否命题与命题的否定.docx
否命题与命题的否定否命题与命题的否定 一、识别否命题与命题的否定 1命题p的否命题：既否定命题p的条件又否定命题p的结论，即若p表示命题“若，则其否命题是“若非A，则非B”。 A则B” 2“非p”叫做命题p的否定，对命题p怎样否定呢？保留其条件，否定其结论，即如果命题p是“若A，则B”，那么命题“非p”是：若A，则非B。由此可知命题Øp与p的条件相同，结论相反；命题Øp与p的真假相反；Ø(Øp)=p。 二、区别否命题与命题的否定 1注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念。命题p的否定为“非p”，记作Øp，一般只是否定命题p的结论，否命题是对原命题“若p则q”既否定它的条件，又否它的结论。 2“非”是否定的意思，一个命题p经过使用逻辑联结词“非”，构成了一个复合命题“非p”，从集合的角度可以看作是p在全集U中的补集CUP。“非”的含义有四条： “非p”只否定p的结论； p与“非p”的真假必须相反； “非p”必须包含p的所有对立面； “非p”必须使用否定词语。 三、实例帮您理解否命题与命题的否定 在学习本节时，有些同学对命题的否定不知如何把握，很容易与否命题混淆，下面以具体实例作一比较。 若p是一个命题，则Øp是p的否定，它是对整个命题进行否定。 命题“若p则q”的否命题是“若Øp则Øq”，即对命题的题设与结论同时否定，例如： 命题：质数不都是奇数；否定形式：质数都是奇数；否命题：有些质数是奇数。 命题：面积相等的三角形一定是全等三角形；否定形式：面积相等的三角形不一定是全等三角形；否命题：面积不相等的三角形一定不是全等三角形。 四、“或”、“且”连结的命题的否定形式 “p或q”的否定是“非p且非q”；“ p且q”的否定形式是“非p或非q”。它类似于集合中的“CU(AUB)=(CUA)I(CUB)、CU(AIB)=(CUA)U(CUB)”，如“实数x与y均为零”的否定是“x与y中至少有一个不为零”，而不是“x与y都不为零”；“实数x与y中至少有一个为零”的否定是“x与y均为零”。 五、命题的否定形式、否命题与原命题的真假关系表： 原命题 真 假 六、命题中关键词的否定表 否定形式 假 真 否命题 与原命题的真假无关与逆命题真假相同 把握好命题的否定和正确地写出命题的否命题，必须掌握一些关键词的否定，见下表： 关键词 大于 是 有 全部 任何，所有的 某些，有几个 至少有一个 一个也没有 至多有一个 至少有两个 对任意xÎA使p(x)真 否定 不大不于 是 无 不全，不都 存在xÎA使p(x)假 七、含有一个量词的命题的否定 含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论： 全称命题p："xÎM,p(x)，它的否定Øp：$xÎM,Øp(x) 全称命题的否定是存在性命题。 含有一个量词的存在性命题的否定，有下面的结论： 存在性命题p：$xÎM,p(x)，它的否定：Øp："xÎM,Øp(x) 存在性命题的否定是全称命题 八、典型例题剖析 例1写出命题“若m2或n3，则m+n5”的否命题 错解一：否命题为“若m2或n3，则m+n>5” 错解二：否命题为“若m>2或n>3，则m+n>5”。 错解剖析：这两种结论都是错误的，在写否命题时，首先要分清是“否命题”还是“命题的否定”。“否命题”是对条件与结论分别否定，而“命题的否定”是只对结论的否定。即若原命题为AÞB，那么它的否命题是非AÞ非B，而命题的否定是AÞ非B。其次要注意对“且”与“或”的否定。一般来说，“且”的否定是“或”，而“或”的否定是“且”。 正解：原命题的否命题为： 若m>2且n>3，则m+n>5。 例2写出下列命题的否定，并判断其真假 p："xÎR，x-x+22140；q：所有的正方形都是矩形；r：$xÎR，2s：至少有一个实数x，使x+1=0。 x+2x+20；解：Øp：$xÎR，x-x+这是由于"xÎR，x-x+2214<0。 12)0恒成立； 214=(x-Øq：至少存在一个正方形不是矩形。 Ør："xÎR，x+2x+2>0。 22这是由于，"xÎR，x+2x+2=(x+1)+10>0成立。 2例3已知命题p：存在一个实数x，使得x-x-2<0，写出Øp。 分析：命题Øp有两种答案：存在一个实数x，使得x-x-20；或不存22在一个实数x，使得x2-x-2<0。这两个答案哪一种正确？ 解：由x2-x-2<0Þ-1<x<2。故原命题p是真命题。又x=3时，x2-x-2>0，所以分析中答案也是真命题。而p与Øp的真假性相反，所以是错误的。 答案是正确的。事实上，我们不妨把命题p改写成：若一个不等式是x2-x-2<0，则存在一个实数x使这个不等式成立。由此可知，答案才是否定了命题p的结论，得到了“Øp”。 例4写出命题“若x¹1，则x2-2x+1>0”的否定和否命题。 解：命题“若x¹1，则x2-2x+1>0”的否定为“若x¹1，则x2-2x+10”；否命题为：若x=1，则x2-2x+10。
