向量与三角形内心外心重心垂心知识的交汇.docx
向量与三角形内心外心重心垂心知识的交汇129844090.doc 3+X 辅导 向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍 重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1； 垂心高线的交点：高线与对应边垂直； 内心角平分线的交点：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； 外心中垂线的交点：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 OA+OB+OC=0ÛO是DABC的重心. 证法1：设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) x1+x2+x3ìx=ïì(x1-x)+(x2-x)+(x3-x)=0ï3Ûí OA+OB+OC=0Ûíy+y+y(y-y)+(y-y)+(y-y)=02323î1ïy=1ï3îÛO是DABC的重心. 证法2：如图 AQOA+OB+OC =OA+2OD=0 AO=2OD A、O、D三点共线，且O分AD 为2：1 O是DABC的重心 BOEDCOA×OB=OB×OC=OC×OAÛO为DABC的垂心. 证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足. OA×OB=OB×OCÛOB(OA-OC)=OB×CA=0 ÛOBAC 同理OABC，OCAB AEOÛO为DABC的垂心 BDC设a,b,c是三角形的三条边长，O是DABC的内心 aOA+bOB+cOC=0ÛO为DABC的内心. ABAC、分别为AB、AC方向上的单位向量， cbABAC平分ÐBAC, +cbbcABAC)，令l= +AO=l(a+b+ccb证明：Q1 129844090.doc 129844090.doc 3+X 辅导 AO=bcABACOA=OB=OCÛO为DABC的外心。 典型例题： 例1：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足aOA+bOB+cOC=0 OP=OA+l(AB+AC)，lÎ0,+¥) ，则点P的轨迹一定通过DABC的 A外心 B内心 C重心 D垂心 分析：如图所示DABC，D、E分别为边BC、AC的中点. AQAB+AC=2AD EOP=OA+2lAD QOP=OA+AP AP=2lAD AP/AD BDC点P的轨迹一定通过DABC的重心，即选C. 例2：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+l(ABAB+ACAC则点P的轨迹一定通过DABC的 )，lÎ0,+¥) ，A外心 B内心 C重心 D垂心 分析：QABAC分别为AB、AC方向上的单位向量， ABACACAC平分ÐBAC, ABAB+点P的轨迹一定通过DABC的内心，即选B. 例3：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+l(ABABcosB+ACACcosC)，lÎ0,+¥) ，则点P的轨迹一定通过DABC的2 129844090.doc 129844090.doc 3+X 辅导 A外心 B内心 C重心 D垂心 分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足. A(ABABcosBAB×BCABcosB+ACACcosCAC×BC)×BC E=+BDCACcosCACBCcosCACcosC-ABBCcosB=ABcosB+=-BC+BC=0 点P的轨迹一定通过DABC的垂心，即选D. 练习： 1已知DABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PA+PB+PC=0，若实数l满足：AB+AC=lAP，则l的值为 A2 B3 C3 D6 2BC的外接圆的圆心为O，半径为1，OA+OB+OC=0，则OA×OB=( ) 2若DAA11 B0 C1 D- 223点O在DABC内部且满足OA+2OB+2OC=0，则DABC面积与凹四边形ABOC面积之比是 A0 B354 C D 2434DABC的外接圆的圆心为O，若OH=OA+OB+OC，则H是DABC的 A外心 B内心 C重心 D垂心 5O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若OA+BC=OB 222+CA=OC+AB，则O是DABC的 A外心 B内心 C重心 D垂心 222DABC的外接圆的圆心为O，6两条边上的高的交点为H， OH=m(OA+OB+OC)，3 129844090.doc 129844090.doc 3+X 辅导 则实数m = 先将向量OB和向量OC相加，得到向量OD 然后证向量OD+向量OA=向量OH 即证AHOD为平行四边形 首先ODAH 现在只要证AH=OD=2OE就成立了 延长CO交圆O于F 由于CF是直径，所以 AF垂直AC，FBBC 又BH垂直AC，AH垂直BC AFBH，FBAH AHBF是平行四边形 AHFB2OE 于是命题成立 1ABACABAC7已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · = , 则2|AB|AC|AB|AC|ABC为( ) A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形 8已知DABC三个顶点A、B、C，若AB=AB×AC+AB×CB+BC×CA，则2DABC为 A等腰三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D既非等腰又非直角三角形 练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C 4 129844090.doc
