圆柱和圆锥知识点和题型.docx

圆柱和圆锥知识点和题型圆柱、圆锥基本知识点 1、圆的周长：C=d =2r 2、圆的面积：S=r2 3、圆柱的侧面积：把圆柱侧面沿高展开，得到一个长方形，长方形 的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高。 S 侧=Ch=dh=2rh 逆推公式有：C=S 侧÷h h=S 侧÷C 4、圆柱的表面积：S表=S 侧+2S底 4、圆柱的体积： V柱=Sh=r2 h 逆推公式有： S= V柱 ÷h h=V柱÷S 5、圆锥的体积： V锥=3 1 Sh 逆推公式有：S= V锥×3 ÷h h=V锥×3÷S 6、等底等高的情况下，圆柱体积是圆锥体积的3倍。 等底等高的情况下，圆锥体积是圆柱体积的1/3 等底等高的情况下，圆锥体积比圆柱体积少2 /3 等底等高的情况下，圆柱体积比圆锥体积多2倍 7、等体积等高的圆柱和圆锥，圆锥底面积是圆柱底面积的3倍； 等体积等底面积的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱高的3倍。 8、圆柱的横切：切成n段，需要n-1次，增加2×个底面积 9、圆柱的纵切：切1次，增加2个长方形，长方形的长是底面的直径，宽是圆柱的高 10、圆锥的纵切：切1次，增加2个三角形，三角形的底是圆锥的直径，三角形的高是圆锥的高 11、把一个正方体削成一个最大的圆柱，正方体的棱长就是圆柱的底面直径和高。 12、熔铸，体积不变。 注水问题：上升的 13、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，说明底面周长和高的比是11，半径和高的比是12，直径和高的比是1 14、当侧面积一定时，越是细、长的圆柱体积越小，越是粗、矮的圆柱体积越大。 15、特殊的值 1.52=7.065 2.52=19.625 16、 圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 即AG矩形的一条边为轴，旋转360°所得的几何体就是圆柱。 2 其中AG叫做圆柱的轴，AG的长度叫做圆柱的高，所有平行于AG的线段叫做圆柱的母线，DA和D'G旋转形成的两个圆叫做圆柱的底面，DD'旋转形成的曲面叫做圆柱的侧面。 17、圆柱的体积：圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱体的体积。设一个圆柱底面半径为r，高为h，则体积V：V=r2h ；如S为底面积，高为h，体积为V：V=Sh 圆柱的体积跟长方体、正方体一样，都是底面积×高 圆柱体积=底面积×高 V柱Sh =r2 h 圆柱的高=体积÷底面积 h =V柱÷S=V柱÷(r2) 圆柱的底面积=体积÷高 S=V柱÷h 圆柱的侧面积：圆柱的侧面积=底面的周长*高，S侧=Ch ；圆柱有一个曲面，叫做侧面；两个底面之间的距离叫做高。 特征：圆柱的底面都是圆，并且大小一样。 18、 圆柱的切割：a.横切：切面是圆，表面积增加2倍底面积，即S增=2r2 b.竖切：切面是长方形，该长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径，表面积增加两个长方形的面积，即S增=4rh 注：圆柱高增加减少，圆柱表面积增加减少的只是侧面积。 19、 考试常见题型： a.已知圆柱的底面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面周长 b.已知圆柱的底面周长和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面积 c.已知圆柱的底面周长和体积，求圆柱的侧面积，表面积，高，底面积 d.已知圆柱的底面面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积， e.已知圆柱的侧面积和高，求圆柱的底面半径，表面积，体积，底面积 以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公式进行计算。 20、 常见的圆柱解决问题： 、压路机压过路面面积、烟囱、教学楼里的支撑柱、通风管、出水管； 、压路机压过路面长度； 、水桶铁皮； 鱼缸、厨师帽； 5、求钢管的体积：V钢管=×h 20、 圆锥立体几何定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。该直角边叫圆锥的轴 。 1、 圆锥的体积：一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积。一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3。 根据圆柱体积公式V=Sh，得出圆锥体积公式：V=1/3Sh S是圆锥的底面积，h是圆锥的高，r是圆锥的底面半径 圆锥的高=圆锥体积×3÷底面积 h =3 V锥÷S=3 V锥÷(r2) 圆锥的底面积=圆锥体积×3÷高 S=3 V锥÷h 圆锥体展开图的绘制：圆锥体展开图由一个扇形和一个圆 组成。(如右图）在绘制指定圆锥的展开图时，一般知道a和d 圆锥的切割：a.横切：切面是圆 b.竖切：切面是等腰三角形，该等腰三角形的高是圆锥的高，底是圆锥的底面直径，表面积增加两个等腰三角形的面积，即S 增=2Rh 考试常见题型： a 已知圆锥的底面积和高，求体积 b已知圆锥的底面周长和高，求圆锥的体积，底面积 c已知圆锥的底面周长和体积，求圆锥的高，底面积 以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆锥的底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公式进行计算。 生活中的圆锥：生活中经常出现的圆锥有：沙堆、漏斗、帽子。圆锥在日常生活中也是不可或缺的。 圆柱和圆锥的关系: 1圆柱的特征：一个侧面、两个底面、无数条高且侧面沿高展开图是长形或正方形。 2圆锥的特征：一个侧面、一个底面、一个顶点、一条高且侧面展开图是扇形。 3、 圆柱与圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥的3倍。 4、圆柱与圆锥等底等体积时，圆锥的高是圆柱高的3倍。 5、圆柱与圆锥等高等体积时，圆锥的底面积是圆柱的3倍。 6、圆柱体积比等底等高圆锥体积多2倍 圆锥体积比等底等高圆柱体积少2/3 等底等高：V锥:V柱1:3 等底等体积：h锥:h柱3:1 等高等体积：S锥:S柱3:1 题型总结: 1.高不变半径扩大缩小n倍，直径、底面周长、侧面积扩大缩小n倍，底面积、体积扩大缩小n2倍。 2.半径不变高扩大缩小n倍，侧面积、体积扩大缩小n倍 3.削成最大体积的问题： 正方体里削出最大的圆柱圆锥 圆柱圆锥的高和底面直径等于正方体棱长 长方体里削出最大的圆柱圆锥 圆柱圆锥底面直径等于宽圆柱圆锥高等于长方体高 ；圆柱圆锥底面直径等于高圆柱圆锥高等于长方体宽 4.浸水体积问题： 水面上升部分的体积就是浸入水中物品的体积，等于盛水容积的底面积乘以上升的高度。 5.等体积转换问题：一圆柱融化后做成圆锥，或圆柱中的溶液倒入圆锥，都是体 积不变的问题，注意不要乘以1/3 。 一、圆柱、圆锥常考知识点一 圆柱的表面积 1、切割、拼接表面积增加、减少问题。 例：一个圆柱高15分米，底面积是3.14平方分米，把它截成两个同样的小圆柱后，表面积比原来增加了平方分米。 注：这是切割表面积增加问题，而且是切成两个小圆柱，切一次，表面积增加两个底面圆的面积。 1、沿直径切，增加的是这样的长方形。 例：一个圆柱沿底面的一条直径纵切后，可以得到一个边长6厘米的正方形截面，这个圆柱的体积是 2、切的次数变化，切一次增加两个面 例：一个长是120厘米的圆柱，把它截成9个小圆柱所得的表面积总和，比截成6个小圆柱所得的表面积总和多180平方厘米，原来的圆柱的体积是多少？ 3、扩展到正方体、长方体。 例1：把一个长6厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体木块锯成两个小长方体，表面积至少增加( )平方厘米，至多增加( )平方厘米。 例2：一个长2米的长方体钢材截成三段，表面积比原来增加2.4平方分米，这根钢材原来的体积是( ) 2、高增加减少，表面积增加减少问题。 有一个圆柱体，如果把高增加2厘米后，表面积增加了50.24平方厘米，原圆柱体的底面积是 注：高增加，圆柱表面积增加的只是侧面积。 解析：根据题目条件可先求出底面周长，然后再求半径，最后可以求出底面积。 变形题目：一个长方体，如果长减少2厘米，就成为一个正方体，这时，正方体的表面积是96平方厘米，原来长方体的体积是 3、把一个直径是2分米的圆柱体的底面分成许多相等的扇形，然后沿直径把圆柱切开，拼成一个和它体积相等的长方体，这个长方体的表面比原来圆柱体表面积增加7平方分米，这个长方体的体积是立方分米。 注：表面积增加的是两个这样的长方形。 4、实际问题求表面积 例：一根2米长的通风管，横截面是直径为2分米的圆，制作这个通风管至少需要铁皮多少平方分米？注：没有底面 归纳：无底面：通风管、烟囱、教学楼里的支撑柱、出水管有一个底面：鱼缸、厨师帽 提高题：一个钢管，长30厘米，内直径8厘米，外直径10厘米，求它的表面积。 5、难点题：表面积最大，做一个圆柱省料问题 例1、用一个长是8厘米，宽是6厘米，高是4厘米的长方体做一个圆柱体，这个圆柱体的侧面积最大是多少？如果让圆柱的表面积最大，那么最大是多少？ 例2、用宽4米，长8.28米的厚铁皮做一个带盖的油桶，要求尽量少浪费材料又要把油桶做大些并把油桶涂上漆，计算油桶油漆 二、圆柱、圆锥常考知识点二 圆柱、圆锥的体积 1、比例关系 例：一个圆柱体和一个圆锥体的底面半径相等，它们的高的比是5：6，它们的体积比是 注：列表法，圆锥的体积不要忘乘1/3 2、圆柱、圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍； 圆柱、圆锥等体积等高时，圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍； 圆柱、圆锥等体积等底面积时，圆锥的高是圆柱高的3倍。 例：1、一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱和圆锥的体积相差6立方厘米，圆柱的体积是立方厘米；圆锥的体积是立方厘米。 2、一个圆柱形容器与一个圆锥形的容器底面积相等，将圆锥形容器装满水后全部倒入空圆柱形容器内，这时水深6厘米，圆锥形容器的高是厘米。 3、等体积变换 例：一个底面半径8厘米，高20厘米的圆柱形铁块，现在要把它铸成一个底面与圆柱相同的圆锥。这个圆锥的高是厘米 注：不要忘乘3 4、上升的水的体积=浸没物体的体积 例：在一个圆柱体容器中，放入一个半径是10cm的圆钢，若把它全部浸没在水里，水面就上升0.8cm，若让它露出水面3cm，水面就下降0.3cm，求这段圆钢的体积。 一、常见直接运用公式解题的题型： 1、一根圆木底面的直径和高都是3分米，这个圆柱体的体积是_。 2、量得一个圆柱体饮料罐底面半径是3厘米，高是半径的4倍，这个饮料罐的底面积是_ ，侧面积是_，表面积是_，体积是_。 3、用铁皮做一个无盖的圆柱形水桶，底面周长是12.56分米，高6分米。 做这个水桶至少需要多少平方分米铁皮？ 这个水桶最多可以盛水多少千克？ 4、一根长2米的圆柱形木材，把它锯成2个小圆柱后，表面积比原来增加25.12平方厘米。这根木材原来的体积是 _ 立方厘米。 二、通过变化一些条件，增加解题难度的题型： 1、一个圆柱的体积是75.36立方厘米。它的底面直径是4厘米，这个圆柱的高是_ 。 2、有两个高相等的圆柱，第一个圆柱的底面半径和第二个底面半径的比是2：3。第一个圆柱的体积是16立方厘米，第二个圆柱的体积是 立方厘米。 3、如果圆柱体的侧面展开是一个边长为3.14分米的正方形，圆柱的高是_，底面积是_。 4一个圆柱形油桶装了半桶汽油，把油桶里的汽油倒出40，还剩270升油桶中原有汽油；如果油桶底面积有45平方分米，则油桶的高是 难点突破：现实中的实际问题 1、某建筑物有几根大圆柱要油漆。圆柱的底面周长2.5米，高5.2米。按1千克油漆可漆5平方米计算，漆一根大圆柱要用多少千克油漆？ 2、将一个底面直径是20厘米，高为10厘米的金属圆柱体，全部浸没在直径是40厘米的圆柱形水槽中，水槽水面会升高多少厘米？ 23、一根圆柱形钢材，截下1米，量得它的横截面的半径是10厘米，截下的体积占这根钢材的5，这根钢材原来的体积是多少立方分米？