圆心角弦弧关系.docx

圆心角弦弧关系圆心角、弦、弧之间的关系 回顾1.圆是 对称图形，它的对称中心是 O2._叫做圆心角 3、垂径定理： 圆心 弧 弦 弦心距之间的关系 知识要点归纳 1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。 2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。 不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等。 这两个结论都是错误，首先CE、FD不是弦，CEA、BFD不是圆心角，就不可以用圆心角定理推论证明。 OCEAFBD 同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的“弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。 在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对的圆心角相等”，在“同圆中，相等的弦所对的劣弧相等”等。 5. 1°的弧：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。 一般地，N°的圆心角对着N°的弧，N°的弧对着N°的圆心角，也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 ÇÇ如图，同心圆，虽然ÐAOB=ÐCOD，但AB¹CD，而且AB¹CD，弦心 注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。而不是角与弧相等，距也不相切。 Ç在书写时要防止出现“ÐAOB=AB”之类的错误。因为角与弧是两个不能比较变量的概念。相等的弧一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧。 6. 圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系 在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。 当弦为圆中的最大弦时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，趋近于半径。 在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立。 注意：不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。 ODCAB 要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念与“所对”一词的含义，从而正确运用上述关系。 下面举四个错例： ÇÇ若O中，AC=DB，则CE=FD，ÐCEA=ÐDFB 7. 辅助线方法小结： 有弦的中点时，常连弦心距，进而可利用垂径定理或圆心角、弦、弧、弦心距关系定理；另外，证明两弦相等也常作弦心距。 在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。 有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法： 连过弧中点的半径；连等弧对的弦；作等弧所对的圆心角。 1. 如图，将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系？ 相等的弦： ；相等的弧： 理由： 结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的弦也 表达式： 同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，所对的弦也 表达式： 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 ，所对的 也相等 表达式： 注：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也 。 5、在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？ 弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 例1、如图，AB、AC、BC都是O的弦，AOC=BOCABC与BAC相等吗？为什么？ OABC例题2、已知：如图，AB是O的直径，点C、D在O上，CEAB于E，DFAB于F，且AE=BF，AC与BD相等吗？为什么？ CD AOEFB如图,在O中, = ,AC BD 1=30°,则2=_ 一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为 _。 Ç4. O中，直径ABCD弦，AC度数=60°，则BOD=_。 5. 在O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为 6.如图，AB是直径，BCCDDE，BOC40°，AOE的度数是 。 典型例题： 例1如图，在O中，AB=AC，AOB=60 °，求证AOB=BOC=AOC 例2. 如图，在O中，AB、CD是两条弦，OEAB于点E，OFCD于点F， 如果AOB=COD,那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？ 如果OE=OF，那么的大小有什么关系？为什么？AB与CD的大小有什么关系？为什么？AOB与COD呢？ 归纳： 。 1.如果两个圆心角相等，那么 A这两个圆心角所对的弦相等; B这两个圆心角所对的弧相等 C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; D以上说法都不对 2下列说法中，正确的是 A等弦所对的弧相等 B等弧所对的弦相等 C圆心角相等，所对的弦相等 D弦相等所对的圆心角相等 3.如图，AB是O的直径，»BCCD»=DE¼, COD=35°，求AOE的度数。 EDC AOB 二、探究新知 探究：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。 将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？你能证明吗？ A A(A) B B B(B) O A O 得出： 在等圆中，是否也能得出类似的结论呢？ 做一做：在纸上画两个等圆，画AOB=AOB，连结AB和AB，则弦AB与弦AB， 弧AB与弧AB还相等吗？为什么？请学生动手操作，在实践中发现结论依旧成立。 说一说 尝试将上述结论用数学语言表达出来。 思考：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你能得到什么结论？在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？在同圆或等圆中，如果两条弦心距相等呢？ 学生小组讨论，归纳得出： 三、例题讲解 例：如图，在O中，弧AB=弧AC，ACB=60°， 求证：AOB=BOC=AOC。 四、巩固练习 AEB1. 判断题，下列说法正确吗？为什么？ O·D如图所示：因为AOB=AOB，所以=. FC在O和O中，如果弦AB=AB，那么=。 2. 已知：如图所示，AD=BC。求证：AB=CD。 变式练习1：已知：如图所示，AB=CD。求证：AD=BC。 O ACDB变式练习2：已知：如图所示，=。求证：AB=CD。 EF CAB变式练习3：已知：如图所示，AB=CD。求证：=。 D12EOÇÇ3.在圆O中，AC=DB，求证：AE=BF。 CDAMONB4.D、E是圆O的半径OA、OB上的点，CDOA、CEÇÇOB，CD=CE，则CA与CB的关系是？ 变式练习：已知AB为圆O直径，M、N分别为OA、OB中ÇÇ点，CMAB，DNAB。求证：AC=BD。 5.小林根据在一个圆中圆心角、弦、弧三个量之间的关系认为在如图中已知AOB=2 COD,则有 弧AB=2弧CD ,AB=2CD,你同意他的说法吗? 例1. 已知：如图，在O中，弦AB、CD的延长线交于P点，PO平分APC。 求证：ABCD；PAPC AMBO12PDCN 分析：要证明两弦相等，可利用弧、圆心角、弦心距之中的一种相等来证，由于已知角平分线PO过圆心，利用弦心距相等可以解决。 证明：过O点作OMAB于M，ONCD于N PO平分APC OMON ABCD 此题还有几种变式图形，道理是一样的。 弦AB、DC的交点在圆上，即B、P、D三点重合。 若PO平分APC，求证：PAPC。 AOPC 弦AB、CD交于P点 PO平分APC，求证：ABCD。 AOPDBC 此题还可将题设与结论交换一下，即已知ABCD，求证：PO平分APC，证法与上面一样，利用弦心距等。 在RTPOM和RTPON中， ìÐ1=Ð2 ïíÐOMP=ÐONP ïîOP=OP DPOMDPON(AAS) PM=PN QAM=12AB，CN=12CD，AB=CD AM=CN PM+AM=PN+CN 即PAPC 例2. 如图，在O中，AB2CD，那么 AOBCDA.ABÇ>2CDÇB.ABÇ<2CDÇC.ABÇ=2CDÇD.ABÇ与2CDÇ的大小关系不可能确定 分析：要比较ABÇ与2CDÇ的大小，可以用下面两种思路进行： 把ABÇ的一半作出来，然后比较12ABÇ与CDÇ的大小； 把2CDÇ作出来，变成一段弧，然后比较2CDÇ与ABÇ的大小。 解法一： 过O点作OFAB于E，则AFÇ=FBÇ=12ABÇ，AE=EB=12AB QAB=2CD，AE=CD=12AB QAFÇ=FBÇ，AF=FB Q在DAFB中，AF+FB>AB，2AF>AB AF>CD 2AFÇ>2CDÇ，即ABÇ>2CDÇ 故选A。 解法二： 如图，作弦DE=CD，连结CE，则DEÇ=CDÇ=1Ç2CE Q在DCDE中，有CD+DE>CE 2CD>CE QAB=2CD，AB>CE ABÇ>CEÇ，ABÇ>2CDÇ例3. 如图，CD为O的弦，ACÇ=BDÇ，OA、OB交CD于F、E。 求证：OEOF 证法一：连结OC、OD QOC=OD，ÐC=ÐD QACÇ=BDÇ，ÐCOA=ÐBOD DCOFDDOE OE=OF 证法二：过O点作OMCD于N交O于M CMÇ=MDÇ 又QCAÇ=BDÇ，AMÇ=MBÇ ÐAOM=ÐBOM 又QÐFNO=ÐENO=90°，ON=ON DOFNDOEN OF=OE 例4. 如图，O中AB是直径，COAB，D是CD的中点，DEAB。 求证：ECÇ=2EAÇ分析：在同圆中，要证ECÇ=2EAÇ，考虑分别求出ECÇ和EAÇ的度数，而弧的度数又等于它们所对的圆心角的度数，则关键是求出COE、AOE的度数。 证明：连结OE QED/AB，COAB EDCO QD是CO中点 QOE=OC，OD=12OE，ÐDEO=30° ÐEOD=90°-30°=60° ECÇ的度数是60° QÐEOA=ÐDEO=30° AEÇ的度数是30° ECÇ=2EAÇ 例5. 如图，DABC是等边三角形，AB是O直径，AEÇ=EFÇ=FBÇ，CE、CF 交AB于M、N。 求证：AMMNNB 解析一： 由于E、F是半圆AEBÇ的三等分点，故连结OE，知ÐAOE=60°，因而DAOE也为等边三角形。所以，ÐEAB=ÐCBA，即AE/BC，则DAMEDBMC，可求得AMBM=12，知AM是直径AB的三等分之一，同理，BN也是AB的三分之一，故问题得证。 证法一：连结OE、AE，设等边ABC的边长为2a QAB为O直径，AEÇ=EFÇ=FBÇ ÐEOA等于1Ç3AEB的度数 ÐEOA=13´180°=60°，AO=EO=a DAOE为等边三角形 AE=AO=a 又QÐEAO=ÐCBA=60°，AE/BC DAMEDBMC AMBM=AEa1BC=2a=2 AMAB=13 同理，BNAB=13 MN=AB-213AB=3AB AM=MN=NB 解析二： 连结OE，易知OE/AC，也可求得AMMO，进而可求得AM与半径的比。 证法二： 如图，连结OE，设AC2a，则ACAB2OE2a QÐCAM=ÐAOE=60°，AC/OE OMAM=OEAC=a2a=12 OM+AM3AM2AM=2，即OA=3 故AM1AB=3 同理，BN1AB=3 AM=MN=NB 解析三： 要证AMMNNB，即证AM：MO2：1，故联想到三角形的重心性质，若能证明M是ACG的重心，问题得证。 证明三： 连结AE，并延长交CO的延长线于G 设AC2a，则有AEOAa ACBC，AOOB AOCG，CABGAO60°，AOAO AOCAOG OCOG，且AGAC2a AEa，AEEGa 即E为AG中点，O为CG中点 M为ACG的重心 AM=2213AO=3a=3AB 同理，NB=13AB AM=MN=NB AOB D E CAOCEDBBEAOCFD圆心角、弦、弧之间的关系 2013-9-1 15008620708 姓名： 1、下列三个命题：圆既是轴对称图形又是中心对称图形；垂直于弦的直径平分弦； 相等的圆心角所对的弧相等在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么弦也相等。其中真命题的是 A B C D 2如果两个圆心角相等，那么 A这两个圆心角所对的弦相等; B这两个圆心角所对的弧相等 C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; D以上说法都不对 3如图1，如果AB为O的直径，弦CDAB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是 ACE=DE B弧BC=弧BD CBAC=BAD DAC>AD 4在同圆中，圆心角AOB=2COD，则两条弧AB与CD关系是 A弧AB=2弧CD B弧AB2弧CD C弧AB2弧CD D不能确定 5题 6题 7题 9题 5、如图,已知O中,弧AB=弧BC,且弧AB：弧AMC=3:4,则AOC=_. 6、如图，已知AB,CD是O的直径，CE是弦，且ABCE,C=350，则弧BE的度数为 7如图，AB为O直径，E是弧BC中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_ 8、P为O内一点，OP=3cm，O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_；最长弦长为_ 9如图，OE、OF分别为O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_ 10.在O中，圆心角AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则O的直径的长为A42 B82 C24 D16 11.如图，在O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，ODAB于点D，OEAC于点E，且AB=8cm，AC=6cm，那么O的半径OA长_ 12.如图，O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且ABCD，已知CE=1，ED=3则O的半径是 13. 半径为4cm，120°的圆心角所对的弦长为 A. 5cm B. 43cm C. 6cm D. 33cm 14. 在O中，圆心角AOB90°，点O到弦AB的距离为4，则O的直径的长为 A. 42 B. 82 C. 24 D. 16 15. 如图，AB为O的直径，C、D是O上的两点， BAC=20°，弧AD=弧CD，则DAC的度数是 A. 70° B. 45° C. 35° D. 30° 16. 一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为_。 17. 一条弦等于其圆的半径，则弦所对的优弧的度数为_。 18. 在半径为R的圆中，垂直平分半径的弦长等于_。 19. 在O中，弦CD与直径AB相交于E，且AEC30°，AE1cm，BE5cm，那么弦CD的弦心距OF_cm，弦CD的长为_cm。 22. 已知A、B、C为O上三点，若弧AB、弧BC、弧CA度数之比为1：2：3，则AOB_，BOC_，COA21. 已知O中，直径为10cm，弧AB是O的1_。 ，则弦AB_，AB的弦心距_。 422. 已知：如图，在O中，弦ABCD，且ABCD于E，BE7，AE3，OGAB于G，求：OG的长？ 23. 如图，C是O的直径AB上一点，过点C作弦DE，使CDCO，使AD弧的度数为40°，求BE弧的度数。 24、如图6，AB是半圆O的直径，C、D是半径OA、OB的中点且OACE、OBDE，求证AE=EF=FB. 25、如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，交AD，BC于E，F，延长BA交O于G，求证：弧GE=弧EF 26、如图，已知AB和CD是O的两条弦，弧AD=弧BC，求证：AB=CD. C B O D A27、如图,在O中，AB=AC，ACB=60°，求证AOB=BOC=AOC. 28.如图，AOB=90°，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD 29. 如图：已知，OA为O的半径，AC是弦，OBOA并交AC延长线于B点，OA6，OB8，求AC的长。 30. 如图，ABC中，A=70°，O在ABC的三边上所截得的弦长都相等，求BOC的度数。 31. 如图：已知，O中，弧AB=弧BC=弧CD，OB、OC分别交AC、DB于M、N。 求证：OMN是等腰三角形。