同济大学高等数学期中考试试.docx

同济大学高等数学期中考试试同济大学高等数学期中考试试卷1 一、计算下列函数的极限： x-sin3xlimx®0x+sin5x1. 3 2. lim3x®ax-ax-3a. n+1+ntanxsinx(1-cosx)x®0x2ln(1+x) 3. lim. 4. n®¥lim()(. n+2-n) 5. x®+0limlnxln(1-x)lim(1+cosx). 6. x®p2二、计算下列函数的导数： 1.y=lncosx，求y¢. 2.y=arccosx求y¢. 3. 设函数y=y(x)由方程x+y=tan(xy)确定，且æppöyÎç-,÷è22ø求y¢(0). ìx=a(t+cost)d2ydyí2y=bty=y(x)4. 设函数由参数方程î确定，求dx及dx. 5. y=(1+cosx)y=1sinx，求æpöy¢ç÷è2ø. 6.(x+2)(x-1)，求y(n). xìïe-x,x³0,f(x)=í32ïîx+x+x+a,x<0 三、设(1) a 为何值时，(2) 若fÎC(-¥,+¥)？为什么？ fÎC(-¥,+¥),证明f(x)有唯一的零点。 四、设半径为1的球内有一内接正圆锥，问圆锥的高与底半径之比为多少时，1内接正圆锥的体积最大？确定函数"xÎ(0,+¥)，有xee-x£1. 1æa2öxn=çxn-1+÷2xèn-1ø，利用单调有界收敛准则证明极六、 设x0>0,a>0，限n®¥limxn存在，并且求出该极限. 0<e<1)所确定的隐函数y=y(x)在七、试证明开普勒方程y=x+esiny(x=0的某领域内是单调增加的，并问点(0,0)是否曲线y=x+esiny的拐点，为什么？