圆和圆的位置关系数学习题及答案.docx

圆和圆的位置关系数学习题及答案一.内容： 圆和圆的位置关系 二. 教学目标： 1. 使学生掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法。 2. 使学生掌握两圆连心线的性质。 3. 通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力；培养学生的辩证唯物主义观点。 三. 教学重点和难点： 两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系既是重点也是难点。 四. 教学过程： 复习： 直线和圆有几种位置关系？各是怎样定义的？ 直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交。各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的。 新课 电脑演示，做两圆的相对运动。 1、定义： 如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离。 外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。） 内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含）。两圆同心是两圆内含的一个特例。） 如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切 外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。这个唯一的公共点叫做切点。） 内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。这个唯一的公共点叫做切点。） 两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交。） 注意： 两圆外离与内含时，两圆都无公共点，但同时要考虑内部和外部的因素。两圆外切与内切也有这样的比较。 两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一。 两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离；相交；相切。 提问：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交。除以上关系外，还有其它关系吗？可能不可能有三个公共点？ 答：“不在同一直线上的三个点确定一个圆”判断出这两个圆是同一个圆。即重合。 结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系。 2、两圆位置关系的数量特征 设两圆半径分别为R和r。圆心距为d，用电脑或投影再次出示两圆的五种位置关系，让学生观察R，r和d之间有何数量关系？ 学生很可能只说出dR-r，则应向学生说明，这时两圆还可能外切或外离，如果只说出dR+r，则还可能内切或内含。结合上图会发现R，r和O1O2构成AO1O2的三边。所以只有R-rdR+r时。才能判定两圆相交。反过来也成立，于是有： 为了方便记忆，将这五种数量关系用数轴表示为： 例：如图，O的半径为5厘米，点P是O外一点，OP=8厘米。 求：以P为圆心作P与O外切，小圆P的半径是多少？ 以P为圆心作P与O内切，大圆P的半径是多少？ 解：设小圆P与O外切于点A，则 PA=OPOA =85 =3cm 所以P1的半径是3cm 设大圆P与O内切于点B，则 PB=OP+OB =8+5 =13cm 所以P2的半径是13cm 3、相切两圆的性质。 P109思考 观察发现：相切两圆也组成轴对称图形，通过两圆圆心的直线叫连心线，是它们的对称轴 相切两圆的连心线的性质： 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。 例：如图，已知，O1和O2外切于P，并且O和O1、O2分别内切于M、N， O1O2O的周长为18cm。求：O的半径长。 解：设O、O1、O2的半径分别为R、r1、r2 O1和O2相外切 O1O2=r1+r2 又O和O1、O2分别相内切 O1O=Rr1，O2O=Rr2。 O1O2O的周长为18cm即 O1O2+O1O+O2O=+=18。 R=9 例：O1与O2相交于A、B两点，求证：直线O1 O2垂直平分AB。 证：连接O1A、O1B、O2A、O2B O1A= O1B O1在AB的垂直平分线上 O2 A=O2B O2在AB的垂直平分线上 直线O1 O2垂直平分AB 总结：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 例：已知：两个等圆O1和O2相交于A，B两点，O1经过点O2。求O1AB的度数 解：圆O1经过O2 O1O2=O1A=O2A O1AO2=60° O1A=O1B，O2A=O2B O1O2ABOA=OB 1O1AB=2O1AO2=30° 在解决有关相交两圆的问题时，常常添加以下几种辅助线：连心线、公共弦、连结交点与圆心。从而可以把两圆半径、公共弦长的一半、圆心距集中到同一个三角形中，利用三角形的有关知识加以解决。 例：如图，已知O1和O2相交于点A、B，O1在O2上，AC是O1的直径，CB与O2相交于点D，连结AD。 求证：AD是O2的直径。 求证：DA=DC。 AO2D证明：连结AB， AC是O1的直径， ABC=90°， ABD=90°，AD是O2的直径。 连结O1O2， AO1O1C，AO2=O2D， O1O2CD， C=AO1O2。 又O2A=O2O1， O2AO1=AO1O2， C=O1AO2， DA=DC。 O1BC例：相交两圆的公共弦长为6，若两圆半径分别为8和5，则两圆的连心线为_？ 解：圆心在公共弦两侧 QO1A=O1B，O2A=O2B O1O2为AB的垂直平分线 ABO1O2，AC=CB AO1=8，AC=3 O1C=55 QO2A=5，AC=3O2C=4O1O2=55+4 圆心在公共弦同侧 AO1O2CB同 O1C=55O2C=4O1O2=O1C-O2C=55-4 例：已知：圆O1与圆O2是等圆，相交于A、B，O2在圆O1上，AC是圆O2的直径，直线CB交圆O1于D，E为AB延长线上一点。 证明：AD是圆O1的直径； 若E=60°，求证：DE是圆O1的切线。 *两圆相交，通常连公共弦，把两圆中的边和角连接起来。 AO1O2DBEC证：AC是圆O2的直径 ABDC ABD=90° AD为圆O1的直径。 法一：AD是圆O1的直径 点O1为AD中点，连O1O2 点O2在圆O1上， 圆O1与圆O2的半径相等 O1O2=AO1=AO2 DAO1O2是等边三角形 AO1O2=60° 由中位线O1O2/DC ADB=AO1O2=60° ABDC，E=60° BDE=30° ADE=ADB+BDE=60°+30°=90° AD直径 DE是圆O1的切线 法二：连O1O2 点O2在圆O1上，圆O1与圆O2的半径相等 点O1在圆O2上 AO1=AO2=O1O2 O1AO2=60° AB公共弦 ABO1O2 O1AB=30° E=60° ADE=180° =180° =90° AD是直径，DE是切线 例：已知，如图所示，圆O1与圆O2相交于A、B两点，圆心O1在圆O2上，过B点作两圆的割线CD，射线DO1交AC于E点。 求证：OEAC 证：连结AB、作圆O1的直径AC1 AC1为直径 BAC1+AC1B=90° C=C1 C1AB=D C+D=90° DEAC AECO1C1BDO2例：已知，如图所示，圆O1与圆O2相交于A、B两点，过A点的弦分别交两圆于C、D，弦CE/DB，连结EB，试判断EB与圆O2的位置关系，并证明你的结论。 证：连结BO2并延长交圆O2于F， BF为直径 1+2=90° EC/DB E+EBD=180° E+EBO2+3=180° 2=E，1=3 2+1+EBO2=180° EBO2=90°， O2BEB，EB与圆O2相切。 AEO1B12C3B1DO2F 1. 若两圆无公共点，则两圆的位置关系为_。 2. 若两圆有公共点，则两圆的位置关系为_。 3. 已知两圆半径为12.4cm和7.3cm，则两圆相切时，圆心距等于_。 4. 已知两圆的半径之比为3：5，若两圆内切时圆心距等于6cm，则两圆的半径分别为_；若两圆无公共点，则圆心距d的取值范围为_。 5. 若两圆半径为r和R，圆心距为d，且d<R+r，则两圆位置关系为_。 6. 若两圆的半径分别是2cm和4cm，圆心距是1cm，则两圆的位置关系是_。 7. 在ABC中，C=90°，AC=4cm，BC=3cm，圆A、圆B、圆C两两外切，则圆C的半径是_。 8. 若两圆直径分别是8+t和8t，圆心距为16，则两圆的位置关系为_。 222 9. 若两圆半径分别为R和r，其圆心距为d，且有R-r+d=2Rd，则两圆的位置关系为_。 10. 若两圆半径分别为R和r，圆心距为d，且d³R-r，则两圆位置关系为_。 11. 已知圆O1和圆O2相切，这个图形是_对称图形，它的对称轴是_，切点与对称轴的位置关系为_。 12. 两个半径相等的圆的位置关系有_种。 13. 已知两圆的半径R、r是方程x-3x+1=0的两根，两圆的圆心距为d。 若d=5，试判定两圆的位置关系； 若d=2，试判定两圆的位置关系； 若两圆相交，试确定d的取值范围； 若两圆相切，求d的值。 14. 已知，如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1m的水泥管两两相切摞在一起，求其最高点到地面的距离。 2 1. 外离或内含 2. 外切或相交或内切 3. 19.7cm或5.1cm 4. 9cm 15cm d>24cm或0d<6cm 5. 内含或内切或相交 6. 内含 7. 1cm 8. 外离 9. 内切或外切 10. 不内含 11. 轴 两圆的连心线 切点在对称轴上 12. 三 213. 由R、r是方程x-3x+1=0的两根可得R+r=3， Rr=1，Rr=|Rr|=(R+r)-4Rr=9-4=5 d=5>R+r，所以两圆外离； d=2<Rr，所以两圆内含； 因两圆相交，Rr<d<R+r，5<d<3； 两圆相切，d=R+r或d=Rr，所以d=3或5。 23m 14. 其截面图中三个圆的圆心组成一个边长为1m的正三角形，其高为2，其最高点到地面和距离为(3+1)m2。