同济大学高等数学 第六第十二章答案分享(1).docx
同济大学高等数学 第六 第十二章答案分享练习一 1计算下列对弧长的曲线积分 (1)ò(x+y)ds, 其中L为以O(0, 0), A(1, 0)和B(0, 1)为顶点的三角形周界. L 解L=OA+AB+OB , 其中OA: y=0 (0£x£1); AB: y=1-x (0£x£1); OB: x=0 (0£y£1). òL(x+y)ds=òOA(x+y)ds+òAB(x+y)ds+òOB(x+y)ds 111000 =òxdx+ò(x+1-x)1+(1-x)¢2dx+òydy=1+2. (2)òL4(x3+y43)ds, 其中L为内摆线2x3+2y3=2a3. 解L的参数方程为x=acos3t, y=asin3t(0£t£2p). x¢(t)=3acos2t(-sin t), y¢(t)=3asin2t×cos t, ds=x¢2+y¢2dt=3asin2tcos2tdt=3a|sintcost|dt=3a|sin2t|dt, 2在L上4x3+4y3=2(x3+2y3)22-2x32y3=4a32-2a3cos24t×a3sint=24a3(1-1sin22t), 2òLL4(x3+4y3)ds=ò2p04a3(1-132sin2t)×a|sin2t|dt=4a3. 227 (3)òe个边界; x2+y2ds, 其中L为圆周x2+y2=a2, 直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整 解 L=L1+L2+L3, 其中 L1: x=x, y=0(0£x£a), L2: x=acos t, y=asin t(0£t£p), L3: x=x, y=x(0£x£2a), 42因而 òLex2+y2ds=òeL1x2+y2ds+òeL2x2+y2ds+òeL3x2+y2ds, =òe0apx1+0dx+òe2240a(-asint)+(acost)dt+ò2202a2e2x12+12dx=ea(2+p4a)-2. (4)ò|y|ds, 其中L为圆周x2+y2=1. L 解L的参数方程为x=cos t, y=sin t (0£t£2p). òLL|y|ds=ò2p0|sint|(cots)¢2+(sint)¢2dt=ò32p0|sint|dt=òsintdt-ò0p2ppsintdt=4. (5)òxyzds, 其中L为曲线x=t, y=18t3, z=1t2(0£t£1). 2 解 òxyzds=òt×18t3×1t212+(2t)2+t2dt=2L03231ò19t2(1+t)dt0=162. 143 (6)ò(x+y+z22L21-4xy)2ds, 其中L为圆柱x2+y2=a2和平面x+y-z=0的交线在第一象限的部分. 解 令x=a cos t, y=a sin t, 则z=a cos t+a sin t, (0£t£p). 2òL(x2+y2+z2-p14xy)2dsp=ò0222a1-sintcost×2a2-2a2sintcostdt =2a2t)dt=aò02(1-sintcos(p-1). 2求均匀的弧x=etcos t, y=etsin t, z=et(-¥<t£0)的重心坐标. 解 ds=x¢2(t)+y¢2(t)+z¢2(t)dt=3etdt, l=òds=òL0-¥3etdt=3, x=1òxds=1lLò3-¥ò3-¥000etcost×3etdt=etsint×3etdt=tò-¥00e2tcostdt=2t25, , y=1òyds=1lLeò-¥sintdt=-121511z=òzds=lL3ò-¥e×3edt=teò-¥02tdt=. 3设螺旋形弹簧一圈的方程为x=acos t, y=asin t, z=kt, 其中0£t£2 p, 它的线密度r(x, y, z)=x2+y2+z2. 求 (1)它关于z轴的转动惯时Iz; (2)它的重心. 解 ds=x¢2(t)+y¢2(t)+z¢2(t)dt=a2+k2dt, 在曲线L上r(x, y, z)=a2+k2t2. 22 Iz=ò(x2+y2)r(x,y,z)ds=ò(a2cost+a2sint)×(a2+k2t2)a2+k2dt L02p =a2a+k22ò02p8(a2+k2t2)dt=a2a2+k2(2pa2+p3k2). 32p0 M=òr(x,y,z)ds=ò(a2+k2t2)a2+k2dt=a2+k2(2pa2+8p3k2) L3 x=1 MòLxr(x,y,z)ds=1Mò02p2a2cost×(a2+k2t2)a2+k2dt 6ak2=3a2+4p2k2, 1M y=1 =MòLyr(x,y,z)ds=ò02p2a2sint×(a2+k2t2)a2+k2dt -6pak23a2+4p2k2, 1M z=1 =MòLzr(x,y,z)ds=ò02pkt×(a2+k2t2)a2+k2dt 3k(pa+2p3k2)3a2+4p2k2.
