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同济大学高等数学课后答案全集 同济大学高等数学课后答案全集 第一章 习题1-1 1. 设A=(-¥, -5)È(5, +¥), B=-10, 3), 写出AÈB, AÇB, AB及A(AB)的表达式. 解 AÈB=(-¥, 3)È(5, +¥), AÇB=-10, -5), AB=(-¥, -10)È(5, +¥), A(AB)=-10, -5). 2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (AÇB)C=AC ÈBC . 证明 因为 xÎ(AÇB)CÛxÏAÇBÛ xÏA或xÏBÛ xÎAC或xÎBC Û xÎAC ÈBC, 所以 (AÇB)C=AC ÈBC . 3. 设映射f : X ®Y, AÌX, BÌX . 证明 (1)f(AÈB)=f(A)Èf(B); (2)f(AÇB)Ìf(A)Çf(B). 证明 因为 yÎf(AÈB)Û$xÎAÈB, 使f(x)=y Û(因为xÎA或xÎB) yÎf(A)或yÎf(B) Û yÎf(A)Èf(B), 所以 f(AÈB)=f(A)Èf(B). (2)因为 yÎf(AÇB)Þ$xÎAÇB, 使f(x)=yÛ(因为xÎA且xÎB) yÎf(A)且yÎf(B)Þ yÎ f(A)Çf(B), 所以 f(AÇB)Ìf(A)Çf(B). 4. 设映射f : X®Y, 若存在一个映射g: Y®X, 使gof=IX, fog=IY, 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射, 即对于每一个xÎX, 有IX x=x; 对于每一个yÎY, 有IY y=y. 证明: f是双射, 且g是f的逆映射: g=f -1. 证明 因为对于任意的yÎY, 有x=g(y)ÎX, 且f(x)=fg(y)=Iy y=y, 即Y中任意元素都是X中某元素的像, 所以f为X到Y的满射. 又因为对于任意的x1¹x2, 必有f(x1)¹f(x2), 否则若f(x1)=f(x2)Þg f(x1)=gf(x2) Þ x1=x2. 因此f既是单射, 又是满射, 即f是双射. 对于映射g: Y®X, 因为对每个yÎY, 有g(y)=xÎX, 且满足f(x)=fg(y)=Iy y=y, 按逆映射的定义, g是f的逆映射. 5. 设映射f : X®Y, AÌX . 证明: (1)f -1(f(A)ÉA; (2)当f是单射时, 有f -1(f(A)=A . 证明 (1)因为xÎA Þ f(x)=yÎf(A) Þ f -1(y)=xÎf -1(f(A), 所以 f -1(f(A)ÉA. (2)由(1)知f -1(f(A)ÉA. 另一方面, 对于任意的xÎf -1(f(A)Þ存在yÎf(A), 使f -1(y)=xÞf(x)=y . 因为yÎf(A)且f是单射, 所以xÎA. 这就证明了f -1(f(A)ÌA. 因此f -1(f(A)=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)y=3x+2; 解 由3x+2³0得x>-2. 函数的定义域为-2, +¥). 33 (2)y=12; 1-x 解 由1-x2¹0得x¹±1. 函数的定义域为(-¥, -1)È(-1, 1)È(1, +¥). (3)y=1-1-x2; x 解 由x¹0且1-x2³0得函数的定义域D=-1, 0)È(0, 1. (4)y=1; 4-x2 解 由4-x2>0得 |x|<2. 函数的定义域为(-2, 2). (5)y=sinx; 解 由x³0得函数的定义D=0, +¥). (6) y=tan(x+1); 解 由x+1¹p(k=0, ±1, ±2, × × ×)得函数的定义域为x¹kp+p-1 (k=0, ±1, ±2, × × 22×). (7) y=arcsin(x-3); 解 由|x-3|£1得函数的定义域D=2, 4. (8)y=3-x+arctan1; x 解 由3-x³0且x¹0得函数的定义域D=(-¥, 0)È(0, 3). (9) y=ln(x+1); 解 由x+1>0得函数的定义域D=(-1, +¥). (10)1y=ex. 解 由x¹0得函数的定义域D=(-¥, 0)È(0, +¥). 7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x; (2) f(x)=x, g(x)=x2; (3)f(x)=3x4-x3,g(x)=x3x-1. (4)f(x)=1, g(x)=sec2x-tan2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同. (2)不同. 因为对应法则不同, x<0时, g(x)=-x. (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同. pì|sinx| |x|<ï3, 求j(p), j(p), j(-p), j(-2), 并作出函数y=j(x) 8. 设j(x)=í464 |x|³pï0 3î的图形. 解 j(p)=|sinp|=1, j(p)=|sinp|=2, j(-p)=|sin(-p)|=2, j(-2)=0. 442442662 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: (1)y=x, (-¥, 1); 1-x (2)y=x+ln x, (0, +¥). 证明 (1)对于任意的x1, x2Î(-¥, 1), 有1-x1>0, 1-x2>0. 因为当x1<x2时, y1-y2=x1xx1-x2-2=<0, 1-x11-x2(1-x1)(1-x2)所以函数y=x在区间(-¥, 1)内是单调增加的. 1-x (2)对于任意的x1, x2Î(0, +¥), 当x1<x2时, 有 y1-y2=(x1+lnx1)-(x2+lnx2)=(x1-x2)+lnx1<0, x2所以函数y=x+ln x在区间(0, +¥)内是单调增加的. 10. 设 f(x)为定义在(-l, l)内的奇函数, 若f(x)在(0, l)内单调增加, 证明f(x)在(-l, 0)内也单调增加. 证明 对于"x1, x2Î(-l, 0)且x1<x2, 有-x1, -x2Î(0, l)且-x1>-x2. 因为f(x)在(0, l)内单调增加且为奇函数, 所以 f(-x2)<f(-x1), -f(x2)<-f(x1), f(x2)>f(x1), 这就证明了对于"x1, x2Î(-l, 0), 有f(x1)< f(x2), 所以f(x)在(-l, 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l, l)上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数; (2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数. 证明 (1)设F(x)=f(x)+g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函数, 则 F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x), 所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则 F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x), 所以F(x)为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数. (2)设F(x)=f(x)×g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函数, 则 F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)×g(x)=F(x), 所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则 F(-x)=f(-x)×g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x)×g(x)=F(x), 所以F(x)为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f(x)是偶函数, 而g(x)是奇函数, 则 F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)-g(x)=-f(x)×g(x)=-F(x), 所以F(x)为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数. 12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y=x2(1-x2); (2)y=3x2-x3; (3)y=1-x2; 1+x (4)y=x(x-1)(x+1); (5)y=sin x-cos x+1; x-xa+a (6)y=. 2 解 (1)因为f(-x)=(-x)21-(-x)2=x2(1-x2)=f(x), 所以f(x)是偶函数. (2)由f(-x)=3(-x)2-(-x)3=3x2+x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数. 21-(-x)21-x2 (3)因为f(-x)=f(x), 所以f(x)是偶函数. 221+x1+(-x) (4)因为f(-x)=(-x)(-x-1)(-x+1)=-x(x+1)(x-1)=-f(x), 所以f(x)是奇函数. (5)由f(-x)=sin(-x)-cos(-x)+1=-sin x-cos x+1可见f(x)既非奇函数又非偶函数. (-x)-(-x)-xxa+aa+a (6)因为f(-x)=f(x), 所以f(x)是偶函数. 22 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y=cos(x-2); 解 是周期函数, 周期为l=2p. (2)y=cos 4x; 解 是周期函数, 周期为l=p. 2 (3)y=1+sin px; 解 是周期函数, 周期为l=2. (4)y=xcos x; 解 不是周期函数. (5)y=sin2x. 解 是周期函数, 周期为l=p. 14. 求下列函数的反函数: (1)y=3x+1错误！未指定书签。错误！未指定书签。; 解 由y=3x+1得x=y3-1, 所以y=3x+1的反函数为y=x3-1. (2)y=1-x错误！未指定书签。; 1+x1-y 解 由y=1-x得x=, 所以y=1-x的反函数为y=1-x. 1+y1+x1+x1+x (3)y=ax+b(ad-bc¹0); cx+d-dy+b 解 由y=ax+b得x=, 所以y=ax+b的反函数为y=-dx+b. cy-acx+dcx+dcx-a (4) y=2sin3x; y 解 由y=2sin 3x得x=1arcsin, 所以y=2sin3x的反函数为y=1arcsinx. 3232 (5) y=1+ln(x+2); 解 由y=1+ln(x+2)得x=ey-1-2, 所以y=1+ln(x+2)的反函数为y=ex-1-2. x2 (6)y=x. 2+1xxy2x. x=log 解 由y=2得, 所以的反函数为y=y=log221-y1-x2x+12x+1 15. 设函数f(x)在数集X上有定义, 试证: 函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界. 证明 先证必要性. 设函数f(x)在X上有界, 则存在正数M, 使|f(x)|£M, 即-M£f(x)£M. 这就证明了f(x)在X上有下界-M和上界M. 再证充分性. 设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2, 即K1£f(x)£ K2 . 取M=max|K1|, |K2|, 则 -M£ K1£f(x)£ K2£M , 即 |f(x)|£M. 这就证明了f(x)在X上有界. 16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值: (1) y=u2, u=sin x, x1=p, x2=p; 63 解 y=sin2x, y1=sin2p=(1)2=1,y2=sin2p=(3)2=3. 324624 (2) y=sin u, u=2x, x1=p,x2=p; 84 解 y=sin2x, y1=sin(2×p)=sinp=2,y2=sin(2×p)=sinp=1. 84242 (3)y=u, u=1+x2, x1=1, x2= 2; 解 y=1+x2, y1=1+12=2, y2=1+22=5. (4) y=eu, u=x2, x1 =0, x2=1; 解 y=ex, y1=e0=1, y2=e1=e. (5) y=u2 , u=ex , x1=1, x2=-1. 解 y=e2x, y1=e2×1=e2, y2=e2×(-1)=e-2. 17. 设f(x)的定义域D=0, 1, 求下列各函数的定义域: (1) f(x2); 解 由0£x2£1得|x|£1, 所以函数f(x2)的定义域为-1, 1. (2) f(sinx); 解 由0£sin x£1得2np£x£(2n+1)p (n=0, ±1, ±2× × ×), 所以函数f(sin x)的定义域为 2np, (2n+1)p (n=0, ±1, ±2× × ×) . (3) f(x+a)(a>0); 解 由0£x+a£1得-a£x£1-a, 所以函数f(x+a)的定义域为-a, 1-a. (4) f(x+a)+f(x-a)(a>0). 解 由0£x+a£1且0£x-a£1得: 当0<a£1时, a£x£1-a; 当a>1时, 无解. 因此22当0<a£1时函数的定义域为a, 1-a, 当a>1时函数无意义. 22|x|<1ì1 ï|x|=1, g(x)=ex 错误！未指定书签。, 求fg(x)和gf(x), 并 18. 设f(x)=í0 ï|x|>1î-1 222作出这两个函数的图形. ì1 |ex|<1x<0ì1 ïïx=0. |ex|=1, 即fg(x)=í0 解 fg(x)=í0 ïï-1 x>0|ex|>1î-1 îìe1 |x |< 1 ìe |x|<1ïï|x |= 1, 即gf(x)=í1 |x|=1. gf(x)=ef(x)=íe0 -1ïïe-1 e |x|>1|x |> 1îî 19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角j=40°(图1-37). 当过水断面ABCD的面积为定值S0时, 求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式, 并指明其定义域. 图1-37 解AB=DC=hosin40, 又从1hBC+(BC+2cot40o×h)=S02得BC=S0o-cot40×h, 所以 hS02-cos40oL=+oh. hsin40 自变量h的取值范围应由不等式组 Soh>0, 0-cot40×h>0 h确定, 定义域为0<h<S0cot40. 20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元. (1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数; (2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？ 解 (1)当0£x£100时, p=90. 令0.01(x0-100)=90-75, 得x0=1600. 因此当x³1600时, p=75. 当100<x<1600时, p=90-(x-100)´0.01=91-0. 01x. 综合上述结果得到 0£x£100ì90 ï100<x<1600. p=í91-0.01x ï75 x³1600î30x 0£x£100ìï (2)P=(p-60)x=í31x-0.01x2 100<x<1600. ï15x x³1600îo (3) P=31´1000-0.01´10002=21000(元). 习题1-2 1. 观察一般项xn如下的数列xn的变化趋势, 写出它们的极限: (1)xn=1; n21=0. 解 当n®¥时, xn=1®0, limn®¥2n2n (2)xn=(-1)n1; n 解 当n®¥时, xn=(-1)n1®0, lim(-1)n1=0. n®¥nn (3)xn=2+12; n 解 当n®¥时, xn=2+12®2, lim(2+1)=2. n®¥nn2 (4)xn=n-1; n+1 解 当n®¥时, xn=n-1=1-2®0, limn-1=1. n®¥n+1n+1n+1 (5) xn=n(-1)n. 解 当n®¥时, xn=n(-1)n没有极限. cosnp2. 问limx=? 求出N, 使当n>N时, xn与其 2. 设数列xn的一般项xn=nn®¥n极限之差的绝对值小于正数e , 当e =0.001时, 求出数N. 解 limxn=0. n®¥|consp|2£1. "e >0, 要使|x n-0|<e , 只要1<e, 也就是n>1. 取 |xn-0|=nnneN=1, e则"n>N, 有|xn-0|<e . 当e =0.001时, N=1=1000. e 3. 根据数列极限的定义证明: (1)lim12=0; n®¥n1<e, 只须n2>1, 即n>1. 分析 要使|1-0|=en2n2e1=0. 证明 因为"e>0, $N=1, 当n>N时, 有|1, 所以-0|<elimn®¥n2n2e (2)lim3n+1=3; n®¥2n+123n+1-3|=1<1<e 分析 要使|, 只须1<e, 即n>1. 2n+122(2n+1)4n4e4n 证明 因为"e>0, $N=1, 当n>N时, 有|3n+1-3|<e, 所以lim3n+1=3. n®¥2n+122n+124e (3)limn®¥n2+a2=1; n2222222an+an+a-naa 分析 要使|-1|=<<e, 只须n>. 22nnen(n+a+n)n222an+a证明 因为"e>0, $N=, 当"n>N时, 有|-1|<e, 所以nen®¥limn2+a2=1. nn®¥n个 (4)lim0.4999 ×4 × × 9=1. 1231<e , 即1. 分析 要使|0.99 × × × 9-1|=1, 只须<en>1+lge10n-110n-1证明 因为"e>0, $N=1+lg1, 当"n>N时, 有|0.99 × × × 9-1|<e , 所以e4243n®¥1n个n®¥lim0.999 × × × 9=1. 4. limun=a, 证明lim|un|=|a|. 并举例说明: 如果数列|xn|有极限, 但数列n®¥xn未必有极限. 证明 因为limun=a, 所以"e>0, $NÎN, 当n>N时, 有|un-a|<e, 从而 n®¥|un|-|a|£|un-a|<e . 这就证明了lim|un|=|a|. n®¥ 数列|xn|有极限, 但数列xn未必有极限. 例如lim|(-1)n|=1, 但lim(-1)n不n®¥n®¥存在. 5. 设数列xn有界, 又limyn=0, 证明: limxnyn=0. n®¥n®¥ 证明 因为数列xn有界, 所以存在M, 使"nÎZ, 有|xn|£M. 又limyn=0, 所以"e>0, $NÎN, 当n>N时, 有|yn|<e. 从而当n>N时, 有 n®¥M |xnyn-0|=|xnyn|£M|yn|<M×e=e, M所以limxnyn=0. n®¥ 6. 对于数列xn, 若x2k-1®a(k®¥), x2k ®a(k ®¥), 证明: xn®a(n®¥). 证明 因为x2k-1®a(k®¥), x2k ®a(k ®¥), 所以"e>0, $K1, 当2k-1>2K1-1时, 有| x2k-1-a|<e ; $K2, 当2k>2K2时, 有|x2k-a|<e . 取N=max2K1-1, 2K2, 只要n>N, 就有|xn-a|<e . 因此xn®a (n®¥). 习题1-3 1. 根据函数极限的定义证明: (1)lim(3x-1)=8; x®3 分析 因为 |(3x-1)-8|=|3x-9|=3|x-3|, 所以要使|(3x-1)-8|<e , 只须|x-3|<1e. 3 证明 因为"e>0, $d=1e, 当0<|x-3|<d时, 有 3 |(3x-1)-8|<e , 所以lim(3x-1)=8. x®3 (2)lim(5x+2)=12; x®2 分析 因为 |(5x+2)-12|=|5x-10|=5|x-2|, 所以要使|(5x+2)-12|<e , 只须|x-2|<1e. 5 证明 因为"e >0, $d=e, 当0<|x-2|<d时, 有 |(5x+2)-12|<e , 所以lim(5x+2)=12. x®2152x-4=-4; (3)limx®-2x+2 分析 因为 22x-4x+4x+4=|x+2|=|x-(-2)|, -(-4)=x+2x+22所以要使x-4-(-4)<e, 只须|x-(-2)|<e. x+2 证明 因为"e >0, $d=e, 当0<|x-(-2)|<d时, 有 2x-4-(-4)<e, x+22x-4=-4. 所以limx®-2x+2 31-4x (4)lim=2. 12x+1x®-2 分析 因为 3 1-4x-2=|1-2x-2|=2|x-(-1)|, 2x+123所以要使1-4x-2<e, 只须|x-(-1)|<1e. 2x+122 证明 因为"e >0, $d=1e, 当0<|x-(-1)|<d时, 有 2231-4x-2<e, 2x+131-4x所以lim=2. 12x+1x®-2 2. 根据函数极限的定义证明: 31; (1)lim1+x=x®¥2x32 分析 因为 31=1+x3-x3=1, 1+x-2x322x32|x|331+x1<e, 只须1<e, 即|x|>1. 所以要使-32x322|x|32e 证明 因为"e >0, $X=31, 当|x|>X时, 有 2e31+x1<e, -2x3231. 所以lim1+x=x®¥2x32 (2)limsinx=0. x®+¥x 分析 因为 x|1x-0=|sin sin. £xxx所以要使sinx-0<e, 只须1<e, 即x>12. exx 证明 因为"e>0, $X=1, 当x>X时, 有 e2x-0<e, sinx所以limsinx=0. x®+¥x 3. 当x®2时, y=x2®4. 问d等于多少, 使当|x-2|<d时, |y-4|<0.001？ 解 由于当x®2时, |x-2|®0, 故可设|x-2|<1, 即1<x<3. 要使 |x2-4|=|x+2|x-2|<5|x-2|<0.001, 只要|x-2|<0.001=0.0002. 5 取d=0.0002, 则当0<|x-2|<d时, 就有|x2-4|<0. 001. 2 4. 当x®¥时, y=x2-1®1, 问X等于多少, 使当|x|>X时, |y-1|<0.01? x+32 解 要使x2-1-1=24<0.01, 只要|x|>4-3=397, 故X=397. 0.01x+3x+3 5. 证明函数f(x)=|x|当x®0时极限为零. 证明 因为 |f(x)-0|=|x|-0|=|x|=|x-0|, 所以要使|f(x)-0|<e, 只须|x|<e. 因为对"e>0, $d=e, 使当0<|x-0|<d, 时有 |f(x)-0|=|x|-0|<e, 所以lim|x|=0. x®0|x| 6. 求f(x)=x, j(x)=当x®0时的左右极限, 并说明它们在x®0时的极xx限是否存在. 证明 因为 lim-f(x)=lim-x=lim-1=1, x®0x®0xx®0x=lim1=1, limf(x)=limx®0+x®0+xx®0+ lim-f(x)=lim+f(x), x®0x®0所以极限limf(x)存在. x®0 因为 |x|=lim-x=-1, x®0x®0xx®0x|x|x=1, limj(x)=lim=limx®0+x®0+xx®0+x lim-j(x)=lim- lim-j(x)¹lim+j(x), x®0x®0所以极限limj(x)不存在. x®0 7. 证明: 若x®+¥及x®-¥时, 函数f(x)的极限都存在且都等于A, 则x®¥limf(x)=A. x®-¥x®+¥ 证明 因为limf(x)=A, limf(x)=A, 所以"e>0, $X1>0, 使当x<-X1时, 有|f(x)-A|<e ; $X2>0, 使当x>X2时, 有|f(x)-A|<e . 取X=maxX1, X2, 则当|x|>X时, 有|f(x)-A|<e , 即limf(x)=A. x®¥ 8. 根据极限的定义证明: 函数f(x)当x®x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等. 证明 先证明必要性. 设f(x)®A(x®x0), 则"e>0, $d>0, 使当0<|x-x0|<d 时, 有 |f(x)-A|<e . 因此当x0-d<x<x0和x0<x<x0+d 时都有 |f(x)-A|<e . 这说明f(x)当x®x0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f(x0-0)=f(x0+0)=A, 则"e>0, $d1>0, 使当x0-d1<x<x0时, 有| f(x)-A<e ; $d2>0, 使当x0<x<x0+d2时, 有| f(x)-A|<e . 取d=mind1, d2, 则当0<|x-x0|<d 时, 有x0-d1<x<x0及x0<x<x0+d2 , 从而有 | f(x)-A|<e , 即f(x)®A(x®x0). 9. 试给出x®¥时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明. 解 x®¥时函数极限的局部有界性的定理: 如果f(x)当x®¥时的极限存在, 则存在X>0及M>0, 使当|x|>X时, |f(x)|<M. 证明 设f(x)®A(x®¥), 则对于e =1, $X>0, 当|x|>X时, 有|f(x)-A|<e =1. 所以 |f(x)|=|f(x)-A+A|£|f(x)-A|+|A|<1+|A|. 这就是说存在X>0及M>0, 使当|x|>X时, |f(x)|<M, 其中M=1+|A|. 习题1-4 1. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解 不一定. 例如, 当x®0时, a(x)=2x, b(x)=3x都是无穷小, 但lim穷小. 2. 根据定义证明: 2x (1)y=-9当x®3时为无穷小; x+3 (2)y=xsin1当x®0时为无穷小. x2 证明 (1)当x¹3时|y|=x-9=|x-3|. 因为"e>0, $d=e , 当0<|x-3|<d时, 有 x+32x-9=|x-3|<d=e, |y|=x+3a(x)2a(x)=, 不是无x®0b(x)3b(x)2所以当x®3时y=x-9为无穷小. x+3 (2)当x¹0时|y|=|x|sin1|£|x-0|. 因为"e>0, $d=e , 当0<|x-0|<d时, 有 x|y|=|x|sin1|£|x-0|<d=e, x所以当x®0时y=xsin1为无穷小. x 3. 根据定义证明: 函数y=1+2x为当x®0时的无穷大. 问x应满足什么条件, x能使|y|>104？ 证明 分析|y|=1+2x=2+1³1-2, 要使|y|>M, 只须1-2>M, 即xx|x|x|x|<1. M+21, 使当0<|x-0|<d时, 有1+2x>M, xM+2所以当x®0时, 函数y=1+2x是无穷大. x1. 当0<|x-0|<1时, |y|>104. 取M=104, 则d=410+2104+2 4. 求下列极限并说明理由: (1)lim2x+1; x®¥x21-x (2)lim. x®01-x 解 (1)因为2x+1=2+1, 而当x®¥ 时1是无穷小, 所以lim2x+1=2. x®¥xxxx221-x1-x (2)因为=1+x(x¹1), 而当x®0时x为无穷小, 所以lim=1. x®01-x1-x 5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表: 证明 因为"M>0, $d= x®x0 f(x)®A "e>0, $d>0, 使 当0<|x-x0|<d时, 有恒|f(x)-A|<e. f(x)®¥ f(x)®+¥ f(x)®-¥ x®x0+ x®x0- x®¥ "e>0, $X>0, 使当|x|>X时, 有恒|f(x)|>M. x®+¥ x®-¥ 解 x®x0 f(x)®A "e>0, $d>0, 使当0<|x-x0|<d时, 有恒|f(x)-A|<e. "e>0, $d>0, 使当0<x-x0<d时, 有恒|f(x)-A|<e. "e>0, $d>0, 使当0<x0-x<d时, 有恒|f(x)-A|<e. "e>0, $X>0, 使当|x|>X时, 有恒|f(x)-A|<e. "e>0, $X>0, 使当x>X时, 有恒|f(x)-A|<e. "e>0, $X>0, 使当x<-X时, 有恒|f(x)-A|<e. f(x)®¥ "M>0, $d>0, 使当0<|x-x0|<d时, 有恒|f(x)|>M. "M>0, $d>0, 使当0<x-x0<d时, 有恒|f(x)|>M. "M>0, $d>0, 使当0<x0-x<d时, 有恒|f(x)|>M. "e>0, $X>0, 使当|x|>X时, 有恒|f(x)|>M. "e>0, $X>0, 使当x>X时, 有恒|f(x)|>M. "e>0, $X>0, 使当x<-X时, 有恒|f(x)|>M. f(x)®+¥ "M>0, $d>0, 使当0<|x-x0|<d时, 有恒f(x)>M. "M>0, $d>0, 使当0<x-x0<d时, 有恒f(x)>M. "M>0, $d>0, 使当0<x0-x<d时, 有恒f(x)>M. "e>0, $X>0, 使当|x|>X时, 有恒f(x)>M. "e>0, $X>0, 使当x>X时, 有恒f(x)>M. "e>0, $X>0, 使当x<-X时, 有恒f(x)>M. f(x)®-¥ "M>0, $d>0, 使当0<|x-x0|<d时, 有恒f(x)<-M. "M>0, $d>0, 使当0<x-x0<d时, 有恒f(x)<-M. "M>0, $