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题. (二)过程与方法 1.由确定圆的条件推导出圆的标准方程; 2.明确求圆的标准方程的一般步骤. (三)情感态度与价值观 1.渗透数形结合的思想方法; 2.培养学生的思维品质和提高学生的思维能力. 3.培养学生合作交流的意识,培养勤于思考、探究问题的精神. 教学重点 1.已知圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程的求法; 2.在求圆的标准方程的过程中,加强对坐标法的理解. 教学难点 根据已知条件,利用待定系数法确定圆的三个参数a,b,r,从而求出圆的标准方程. 教具准备 制作多媒体,辅助教学. 教学方法 引导、合作、讨论、探究法. 设计思想 设计的根本出发点是促进学生的发展。教师以合作者的身份参与，课堂上建立平等、互助、融洽的关系，师生共同研究，在教学过程中，教师遵循数学发展规律，并依据建构主义教育理论，创设一系列数学实验环境，在情境中让学生观察、类比、猜想、尝试、探索、归纳并引导加以证明，强调主动建构，从深层次加强学生对知识的感知度，使学生能更好地理解和掌握圆的标准方程。 教学过程 (一)课题引入 1.圆的定义:平面内绕着线段的一个端点旋转一周所组成的图形. (描述性定义) 探究 圆的几何特征(学生讨论) 教师总结:圆的几何特征是圆上任意一点到定点的距离等于定长. 说明:(1)定点叫圆心,定长称为半径; 探究:确定圆的条件(学生讨论) 教师总结:一个圆的圆心位置和半径一旦给定,那么这个圆就被确定下来了,所以确定圆的条件是圆心和半径. 说明:在确定圆的条件中,圆心和半径缺一不可,其中: 圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小. 2.圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹(集合). (运动变化的思想) 说明:(1)其中定点叫做圆的圆心,定长叫做圆的半径. (2)设圆心为C(a,b),半径为r(r>0)的圆上的点M就是集合P=M|MC=r 3.曲线方程的一般求解步骤:(1)写出适合条件的点M的集合; (2)用坐标表示集合; (3)化方程为最简形式. (二)圆的标准方程 圆的标准方程的推导过程:(圆心为C(a,b),半径为r(r>0)的圆) 设P(x,y)是圆上的任意一点,根据圆的定义,点P(x,y)到圆心C(a,b)的距离为r,即PC=r,由两点间的距离公式,得(x-a)2+(y-b)2=r 把式两边平方,得圆的标准方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2 说明: (1)圆的标准方程中有两个基本要素:圆心和半径,即只要三个参数a,b,r(r>0),确定了,圆的标准方程就确定了,这也是用待定系数法求圆的标准方程的思想方法; (2)特别地,当a=b=0(即圆心在坐标原点),时,圆的标准方程为: x2+y2=r2;又当r=1时,圆的标准方程为x2+y2=1(单位圆); (3)点与圆的位置关系:点在圆上,点在圆内,点在圆外. 及时反馈 口答1:下列说法正确吗? (1)圆(x-1)2+(y-2)2=3的圆心坐标为(-1,-2),半径为3; (2) 圆(2x-2)2+(2y+4)2=2的圆心坐标为(2,-4),半径为2; (3) 圆(x+1)2+(y+2)2=m2(m¹0)的圆心坐标为(-1,-2),半径为m; 口答2:下列方程分别表示什么图形? (1)x2+y2=0; (2) x2+y2=4; (3)y=4-x2; (4) y=4-x2(x<0); 口答3:已知圆O的方程为(x+1)2+(y-1)2=4,判断下列点与圆O的位置关系: (1)A(1,1); (2)B(0,1); (3)C(0,3) 口答4:写出满足下列条件的圆的标准方程. (1)以C(4,-6)为圆心,半径等于3 (2)以C(-4,6)为圆心,半径等于3 (三)例题解析 例.已知两点M1(4,9),M2(6,3),求以M1M2为直径的圆的标准方程. 解:方法一(待定系数法). 设圆心为C(a,b),半径为r(r>0) 则a=4+69+3=5,b=6 22r=CM1=(4-5)2+(9-6)2=10 故所求圆的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=10 变式1.已知圆C的圆心在直线4x+y=0上,且过点M1(4,9),M2(6,3),求此圆的标准方程. 解: 线段M1M2的中垂线方程为x-3y+13=0, ìx-3y+13=0ìx=-1Þí 即圆心坐标为C(-1,4), íî4x+y=0îy=4又r2=M1C=(4-(-1)2+(9-4)2=50, 故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y-4)2=50 变式2.已知DM1M2M3三个顶点的坐标为M1(4,9),M2(6,3),M3(4,-3),求此三角形外接圆的标准方程. 解: 线段M1M2的中垂线方程为x-3y+13=0,线段M1M3的中垂线方程为y=3 ìx-3y+13=0ìx=-4Þí 由í 即得圆心C的坐标为(-4,3) îy=3îy=32 又r2=(-4-6)2+(3-3)2=100 故所求圆的标准方程为(x+4)2+(y-3)2=100 总结用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤: (1)根据题意,设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2 ; (2)根据已知条件,利用几何或代数关系求出a,b,r; (3)将所得的a,b,r的值代回所设的圆的方程中,即得圆的标准方程. (四)测试反馈 1. 课本P79练习 2. 求满足下列条件的圆的标准方程: (1)经过点P(5,1),圆心为点C(8,-3); (2)如图,圆经过两点A(-1,4),B(3,2),圆心在y轴上. 解(1)方法一:r=PC=5,圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25 方法二:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,点P(5,1)在圆上, (5-8)2+(1+3)2=r2,r2=25,圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25 (2)方法一:设圆心为C(a,b),圆心在在y轴上,a=0, 设圆的标准方程为x2+(y-b)2=r2,因为该圆过A(-1,4),B(3,2)两点,所以有222ììb=1ï(-1)+(4-b)=r22Þx+(y-1)=10 ,所以圆的标准方程为í2í222r=10ïîî3+(2-b)=r方法二:线段AB的中垂线方程为:y-3=2(x-1),即y=2x+1,令x=0,得y=1, 又r=AC=10, 所以圆的标准方程为x2+(y-1)2=10 3.求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的标准方程. 解:以题意,圆的半径r=3´1-4´3-732+42=16, 5所以圆的标准方程为:(x-1)2+(y-3)2= (五)课时小结 (1)确定圆的条件; (2)圆的标准方程的形式和求法. (六)布置作业 (1)P85 习题A组 1 (1),(2),(3) 256 25 (2)问题延伸,课外探究: ()已知圆的方程为x2+y2=r2,试求过圆上一点P(x0,y0)的切线方程. ()已知圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,试求过圆上一点P(x0,y0)的 切线方程. (七)板书设计 §2.1圆的标准方程 (一)课题引入 (三)例题解析 (四)课堂演练 1.初中对圆的定义 例1 2.高中对圆的定义 变式1 (二)圆的标准方程 变式2 例2 (五)课时小结 说明 例3 (八)课后反思 本节在给出圆的标准方程的过程中，运用简单、特殊的到复杂、一般的数学思想，使用了观察、猜测、经验归纳等方法进行合情地推理，同时引导学生对照圆的几何形状，观察和欣赏圆的方程，体会数学中的美对称、简洁。圆的标准方程的应用是本节的难点。为了突破难点，设计三个例题。充分利用多媒体的动感演示，刺激学生的感官，引起更强的注意，从而使学生理解理论来源于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，增强应用意识；同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。最后设计了“问题延伸”，让学生带着问题走进课堂，又带着问题走出课堂，激发学生不断求知、不断探索的欲望。 在整个教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来，教师的每项措施都是为了力求给学生创造一种思维情境，一种动手、动脑、动口并且主动参与学习的机会，激发学生求知的欲望，促使学生掌握知识，解决问题。