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同济五高等数学复习资料第八章 多元函数微分法及其应用 一、偏导数的求法 1、显函数的偏导数的求法 在求¶z¶z时，应将y看作常量，对x求导，在求时，应将x看作常量，对y求导，所运用的是一元函¶x¶y数的求导法则与求导公式. 2、复合函数的偏导数的求法 设z=f(u,v)，u=j(x,y)，v=y(x,y)，则 ¶z¶z¶u¶z¶v¶z¶z¶u¶z¶v=×+×，=×+× ¶x¶u¶x¶v¶x¶y¶u¶y¶v¶y几种特殊情况： 1）z=f(u,v)，u=j(x)，v=y(x)，则dzdz¶u¶zdv=×+× dxdu¶x¶vdx¶f¶v2）z=f(x,v)，v=y(x,y)，则¶x=¶x+¶v׶x，¶z¶f¶z¶f¶v=× ¶y¶u¶y3）z=f(u)，u=j(x,y)则¶zdz¶u¶zdz¶u=×=×， ¶xdu¶x¶ydu¶y3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况 设z=z(x,y)是由方程F(x,y,z)=0唯一确定的隐函数，则 F¶z=-x¶xFz(Fz¹0)， Fy¶z=-¶yFz(Fz¹0) 或者视z=z(x,y)，由方程F(x,y,z)=0两边同时对x(或y)求导解出¶z¶z(或). ¶x¶y2）方程组的情况 由方程组íìF(x,y,u,v)=0¶z¶z两边同时对x(或y)求导解出(或)即可. ¶x¶yîG(x,y,u,v)=0二、全微分的求法 方法1：利用公式du=¶u¶u¶udx+dy+dz ¶x¶y¶z方法2：直接两边同时求微分，解出du即可.其中要注意应用微分形式的不变性： ¶zì¶zdu+dvï¶vï¶u dz=í ¶z¶zïdx+dy¶yï¶xî三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法 ìx=j(t)ï1）设空间曲线的参数方程为 íy=y(t)，则当t=t0时，在曲线上对应点P0(x0,y0,z0)处的切线ïz=w(t)îv方向向量为T=j'(t0),y'(t0),w'(t0)，切线方程为 x-x0y-y0z-z0= j'(t0)y'(t0)w'(t0)法平面方程为 j'(t0)(x-x0)+y'(t0)(y-y0)+w'(t0)(z-z0)=0 2）若曲面S的方程为F(x,y,z)=0，则在点P0(x0,y0,z0)处的法向量n=Fx,Fy,Fz切平面方程为 Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0 vP0 ，法线方程为 x-x0y-y0z-z0 =Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)若曲面S的方程为z=f(x,y)，则在点P0(x0,y0,z0)处的法向量n=fx(x0,y0),fy(x0,y0),-1，切平面方程为 fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0)-(z-z0)=0 v法线方程为 x-x0y-y0z-z0 =fx(x0,y0)fy(x0,y0)-1四、多元函数极值的求法 1 无条件极值的求法 设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内具有二阶连续偏导数，由fx(x,y)=0，fy(x,y)=0，解出驻点(x0,y0)，记A=fxx(x0,y0)，B=fxy(x0,y0)，C=fyy(x0,y0). 1）若AC-B2>0，则f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值. 2） 若AC-B2<0，则f(x,y)在点(x0,y0)处无极值. 23） 若AC-B=0，不能判定f(x,y)在点(x0,y0)处是否取得极值. 2 条件极值的求法 函数z=f(x,y)在满足条件j(x,y)=0下极值的方法如下： 1）化为无条件极值：若能从条件j(x,y)=0解出y代入f(x,y)中，则使函数z=z(x,y)成为一元函数无条件的极值问题. 2）拉格朗日乘数法 作辅助函数F(x,y)=f(x,y)+lj(x,y)，其中l为参数，解方程组 令ì()()()Fx,y=fx,y+ljx,y0xxïxïï令ï()()()Fx,y=fx,y+ljx,y0íyyyïïj(x,y)=0ïïî求出驻点坐标(x,y)，则驻点(x,y)可能是条件极值点. 3 最大值与最小值的求法 若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值，并与区域的边界上的最大值比较，最大者，就是最大值. 主要: 1、偏导数的求法与全微分的求法； 2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法 3、最大值与最小值的求法 第九章 重积分 积分类型 二重积分 Y型 X型 利用直角坐标系 计算方法 òòDf(x,y)dxdy=òdxòabf2(x)f1(x)f(x,y)dy òòf(x,y)dxdy=òDdcdyòj2(y)j1(y)f(x,y)dx I=òòf(x,y)ds D利用极坐标系 使用原则 (1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )； (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含(x2平面薄片的质量 质量=面密度´面积 +y2)a, a为实数 ) òòf(rcosq,rsinq)rdrdqD=òdqòabj2(q)j1(q)f(rcosq,rsinq)rdr0£q£2p 0£q£p p£q£2p 利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 当D关于y轴对称时， ìï0ïïïI=í2òòf(x,y)dxdyïD1ïïïî计算步骤及注意事项 1 画出积分区域 f(x,y)对于x是奇函数，即f(-x,y)=-f(x,y)f(x,y)对于x是偶函数， 即f(-x,y)=f(x,y)D1是D的右半部分2 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数 关于坐标变量易分离 3 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 4 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域 5 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性 三重积分 (1) 利用直角坐标íì投影法î截面法投影f(x,y,z)dV=òdxòòòòWaby2(x)y1(x)dyòz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz ìx=rcosqï 利用柱面坐标 íy=rsinq ïz=zî相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标 适用范围: 1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如 旋转体 2被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如f(x2+y2)f(x2+z2) I=òòòf(x,y,z)dvWòòòf(x,y,z)dV=òdzòadqòWabbr2(q)r1(q)f(rcosq,rsinq,z)rdr 空间立体物的质量 质量=密度´面积 ìx=rcosq=rsinjcosqï利用球面坐标 íy=rsinq=rsinjsinq ïz=rcosjîdv=r2sinjdrdjdq 适用范围: 1积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体. 2被积函数用球面坐标表示时变量易分离. 如，f(x2+y2+z2) I=òdjòdqòa1b1a2b2r2(q,j)r1(q,j)f(rsinjcosq,rsinjsinq,rcosj)r2sinjdr 利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 第十章 曲线积分与曲面积分 积分类型 第一类曲线积分 计算方法 参数法 L:y=j(x) I=òabf(j(t),j(t)j'2(t)+y'2(t)dt bI=òf(x,y)ds L曲形构件的质量 质量=线密度´弧长 ìx=j(t)L:í(a£t£b) I=îy=f(t)òaf(x,y(x)1+y'2(x)dx r=r(q)(a£q£b)L:íìx=r(q)cosqîy=r(q)sinqI=òf(r(q)cosq,r(q)sinq)r2(q)+r'2(q)dq ab 参数法 ìx=j(t)L:í(t单调地从a到b) îy=f(t)òLPdx+Qdy=òPj(t),y(t)j¢(t)+Qj(t),y(t)y¢(t)dt ab利用格林公式 条件：L封闭，分段光滑，有向 P，Q具有一阶连续偏导数 结论：平面第二类曲线积分 òLPdx+Qdy=òò(D¶Q¶P-)dxdy ¶x¶yì满足条件直接应用ï应用：í有瑕点，挖洞 ï不是封闭曲线，添加辅助线î利用路径无关定理 等价条件：¶Q=¶P ¶x¶yI=òPdx+Qdy LòPdx+Qdy=0 LòPdx+Qdy与路径无关，与起点、终点有关 L变力沿曲线所做的功 Pdx+Qdy具有原函数u(x,y) 两类曲线积分的联系 I=òPdx+Qdy=ò(Pcosa+Qcosb)ds LL空间第二类曲线积分 参数法 òGPdx+Qdy+Rdz=òPj(t),y(t),w(t)j¢(t) +Qj(t),y(t),w(t)y¢(t) ab +Rj(t),y(t),w(t)w¢(t)dtI=òPdx+Qdy+Rdz L利用斯托克斯公式 条件：L封闭，分段光滑，有向 P，Q，R具有一阶连续偏导数 变力沿曲线所做的功 òPdx+Qdy+RdzL结论： ¶Q¶p¶R¶Q¶P¶R=òò(-)dydz+(-)dzdx+(-)dxdy¶y¶z¶z¶x¶x¶yåì满足条件直接应用应用：í 不是封闭曲线，添加辅助线î第一类曲面积分 投影法 I=òòf(x,y,z)dv曲面薄片åå：z=z(x,y) 投影到xoy面 2I=òòf(x,y,z)dv=òòf(x,y,z(x,y)1+zx2+zydxdy åDxy的质量 质量=面密度´面积 类似的还有投影到yoz面和zox面的公式 投影法 1òòPdydz=±òòp(x(y,z),y,z)dydz åDyzå：z=z(x,y)，g为å的法向量与x轴的夹角 前侧取“+”，cosg>0；后侧取“-”，cosg<0 第二类曲面积分 右侧取“+”，cosb>0；左侧取“-”，cosb<0 2òòQdzdx=±òòp(x,y(x,z),z)dzdx åDyzå：y=y(x,z)，b为å的法向量与y轴的夹角 I=òòPdydz+Qdzdx+Rdxdy å流体流向曲面一侧的流量 3òòQdxdy=±òòQ(x,y,z(x,y)dxdy åDyzå：x=x(y,z)，a为å的法向量与x轴的夹角 上侧取“+”， cosa>0；下侧取“-”，cosa<0 高斯公式 右手法则取定å的侧 条件：å封闭，分片光滑，是所围空间闭区域W的外侧 P，Q，R具有一阶连续偏导数 结论：òòPdydz+Qdzdz+Rdxdy=òòò(åW¶P¶Q¶R+) ¶x¶y¶z应用：íì满足条件直接应用î不是封闭曲面，添加辅助面两类曲面积分之间的联系 òòPdydz+Qdzdx+Rdxdy=òò(Pcosa+Qcosb+Rcosg)dS åå转换投影法：dydz=(-¶z)dxdy¶xdzdx=(-¶z)dxdy ¶y所有类型的积分： 1定义：四步法分割、代替、求和、取极限； 2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性； 3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。 第十一章 无穷级数 1 若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛. 2两个收敛级数的和差仍收敛. 用收敛定义，limsn存在 n®¥注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散. 3去掉、加上或改变级数有限项, 不改变其收敛性. 一般项级数 常数项级数的基本性质 常数项级数的基本性质 4若级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。 ¥常数项级数交错 级数 莱布尼茨判别法 若un³un+1且limun=0，则å(-1)n-1unn®¥n=1收敛 比较判别法 åun和åvn都是正项级数，且un£vn.若ålimvn收敛，则un=0n®0正项级比较判别法åu1若åun和åvn都是正项级数，且limun=l，则n®¥åuåvvn2若l=0,åv收0<l<+¥,åun与åvn同敛或同散;n比值判别法 uln+1=+¥nvååru<1时收是正项级数，uåuåun=r,则limr,limnn®¥n®¥un敛；r>1(r=+¥)时发散；r=1时可能收敛也可能发散. 收敛åan=0¥n1,r¹0;R=+¥,r=0;R=0,r=+¥. xn,liman+1=r,R=n®¥anr幂级数和函数缺项级数用比值审敛法求收敛半径 1在收敛域I上连续;2在收敛域(-R,R)内可导，3且可逐项求导;s(x)的性质和函数s(x)在收敛域I上可积分，且可逐项积分.(R不变,收敛域可能变化). 直接展开:泰勒级数 间接展开:六个常用展开式 ¥¥11nx=åx(-1<x<1) e=åxn (-¥<x<+¥) 1-xn=1n=1n!¥1a0f(x)=+å(ancosnx+bnsinnx) a0=p2n=1展成幂级数 傅立叶级数T=2p T=2l周期 延拓 òp-pf(x)dx an=pòp-1pf(x)cosnxdx bn=pòp-1pf(x)sinnxdx 收敛定理 1f(x)xxf(x-)+f(x+). f(x)为奇函数，正弦级数，奇延拓；f(x)为偶函数，余弦级数、偶延拓2第十二章 微分方程 解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法求出其通解. 一阶微分方程的解法小结： 方程 类 型 编号 y¢=f(x)×j(y)或 一 般 形 式 解 法 备 注 分离变量法 有些方程作代换后可化为1型 1型 可分离变量方程 M(x)dx+N(y)dy=0 yy¢=f或 x令u=yx或u=化为1xyx有时方程写成x¢=f令yx=u化为1型求解 y2型 齐次方程 xx¢=j yy¢+P(x)y=Q(x) 型求解 1 常数变易法 2 凑导数法：同乘 有时方程不是关于y,y¢线性方程，而是关于x,x¢线性方程 3型 线性方程 或 x¢+P(y)x=Q(y) eòPdxy¢+P(x)y=Q(x)ya 令y1-a=z或 有时方程不是关于y,y¢的贝努里方程，而是关于x,x¢ 4型 贝努里方程 或 x1-a=z化为3型求解 贝努里方程 x¢+P(y)x=Q(y)xa 5型 全微分方程 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0其中 u(x,y)=c u(x,y)为原函数 有时乘以一个积分因子可化为5型 ¶Q¶P= ¶x¶y二阶微分方程的解法小结： 类 型 特 征 求 解 方 法 备 注 求解见上册 y(n)=f(x) y"=fx,y'缺x,y¢ n次积分 令y'=p,y"=p'，降为一阶方程 () ) 缺y 降价后是关于p，x的一阶方程 令y'=p(y)， 降价后是关于p,y的一阶方程y"=fy,y'(缺x dp降为一阶方程 y=pdy''pdp=f(y,p) dyy及y*见下表 y¢¢+py¢+qy=f(x) p,q常系数 通解y=y+y* "'y+py+qy=0的通解y为： 齐次方程判别式 两特征根情况 通 解 p2-4q>0 相异实根r1，r2 二重实根r0 共轭复根r1,2y=c1er1x+c2er2x y=(c1+c2x)er0x y=eax(c1cosbx+c2sinbx) p2-4q=0 p2-4q<0 =a±ib *¢¢¢非齐次方程y+py+qy=f(x)的特解y的形式为： f(x)的形式 特征根情况 y*的形式 Qm(x)erx ær是单根k=1öxkQm(x)eaxç÷ r是二重根k=2èø(1)(2)eaxéQxcosbx+Q()(x)sinbxùmmëû (1)(2)xeaxéQxcosbx+Q()(x)sinbxùmmëû r不是特征根 Pm(x)erx r是k重特征根 eél(x)cosbx+Pn(x)sinbxùëPû axa±iba±ib不是特征根 是特征根