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双曲线经典例题习题精选精讲 本文来自整理 x2y2x2y2=1(afbf0)有相同的焦点F，F，P是两条曲线的一个交点，+=1(mfnf0)与双曲线-、若椭圆abmn12则|PF1|·|PF2|的值是 A. m-a B. 椭圆的长半轴为双曲线的实半轴为1(m-a) C. m2-a2 D. m-a 2m，PF1+PF2=2m(1) (2) a，PF1-PF2=±2a(1)-(2)22：4PF1×PF2=4(m-a)ÞPF1×PF2=m-a，故选A. 严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键. 22xy已知双曲线，F为右焦点，若双曲线上有一点P，使PM+1PF最小，则P点的坐标为 -=1与点M9272Y1待求式中的是什么？是双曲线离心率的 NP2倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义. 双曲线的右焦点F，离心率e=2， NOX=PM(5,3)F(6,0)X323右准线为l：x=.作MNl于N，交双曲线右支于P， 21PF.此时 连FP，则PF=ePN=2PNÞPN=2PM+1PF=PM+PN=MN=5-3=7为最小. 225222xy在. 取x=23.所求P点的坐标为-=1中，令y=3，得x=12Þx=±23.Qxf0，927渐近线双曲线与直线相约天涯 对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开. 双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中. 过点且渐近线为1y=±x的双曲线方程是 2x2-y2=k设所求双曲线为4点代入：k(1) =135-9=-.代入： 44x2354y2x22-y=-Þ-=1即为所求. 443535x2y2x2y2xy=0即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为在双曲线2-2=1中，令2-2=0Þ±abababx2y2-=k，而无须考虑其实、虚轴的位置. a2b2- 1 - - 1 - 习题精选精讲 共轭双曲线 虚、实易位的孪生弟兄 x2y2x2y2将双曲线2-2=1的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：2-2=1.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦abba距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用. 两共轭双曲线的离心率分别为e1,e2，证明：11+2e12e2=1. x2y2cc2a2+b22双曲线2-2=1的离心率e1=Þe1=2=abaaa2x2y2cc2a2+b22双曲线2-2=1的离心率e2=Þe2=2=babbb2. ； 11a2b22+2=2+=1. e1e2a+b2a2+b2等轴双曲线和谐对称 与圆同美 实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的对称性可以与圆为伴. 设CD是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角. 如图设等轴双曲线方程为x直线CD：y=m.代入：x=±22-y2=a22(1)， CYDx+m.故有： C-x2+m2,m,D取双曲线右顶点B()(x2+m2,m). AOBX(a,0).那么： uuuruuur22BC=-x+m-a,m,BD=()(x2+m2-a,m)uuuruuuruuuruuur2222ùQBC×BD=éëa-(a+m)û+m=0,BCBD.即CBD=90°. 同理可证：CAD=90°. 通法 特法 妙法 方程法为解析几何正名 解析法的指导思想是函数方程思想，其主要手段是列、解方程、方程组或不等式. x2y2如图，F1和F2分别是双曲线2-2=1(a>0,b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF1ab该 双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双 曲线的离心率为 为半径的圆与3 5 5 1+3 2- 2 - - 2 - 习题精选精讲 设AB交x轴于M，并设双曲线半焦距为c，F2AB是等边三角形，代入双曲线方程： æc3öc3-,c÷OM=,MA=c.点Açç÷2222èøc23b×-a2×c2=a2b2Þc2(c2-a2)-3a2c2=4a2(c2-a2).化简得： 442c4-8a2c2+4a4=0Þe4-8e2+4=0Þe2=4+23Þe=3+1. 故选D. 连AF1，则AF1F2为直角三角形，且斜边F1F2之长为2c.令AF1=r1,AF2=r2.由直角三角形性质知：ìr2-r1=2aìr1=cïÞ. í1ír=2a+cr2×2c=r1r2î2ïî2r12+r22=4c2,(2a+c)+c2=4c2Þ2a2+2ac-c2=0Þe2-2e-2=0. 2e1，取e=3+1.选D. 即使是解析法解题，也须不失时机地引入几何手段. 转换法为解题化归立意 x2y2直线l过双曲线2-2=1的右焦点，斜率k=2.若l与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围ab是 A.e>2 B.1<e<3 C.1<e<5 D.e>5 Y就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就 考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握， 但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线 的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的 渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与 之相交.故有如下妙解. 如图设直线l的倾斜角为，双曲线渐近线 OFXm的倾斜角为.显然。当时直线l与双曲线的两 个交点分别在左右两支上.由 lbc2-a2b>aÞtanb>tanaÞ>2Þ>4Þe2>5. 2aa 双曲线中e 几何法使数形结合带上灵性 >1，故取e>5.选D. 【例y2=1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|:|PF2|=3:2，则PF1F2的面积为8】设P为双曲线x-122- 3 - - 3 - 习题精选精讲 A63 B12 C.123 D24 双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：a=1,b=23c,=.设； 13YPF1=3r,PF2=2r.QPF1-PF2=2a=2,r=2. 于是PF1=6,PF2=4.QPF1+PF2=52=F1F2222P， 2rF1OF2X故知PF1F2是直角三角形，F1P F2=90°. SDPFF12=11PF1×PF2=´6´4=12.选B. 22解题中发现PF1F2是直角三角形，是事前 不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能 临场发现的. 将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维 能力，这正是命题人的高明之处. 设而不求与借舟弃舟同理 减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例： 双曲线xA. 2，则此弦所在的直线方程为 -y2=1的一弦中点为y=2x-1 B. y=2x-2 C. y=2x-3 D. y=2x+3 设弦的两端分别为A(xy),B(x1,12,y2).则有： . ìx12-y12=1y1-y2x1+x22222Þx-x-y-y=0Þ=()()í212122x-xy1+y2x-y=112î22ìx1+x2=4y-y2x1+x2弦中点为，í.故直线的斜率k=1=2. x-xy+yy+y=21212î12则所求直线方程为：y-1=2(x-2)Þy=2x-3，故选C. “设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它. 但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看： y2=1上，是否存在被点M平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由. 在双曲线x-22如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法： 假定存在符合条件的弦AB，其两端分别为：A，B.那么： ì212x-y=1ï1ï121Þ(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0í2ïx2-1y2=122ïî2M为弦AB的中点， (1). - 4 - - 4 - 习题精选精讲 íìx1+x2=2îy1+y2=2代入(1)：2(x1-x2)-(y1-y2)=0，kAB=y1-y2=2 x1-x2故存在符合条件的直线AB，其方程为：y-1=2(x-1)，即y=2x-1. 这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了： 11y2=1，发现左式=1-=1，故点M在双曲线的外部；其二：所求直线AB的斜其一：将点M代入方程x-2222率kAB=2，而双曲线的渐近线为y=±2x.这里2p2，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的. 问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件. 在上述解法的基础上应当加以验证.由 ì2y2=12ïx-2Þ2x-2x-1=2Þ2x2-4x+3=0()2íïy=2x-1î这里D此外，上述解法还疏忽了一点：只有当x1公共点，仍不符合题设条件. 结论；不存在符合题设条件的直线. 设参消参换元自如 地阔天宽 (2) =16-24p0，故方程无实根，也就是所求直线不合条件. ¹x2时才可能求出k=2.若x1=x2，必有y1=y2=0.说明这时直线与双曲线只有一个一道难度较大的解析几何综合题，往往牵涉到多个变量.要从中理出头绪，不能不恰当地处理那些非主要的变量，这就要用到参数法，先设参，再消参. 如图，点F为双曲线C的左焦点，左准线l交点M在双曲线C的左支上. 求双曲线C的标准方程； 若过点F的直线m与双曲线C的左右 两支分别交于MF|PQ|=|FQ|=1，且线段PF的中x轴于点Q，点P是l上的一点，已知ylPQAOxA、B两点，设FB=lFA，当 BmlÎ6,+¥)时，求直线m的斜率k的取值范围. 第问中，线段PF的中点M 的坐标是主要变量，其它都是辅助变量.注意到 点M是直角三角形斜边的中点，所以利用中点公式是设参消参的主攻方向 第中，直线m的斜率k是主要变量，其它包括都是辅助变量. 斜率k的几何意义是有关直线倾斜角的正切，所以设置直线m的参数方程，而后将参数用的三角式表示，是一个不错的选择. x2y2a2设所求双曲线为：2-2=1.其左焦点为F；左准线：x=-abca2由|PQ|=1，得P；由|FQ|=1Þc-cc2222FP的中点为Mç-2(c+a)-1=1 æc+a1ö,÷.代入双曲线方程：4c2a24cc2øè2Þ(c2+a2)-a2c=4c2a2Þ(c2-a2)=a2cÞb4=a2c(2) - 5 - - 5 - 习题精选精讲 a2+1=2.所求双曲线方程为x2-y2=2. 根据与c=a=b,c=c22ìx=-2+tcosa22 设直线m的参数方程为：í.代入x-y=2得： îy=tsina(-2+tcosa)-(tsina)=2Þt2cos2a-4tcosa+2=0当(3) ，方程总有相异二实根，设为cos2a¹0时，QD=16cos2a-8(2cos2a-1)=8f04cosaìt+t=ïï12cos2at1，t2.那么íït×t=212ïcos2aî(4). uuuruuur已知直线m与双曲线C的左右两支分别交于A、B两点，FB与FA 同向，uuur22+t12(t1+t2)1t2t1t2FBt2r=f0，.于是：l+=+=-2 故l=uuulttttttFAt1121212.注意到l+1l在lÎ6,+¥)上是增函数，(t+t)12t1t2Þ48cos2(t+t)491-2³6+Þ12³6t1t262(5) cosæ4代入：6ços2ècaö2³49×a÷os2øc2a2492cosa³1(50cos2a4-9)Þ2a£Þsec2a³ 双曲线x50111Þtan2a³Þk³或k£- 4949772-y2=2的渐近线斜率为±1，故直线m与双曲线C的左右两支分别交必须 1ùé1ö-1，-Èê，1÷. kÎ(-11，).综合得直线m的斜率k的取值范围是kÎæçú77èûëø双曲线 1已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=21的双曲线过点P(6，6) (1)求双曲线方程 (2)动直线l经过A1PA2的重心G，3与双曲线交于不同的两点M、N，问 是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论 x2y26262a2+b2212=,解得a2=9,b2=12 所解 (1)如图，设双曲线方程为2-2=1 由已知得2-2=1,e=23ababayNPx2y2-以所求双曲线方程为=1 912(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(3，0），其重心G的坐标为(2，2） 假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2) 则有 A1MoGA2x22ìx1+x2=4ìy1-y2124ï12x1-9y1=1084,íÞ=，kl=l的方程为 í223x1-x293ï12x2-9y2=108îy1+y2=4î- 6 - - 6 - 习题精选精讲 ì12x2-9y2=1084ïy= (x2)+2,由í,消去y,整理得x24x+28=0 =164×280,所求直线l不存在 43ïy=(x-2)3îy2=1,问过点A能否作直线l,使l与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中l 2已知双曲线x-22点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由。 l 错解 设符合题意的直线l存在，并设P(x1,x2)、Q(x2,y2) ì2y12=1(1)ïx1-1ï2l 则í -(2)得(x1-x2)(x1+x2) =(y1-y2)(y1+y2)(3) 因为A为线段PQ的中点， 所以í 将(4)、(5)代入得 x1-x2=(y1-y2) 2îy1+y2=2(5)l 若x1¹x2，则直线l的斜率 k=y1-y2=2 所以符合题设条件的直线l存在。 其方程为x1-x22x-y-1=0 剖析 在式成立的前提下，由(4)、两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。 应在上述解题的基础上，再由 ìy=2x-1ï2 得2x-4x+3=0 根据D=-8<0,说明所求直线不存在。 í2y2=1ïx-2î1y2=1于A、B两点，且ON=(OA+OB)求直线AB的方程；3已知点N，过点N的直线交双曲线x-若过N222的直线l交双曲线于C、D两点，且CD×AB=0，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？ y2=1得 (2-k2)x2-2k(2-k)x-(2-k)2-2=0 解：设直线AB：y=k(x-1)+2代入x-22k(2-k)2 令A，B，则x1、x2是方程的两根 2-k¹0 且 x1+x2= 22-k1x+x(OA+OB) N是AB的中点 12=1 ON=222 k(2-k)=-k+2 k = 1 AB方程为：y = x + 1 2 将k = 1代入方程得x-2x-3=0 x=-1或x=3 由y=x+1得y1=0，y2=4 A(-1,0)，2B(3,4) CD×AB=0 CD垂直平分AB CD所在直线方程为 y=-(x-1)+2即y=3-x代入双曲线方程整理得x+6x-11=0 令C(x3,y3)，D(x4,y4)及CD中点M(x0,y0)则2x3+x4=-6，x3×x4=-11， x0= |CD| =410，|MC|=|MD|=x3+x4=-3， y0=6 21|CD|=210 |MA|=|MB|=210，即A、B、C、D到M距离相等 2 A、B、C、D四点共圆 - 7 - - 7 -