圆与方程知识点整理.docx
圆与方程知识点整理关于圆与方程的知识点整理 一、标准方程 (x-a)2+(y-b)=r2 21.求标准方程的方法关键是求出圆心(a,b)和半径r 待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材P119例2 利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2.特殊位置的圆的标准方程设法 条件 方程形式 圆心在原点 x+y=r2222(r¹0) 222过原点 (x-a)+(y-b)=a+b22圆心在x轴上 (x-a)+y=r(r¹0) 22圆心在y轴上 x+(y-b)=r(r¹0) 22圆心在x轴上且过原点 (x-a)+y=a(a¹0) 22圆心在y轴上且过原点 x+(y-b)=b(b¹0) 2222(a2+b2¹0) 2与x轴相切 (x-a)+(y-b)=b(b¹0) 2与y轴相切 (x-a)+(y-b)=a(a¹0) 2222与两坐标轴都相切 (x-a)+(y-b)=a二、一般方程 222(a=b¹0) x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 三、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系 d<rÞ点在圆内；d=rÞ点在圆上；d>rÞ点在圆外 2.涉及最值： 圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值 PBmin=BN=BC-r PBmax=BM=BC+r 1 圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值 PAmin=AN=r-AC PAmax=AM=r+AC 思考：过此A点作最短的弦？ 四、直线与圆的位置关系 1.判断方法 相离Û没有公共点ÛD<0Ûd>r 相切Û只有一个公共点ÛD=0Ûd=r 相交Û有两个公共点ÛD>0Ûd<r 这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 知识要点 基本图形 主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l与圆C相切意味着什么？ 常见题型求过定点的切线方程 切线条数 点在圆外两条；点在圆上一条；点在圆内无 求切线方程的方法及注意点 i）点在圆外 22如定点P(x0,y0)，圆：(x-a)+(y-b)=r，(x0-a)+(y0-b)>r 2222第一步：设切线l方程y-y0=k(x-x0) 第二步：通过d=rÞk，从而得到切线方程 特别注意：以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上千万不要漏了！ ii）点在圆上 1） 若点(x0，y0)在圆x+y=r上，则切线方程为x0x+y0y=r 22222） 若点(x0，y0)在圆(x-a)+(y-b)=r2上，则切线方程为： 22(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 2 由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是判断点与圆的位置关系，得出切线的条数. 3.直线与圆相交 求弦长及弦长的应用问题 垂径定理及勾股定理常用 弦长公式：l=1+k2x1-x2=x+x)(1+k)éë(2122-4x1x2ù û判断直线与圆相交的一种特殊方法：直线过定点，而定点恰好在圆内. 关于点的个数问题 4.直线与圆相离 五、对称问题 2221.若圆x+y+m-1x+2my-m=0，关于直线x-y+1=0对称，则实数m的值为_. ()答案：3数形结合；代换；参数方程 1.已知实数x，y满足方程x2+y2-4x+1=0，求： 2222222222y的最大值和最小值；看作斜率 x-5y-x的最小值；截距 x2+y2的最大值和最小值.两点间的距离的平方 22.设P(x,y)为圆x+(y-1)=1上的任一点，欲使不等式x+y+c³0恒成立，则c的取值范围是2_. 答案：c³2-1 七、圆的参数方程 ìx=rcosq，q为参数 x2+y2=r2(r>0)Ûíîy=rsinq(x-a)+(y-b)22ìx=a+rcosq，q为参数 =r(r>0)Ûíîy=b+rsinq23 八、圆与圆的位置关系 1.判断方法：几何法 d>r1+r2Û外离 d=r1+r2Û外切 r1-r2<d<r1+r2Û相交 d=r1-r2Û内切 d<r1-r2Û内含 2.两圆公共弦所在直线方程 22圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F，圆：Cx+y+D2x+E2y+F2=0， =021则(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0为两相交圆公共弦方程. 补充说明： 若C1与C2相切，则表示其中一条公切线方程； 若C1与C2相离，则表示连心线的中垂线方程. 3圆系问题 22过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F2=0交点的圆系方程为1=0和C2：x+y+D2x+E2y+Fx2+y2+D1x+E1y+F1+l(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 说明：1）上述圆系不包括C2；2）当l=-1时，表示过两圆交点的直线方程 过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+l(Ax+By+C)=0 有关圆系的简单应用 两圆公切线的条数问题 相内切时，有一条公切线；相外切时，有三条公切线；相交时，有两条公切线；相离时，有四条公切线 九、轨迹方程 定义法：略 直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式轨迹方程. 4
