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向量的内积向量的内积 中等职业教育规划教材数学第二册第八章第四节第七课时 本节课是继向量的三种线性运算之后的另一种新的运算形式，既有区别又有联系。而且向量的内积运算在解析几何和立体几何中用处非常大，例如解决垂直问题，平行问题，角度问题，它提供了强有力的工具。 1认知发展分析 学生普遍基础差，但是好在向量这部分重在公式的掌握和应用，与其它知识点的联系不大，学生学习的效果较好。 2能力储备分析 通过前面系统的学习，锻炼了一定的观察能力，但是在探究问题的能力与合作交流的意识等方面发展不够均衡。 1.知识目标： 了解平面向量内积的概念及其几何意义； 掌握平面向量内积的计算公式，为利用向量的内积研究有关问题奠定基础。 2.能力目标： 通过实例引出向量内积的定义，培养学生观察和归纳的能力。 3.情感目标 渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点；体会数学与生活的密切联系。 平面向量内积的概念，平面向量内级的基本性质及运算律。 平面向量内积的概念及利用内积求两个向量的夹角。 问题教学法、发现教学法、 尝试、归纳、总结、运用 探究教学法 多媒体课件 教 学 过 程 复习旧知 创设情境 教学内容 一、复习旧知识、提出新问题 1、向量的运算我们已经学过几种？ 2、这几种运算的结果是什么？ 3、是否还有其他的运算形式？ 二、创设情境、引出课题 由拉杆箱等图片和小推车的动画演示，引出物理中“功的概念”，再利用“矢量”就是“向量”，引出平面向量内积的概念。 教师活动 向学生提出问题，并在这两个问题的基础上提出以下猜想：有没有一种运算作用在两个向量上之后的结果不再是向量，而是数量？ 学生活动 回答教师提出的问题。 在教师的引导下对所提出的猜想各抒己见。 设计意图 对之前所学的知识进行系统的复习，同时提出猜想，在让学生主动思考的同时也激发了学生学习的兴趣和探求新知的欲望。 1 引出课题 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图 F s 用课件展示图片和动画演示，并提出问题：小车在力F的作用下唯一了s，力所做的功怎么表示？ 1、公式当中的F和s是什么量？ 2、q是什么？ 3、功W是什么量？ W=|F|s|cosq力和位移都是向量，功就是由这两个量决定的一个数量。这是不是两个向量之间的一种新的运算呢？ 观看课件的同时积极思考并回答教师的问题。 逐个回答教师提出的问题。 利用物理学科中已经学过的“功”引出本节的课题，使学生面对新知识时不会有陌生感，更加将数学与其他学科联系起来。 用一个有一个的问题逐层递进，最终引出课题。 引导点拨 形成概rr念 rb的夹角，记作<a,b>。 动手在纸上画一画，从而讨论两个向量夹角的范围。 rrrrp样的位置关系时 当<a,b>=时，我们称a与b垂夹角是0或p？ 2rrrr 3、<a,b>与直，记作ab。 rrrr 是否相<b,a>已知a与b为两个非零rr等？ 利用定义解释前向量，则数量叫做a与b的内积， “功”的问题。 2 三、形成概念、讲授新课 为了解决上面的问题，我们引入向量内积的概念，首先讨论两个向量的夹角。 A rr aarr r<a,b> O b rb B rr设a与b为两个非零向 量，在平面上任取一点O，作ruuurruuurrOA=a,OB=b，则ÐAOB叫a与作两个以下考查学生对概向量的夹角的时候，两个向量必两组向量的夹角念的理解和应须同起点。 是什么情况？ 用，更能培养学 生分析问题的rra b 能力。 ra rb 1、两个向量除了课件中展示的位置关系还可以有什么样的其他情况？ rr2、a与b是什么为本节重点向量内积的概念做准备，让学生自己找出两个向量夹角的范围，易于接受。 两个向量方向相同或相反时夹角的情况很容易被忽略，提醒学生特别注意。 及时应用定义解释实际问题，体会数学与生活的联系。 适 当 引 导rrrrrr2，3、a×a=|a|或|a|=a×a; 探 rr索 rra×b拓 4、cos<a,b>=rr. |a|b|展 教学内容 教师活动 学生活动 rr引导学生思考以 也称为a与b的数量积或点积， 下问题： rrrr逐个思考，激烈记作a×b。即 1、若ab，则讨论，得出一些rrrrrrrr结论之后，相互等于几？ a×ba×b=|a|b|cos<a,b> 交流，总结归纳。 rrrr 2、 <a,b>Î0,p 0×a=0 rr 那么cos<a,b>rrrr 1、abÛa×b=0; 的范围是什么？ uurrrruurr 2、|a×b|£|a|b|; 比较|a×b|与的大小。 rr3、a×a=? 4、公式变形为 rrrra×bcos<a,b>=rr|a|b|设计意图 由教师引导，学生通过向量内积的概念入手推导向量内积的重要性质，不仅体验了知识的形成过程，而且通过同学之间团结互助，集体合作体会到了成功的喜悦。 rrrr1、交换律：a×b=b×a; 2、数乘结合律： rrrrrr(la)×b=l(a×b)=a×(lb); 3、分配律： rrrrrrr(a+b)×c=a×c+b×c. rr 已知|a|=3,|b|=6，分别 rr 求出下列各种情况下a×b的值： 典rrrr例a/b；ab； 分rr析 <a,b>=120°. 巩 固提高 可用来解决什么问题？ 指导学生观察每 个运算律的左右两边的结果各是rrrrrr(a×b)×c=a×(b×c)什么？并用同样的思路判断另一是否成立？ 个结论是否成立？ 证明过程虽不要求掌握，但是要求学生理解，特别是rrrrrr(a×b)×c=a×(b×c)为什么不成立。培养学生的思维能力。 平行这种情况没有给出具体的角度，要求学生自己分析，容易漏解，让学生自己分析方便培养学生全面的思维能力；垂直等价于内积为0，结论性的要熟记并能灵活应用；公式的实际应用。 欲rr求a×b= rrrr|a|b|cos<a,b> r除了已知的|a|r和|b|，还需rr<a,b> 【思考并回rr答】a/b时，有几种情况？夹角分别是多少rr度？ab时，是否可以直接给出答案？ cos120°等展示个别学生的于多少？ 计算情况，点评，完成以上问题后，独立完成此查缺补漏。 题。 3 教学内容 教师活动 rrrr 已知|a|,|b|,a×b,求 rr应 <a,b>。 用性质4公式的rrrr 变形 (1)|a|=2,|b|=5,a×b=5; rr rra×brrrrcos<a,b>=rr. |a|b|(2)|a|=2,|b|=7,a×b=-14; rrrr (3)|a|=14,|b|=12,a×b=0. 典 rr例 已知|a|=5,|b|=4，分 析 rr<a,b>=60°，求： (1)结合向量内积rrrrrr巩的运算律计算。 (a+b)×(a-b);|a+b|. (2)应用性质3。 固 提 rrrr 高 (a+b)×(a-b) rrrrrrrr =a×a-a×b+b×a-b×b rrrrr2r2(a+b)×(a-b) =|a|-|b| r2r2=a-b； rrrr=25-16=9 (a+b)×(a+b) rr2r2rrr2|a+b| =a+2a×b+b. rrrrrrrr rrrr =a×a+a×b+b×a+b×b (a-b)×(a-b)r2rrrrr2 =|a|+2|a|b|cos<a,b>+|b| =? 1 =25+2´5´4´+16 2 =61 rr所以|a+b|=61. rr 已知|a|=2,|b|=1, rrrrrr从已知中rrrr(a-2b)×(a+b)=1，求<a,b>. (a-2b)×(a+b)=1入手。 随投影练习，请同rrrr堂1、已知|a|=4,|b|=2,<a,b>=60°, 学板演，评价并练总结。 rr习 求a×b; 4 学生活动 设计意图 在教师的提示下独立完成运算。 配合教师的提示，积极的思考，主动寻找解题的方法。 结合教师归纳的式子，猜想结果，并发现是否有什么规律？ 主动尝试解题，小组讨论，展示最后结果。 培养学生解决问题的能力，计算的能力。 鼓励学生多思考，培养学生分析问题、解决问题的能力。 向量内积的运算和多项式运算很接近，通过这种类比的方式可以锻炼学生举一反三的能力。 拓宽学生的解题思路，提高解决问题的能力。 思考并回答，板演,互相评价，交流。 大展身手 rrrr2、已知|a|=4,|b|=4,a×b=-8,求rrcos<a,b> rrrr3、已知|a|=3,|b|=4,<a,b>=60°,rrrr求(a+2b)×(a-3b); rrrr4、已知|a|=6,|b|=8,<a,b>=120°, rr2rr求|a-b|,|a-b|. 教师巡回检查，发现问题，纠正问题。引导学生熟练掌握本节课题型的解决方法和步骤。 调动学生参与讨论，形成生动活泼的学习氛围，从而培养学生的发散思维，开阔解题思路，使学生形成良好的学习习惯。 归纳1、向量夹角的概念，范围。 小2、向量内积的概念； 结3、向量内积的性质和运算律； 、提高认识 课本练习3，4 布置作 业两个小组结成对手组，互相出题，并且出题组要给予判反断正误。 馈调节 引导学生从知识与技能，过程与方法，情感、态度、价值观层面的小结。 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结。 对本节课内容作全面小结，除知识外，对所用到的数学方法，也进行适当的小结。使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法。 对课后书面作业实施分层设置，要求学生根据自己的实际情况完成。 独立完成，提高技能，形成知识体系，反馈问题给老师，解决自己听课中的盲点。 使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，培养好的学习习惯。 课题:向量的内积 一、引入 二、新课 例2： 投影区 课堂小结 1、向量夹角的概念 步骤： 2、向量内积的概念 三、例1： 变式训练 变式训练： 练习： 5 根据本节课的教学目标和教材要求，为了遵循学生的心理特点和认知规律，结合学生实际学习情况，在整个教学过程的设计中，采用多种教学方法引导学生，通过分组讨论交流，学生动手操作，教师进行行为引导等教学活动，有目的地培养学生的合作理念，顺利突破本节课的难点。既实现师生互动，活跃课堂气氛，又实现生生互助，丰富情感体验，充分调动学生的积极性，发挥学生的主体作用；充分体现以学生为主体、教师为主导，以发展学生为本的思想。 6
