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反证法逻辑原理 孙贤忠反证法逻辑原理 即证“完备性前提下的原命题的逆否命题” 作者：孙贤忠 ：阐明反证法的定义、逻辑依据、证明的一般步骤、种类，探索其在中学数学中的应用。这实际上就是在证“完备性前提下的原命题的逆否命题”了。一个命题：若A则B为真，这只是简洁的形式，因为若A则B为真，其本身就还含有所有的已知定义,定理,大家都知道的事实，乃至正确的逻辑推理等等一切必须为真的系统性条件为真，否则绝不可能推出结论B为真。 ：反证法 证明 矛盾 逆否命题 一 反证法出现 反证法，是一种论证方式，他首先假设某命题不成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说明假设不成立，原命题得证。 反证法常称作Reductio ad absurdum，是拉丁语中的“转化为不可能”，源自希腊语中的“ ”，阿基米德经常使用它。 二 反证法所依据的逻辑思维规律 反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。 反证法是“间接证明法”一类，是从反方向证明的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。 在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。 1 反证法在数学中经常运用。当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓"正难则反"。 三 反证法所依据的逻辑基础 牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难,情况多或复杂,而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆。 反证法的证题可以简要的概括为“否定得出矛盾否定”。即从否定结论开始，得出矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”。应用反证法的是： 欲证“若P则Q”为真命题，从相反结论出发，得出矛盾，从而原命题为真命题。 反证法的证明主要用到“一个命题与其逆否命题同真假”的结论，为什么？这个结论可以用穷举法证明： 某命题：若A则B，则此命题有4种情况： 1.当A为真，B为真，则AB为真，BA为真； 2.当A为真，B为假，则AB为假，BA为假； 3.当A为假，B为真，则AB为真，BA为真； 4.当A为假，B为假，则AB为真，BA为真； 一个命题与其逆否命题同真假 与若A则B先等价的是它的逆否命题若B则A 假设B,推出A,就说明逆否命题是真的,那么原命题也是真的. 但实际推证的过程中,推出A是相当困难的,所以就转化为了推出与A相同效果的内容即可,这个相同效果就是与A(已知条件)矛盾,或是与已知定义,定理,大家都知道的事实等矛盾. 这实际上就是在证“完备性前提下的原命题的逆否命题”了。一个命题：若A则B为真，这只是简洁的形式，因为若A则B为真，其本身就还含有所有的已知定义,定理,大家都知道的事实，乃至正确的逻辑推理等等一切必须为真的系统性条件为真，否则绝不可能推出结论B为真。 这样就有命题：若A则B为真，应该完备成命题：若A且C且D且E且F(客观事实)以及且则B。于是逆否命题就是:若B,则A或C或D或E或F(客观事实)以及或，逆否命题至少有一个，证出一个就可以了。 在数学的证明中，经常运用反证法。在命题逻辑推理中，反证法是证明一个公式是某个前提集合的有效结论的逆否命题。 设A1，A2，Am是命题公式， 如果A1Ù A2ÙÙAm是可满足的， 称A1，A2，Am是相容的。 如果A1ÙA2ÙÙAm是矛盾式， 2 称A1，A2，Am是不相容的。 如果要证A1Ù A2ÙÙAm ÞC 只需证明A1Ù A2ÙÙAm ® C是重言式。 而A1ÙA2ÙÙAm ®C Û Ø(A1ÙA2ÙÙAm)ÚC Û Ø(A1ÙA2ÙÙAm ØÙC) 由此可知A1ÙA2ÙÙAm ®C为重言式， 当且仅当A1ÙA2ÙÙAm ØÙC是矛盾式。 从而得到如A1，A2，Am，ØC不相容，则C是A1，A2，Am的有效结论。 因此我们可以把ØC作为附加前提推出矛盾来，从而可以得到C是A1，A2，Am的有效结论。这种方法称为反证法，也是反证法的逻辑基础。 例如：BA为真，就是B且 A且C且D且E且F(客观事实)以及A且C且D且E且F(客观事实)以及这就是推出与已知条件矛盾的情形，所以若A则B为真， 当然也可以是另外的情形，如：B且 A且C且D且E且F(客观事实)以及则A且C且D且E且F(客观事实)以及，这就是推出与定理矛盾的情形，所以若A则B为真等等。 四 反证法步骤： 假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立。 从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾。D或E或F(客观事实)以及或为真） 由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确。 五 反证法在简易逻辑中适用题型： 唯一性命题 否定性题 “至多”，“至少”型命题 基本命题，即学科中的起始性命题。此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推得的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。如平面几何、立体几何等，在按照公理 3 化方法来建立起它的科学体系时，最初只是提出少量的定义、公理。因此，起始阶段的一些性质和定理很难直接推证，它们多数宜于用反证法来证明。 例1 求证 两条直线如果有公共点，最多只有一个。 证明：假设它们有两个公共点A，B，这两点直分别是a，b 那么A，B都属于a，A，B也都属于b， 因为两点决定一条直线， 所以a，b重合所以命题不成立， 原命题正确，公共点最多只有一个。 否定式命题，即结论中含有“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题。此类命题的反面比较具体，适于应用反证法。 例2 AB、CD为圆两条相交弦，且不全为直径， 求证：AB、CD不能互相平分。 证明：假设弦AB、CD被P点平分， 由于P点一定不是圆心，连接OP， 则有OPAB,OPCD， 即过一点P有两条直线与OP垂直， 这与垂线性质矛盾，所以弦AB、CD不能被P平分。 例3 证明函数y = cosx不是周期函数。 证明：假设函数 y=cosx是周期函数，即存在 T¹0，使cosx+T= cosx 令 x=0，得 T=4k 令x=4222 (k¹0， kÎZ， 不妨设 k>0)。 ，得 4p2+4k2p2= 2mp (mÎN) 1+k2=mÎN 4 但是当k>0时， k<1+k2<k+1，因而1+k2不是整数，矛盾 故 函数y = cosx不是周期函数。 例4 求证：形如4n+3的整数不能化为两整数的平方和。 证明：假设p是4n+3型的整数，且p能化成两个整数的平方和，即p=a2+b2， 则由p是奇数得a、b必为一奇一偶。 不妨设a=2s+1，b=2t，其中s、t为整数， p=a2+b2=(2s+1)2+(2t)2=4(s2+s+t2)+1，这与p是4n+3型的整数矛盾。 例5证明：ABC内不存在这样的点P，使得过P点的任意一条直线把ABC 的面积分成相等的两部分。 证明：假设在ABC内存在一点P，使得过P 点的任一条直线把ABC的面积分成 相等的两部分。连接AP、BP、CP并分 别延长交对边于D、E、F。 由假设，SABD=SADC，于是D为BC 的中点，同 理E、F分别是AC、AB的 中点，从而P是ABC的重心。 过P作BC的平行线分别交AB、AC于M、N，则 ， 这与假设过P点的任一条直线把ABC的面积分成相等的两部分矛盾。 限定式命题，即结论中含有“至少”、“最多”等词语的命题。 例6 已知函数f(x)是单调函数，则方程f(x)=0 最多只有一个实数根。 证：假设方程至少有两个根x1，x2且x1¹x2， 则有 f(x1)=f(x2) (x1¹x2) 这与函数单调的定义显然矛盾，故命题成立。 例7 平面上有六个圆，每个圆圆心都在其余各圆外部，则平面上任一点不会同时在这六个圆上。 5 证：题意即这六个圆没有共同的交点。 如果这六个圆至少有一个共同的交点，则连接这交点与每个圆的圆心的线段 中，总有两条线段所成的角不超过60°。 这时，这两条线段所连接的圆如果半径相等，那么两圆圆心在对方圆内； 否则，较小的圆圆心在较大的圆之内，这都与已知矛盾。 例8 若p0，q0，p3q32。试用反证法证明：pq2。 证明：此题直接由条件推证pq2是较困难的，由此用反证法证之。 假设pq2，p0，q0， 3p33p2q3pq2q38 又p3q32。代入上式得：3pq6。即pq2 又由p3q32得(pq)2 由得pq20与(pq）20相矛盾。） 假设pq2不成立。故pq2。 唯一性命题，即结果指定唯一的命题。 例9 已知a¹0,证明x的方程ax=b有且只有一个根。 证明：由于a¹0,因此方程至少有一个根x=b a 如果方程不只一个根，不妨设x1,x2是它的两个不同的根 即ax1=b ax2=b两式相减，得：a(x1-x2)=0 因为x1¹x2，所以x1-x2¹0，所以应有a=0，这与已知矛盾， 故假设错误。所以，当a¹0时，方程ax=b有且只有一个根。 例10 求证：方程x = sinx的解是唯一的。 证明：显然，x = 0是方程的一个解。以下用反证法证明方程的解是唯一的。 假设方程至少有两个解、()，则有sina=a ，sinb=b 6 两式相减得： sinasinb=ab 2cos |sina+b2sina-bab=- 2| a-b22a+ba-b|a-b| |cos|·| 222a+b 得 |cos|1， 2显然矛盾。 故 方程 x = sinx的解是唯一的。 例11 求证方程 2x+x=6 仅有唯一实根 2。 证明：假设方程 2X+x=6 有一个非 2 的实根a 。 则有 2a+ a =6 ，与 22+2=6 相减，得 2a -22=2- a 。 a 2 ，故a 2 或a 2。 当a 2 时， 2a -22 0 ，而 2- a 0 ，相矛盾 。 当a 2 时， 2a -22 0 ，而 2- a 0 ，也矛盾 。(这否定了逻辑推理的正确性) 假设方程有一个非 2 的实根是错误的 。 不存在非 2 的实根，即方程仅有唯一实根 2。 六 结束语 反证法证明问题均是两面性的问题，即一个问题只有正反两个方面的结论，若否定了其中一个方面，就能肯定另一个方面。证明的方法不是直接地证明，而是首先假设问题的反面，然后根据假设进行推理、论证，从而得到与事实或条件不相符合的结论，实际上就是在证“完备性前提下的原命题的逆否命题”，从而证明原命题的正确性 ！ 参考文献: 1 全日制普通高级中学教科书数学 2 蔡上鹤：高中数学新教材第一章教学问答，中学数学教学参考XX年第8期 3 严镇军 陈吉范：从反面考虑问题，中国科学技术大学出版社 4 张炳轩：离散数学之第九章数理逻辑。 XX年x月x日星期一 |a-b 7
