正交变换与正交矩阵课件.ppt

正交变换与正交矩阵,戴立辉 林大华 林孔容,(闽江学院数学系，福建 福州 350108),摘 要 介绍正交变换的概念，研究线性变换为正交变换的等价条件；从矩阵理论的角度，探讨正交矩阵的常用性质.关键词 正交变换；正交矩阵；等价条件；性质一、正交变换 定义1.1 设A是欧氏空间V的一个线性变换,若A保持向量的内积不变,即对于任意的，V都有(A，A)=(，)，则称A为V的正交变换.,二、等价条件 定理2.1 设A是n维欧氏空间V的一个线性变换,则下列命题等价:1)A是正交变换；2)A保持向量的长度不变,即对于V，|A|=|；3)A把V的标准正交基变为V的标准正交基；4)A在标准正交基下的矩阵是正交矩阵.证：1）2）对于V,由(A，A)=(，),即得：|A|=|,2）3）设1，2，n是V的任一标准正交基,记i+j=V.由|A|=|或(A，A)=(,)得(A(i+j)，A(i+j)=(i+j，i+j）而(A(i+j)，A(i+j)=(Ai，Ai)+2(Ai，Aj)+(Aj，j)=(i，i)+2(i，j)+(j，j)(i+j，i+j）=(i，i)+2(i，j)+(j，j),故 A1，A2，An是V的一组标准正交基.,3)4）设1，2，n是V的标准正交基,A(1，2，n)=(A1，A2，An)=(1，2，n)A 由3),A1，A2，An是V的标准正交基,故A可看作是由标准正交基1，2，n到标准正交基A1，A2，An的过渡矩阵,A是正交矩阵.,4)1）设1，2，n是V的标准正交基,且A在此基下的矩阵A为正交矩阵.由(A1，A2，An)=(1，2，n)A,知A1，A2，An也是V的标准正交基,设=x11+x22+xnn,=y11+y22+ynn,则A=x1A1+x2A2+xnAnA=y1A1+y2A2+ynAn(A,A)=x1y1+x2y2+xnyn(,)=x1y1+x2y2+xnyn所以(A，A)=(，),故A为正交变换.,三、正交矩阵 正交矩阵有以下几种等价定义.定义3.1 A为n阶实矩阵,若ATA=E,则称A为正交矩阵.定义3.2 A为n阶实矩阵,若AAT=E,则称A为正交矩阵.定义3.3 A为n阶实矩阵,若AT=A-1,则称A为正交矩阵.定义3.4 A为n阶实矩阵，若A的n个行（列）向量是两两正交的单位向量，则称A为正交矩阵.,性质3.1 设为A正交矩阵，则：1）|A|=1；2）A可逆，其逆A-1也是正交矩阵；3）AT，A*也是正交矩阵.证：1）由AAT=E，可知|A|2=1，或者|A|=1.对正交矩阵A，当|A|=1时，我们称A为第一类正交矩阵；当|A|=-1时，则称A为第二类正交矩阵.2)由AAT=E,可知A可逆,且A-1=AT,又(A-1)T=(AT)T=A=(A-1)-1=E.故A-1是正交矩阵.3)由2)知AT=A-1,AT是正交矩阵.而A*=|A|A-1=A-1,有(A*)T=(A-1)T=A=(A*)-1,故A*是正交矩阵.,性质3.2 设A，B都是正交矩阵，则：1)AB，Am(m为自然数),ATB，ABT，A-1B，AB-1，A-1BA等都是正交矩阵；证:1)由AT=A-1,BT=B-1可知(AB)T=BTAT=B-1A-1=(AB)-1，所以AB为正交矩阵，从而再由性质1可推知:Am(m为自然数),ATB，ABT，A-1B，AB-1，A-1BA,等均为正交矩阵.,性质3.3:1）设A，B为正交矩阵，且|A|=-|B|，则A+B必不可逆；2）设为A，B奇数阶正交矩阵，且|A|=|B|，则必A-B不可逆.证：1)由|A+B|=|BBTA+BATA|=|B|BT+AT|A|=-|B|2|BT+AT|=-|(A+B)T|=-|A+B|得|A+B|=0,即A+B不可逆.2)由|A-B|=|BBTA-BATA|=|B|BT-AT|A|=|B|2|BT-AT|=|-(A-B)T|=(-1)n|A-B|知n为奇数时,|A-B|=-|A-B|，即|A-B|=0，从而A-B不可逆.,推论3.1 1）设A是第二类正交矩阵，则A+E必不可逆；2）设A是奇数阶第一类正交矩阵，则A-E必不可逆.四、正交变换的性质 性质4.1 正交变换的行列式等于+1或者-1.行列式等于+1的正交变换称为旋转,或者称为第一类的；行列式等于-1的正交变换称为第二类的.,证：正交变换A在标准正交基下的矩阵A是正交矩阵,A的行列式等于A的行列式.所以正交变换的行列式等于+1或者-1.性质4.2 正交变换是欧氏空间的一个自同构映射.证：设是V的正交变换,在任一标准正交基下的矩阵为正交矩阵,它有逆矩阵,故有逆变换,因而是V到V上的双射.对于任意的,V，由是正交变换知(+)=()+()，(k)=k()，kR(),()=(,)所以是V到V的一个自同构映射.,性质4.3 正交变换的乘积、正交变换的逆变换还是正交变换.证：设A,B是V的线性变换,对于,V,由(AB)，(AB)=(B，B)=(，),及(A-1，A-1)=(A(A-1)，A(A-1)=(，)知 AB,A-1都是V的线性变换.,参考文献 1北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)M，北京：高等教育出版社,2003.2同济大学应用数学系线性代数(第四版)M，北京：高等教育出版社,2003.,谢谢各位老师!,