双曲线简单几何性质知识点总结.docx

双曲线简单几何性质知识点总结四、双曲线 一、双曲线及其简单几何性质 双曲线的定义：平面内到两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数2a的点的轨迹叫做双曲线。 定点叫做双曲线的焦点；|F1F2|=2c，叫做焦距。 备注： 当|PF1|-|PF2|=2a时，曲线仅表示右焦点F2所对应的双曲线的一支； 当|PF2|-|PF1|=2a时，曲线仅表示左焦点F1所对应的双曲线的一支； 当2a=|F1F2|时，轨迹为以F1，F2为端点的2条射线； 当2a|F1F2|时，动点轨迹不存在。 x2y2y2x2双曲线2-2=1与2-2=1的区别和联系 ababx2y2-2=1 2aby标准方程 y2x2-2=1 2abyF2A2图像 F1A1OA2F2xOxA1F1范 围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 实、虚轴 渐近线 性质 准线方程 离心率 焦半径 通径 a，b，c之间 的关系 1 双曲线的简单性质 x2y21范围： 由标准方程2-2=1，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的ab方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大。 x的取值范围_ ,y的取值范围_ 2. 对称性： 对称轴_ 对称中心_ 3顶点：(如图) 顶点：_ 特殊点：_ 实轴：A1A2长为2a, a叫做半实轴长 yQB2A1OB1NMA2x虚轴：B1B2长为2b，b叫做半虚轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点 4离心率： e=双曲线的焦距与实轴长的比2cc=2aa，叫做双曲线的离心率 范围：_ bc2-a2c2k=-1=e2-12aaa双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 5双曲线的第二定义： 到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e=c(c>a>0)a的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双 曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e是双曲线的离心率 准线方程： x2y2a2-2=1l1:x=-2F(-c,0)c， ab1对于来说，相对于左焦点对应着左准线a2l2:x=F(c,0)c； 相对于右焦点2对应着右准线6渐近线 x2y2-2=12b过双曲线a的两顶点A1,A2，作x轴的垂线x=±a，经过B1,B2作y轴的垂线y=±b，四条直线xy±=0围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是_或，这两条直线就是双曲线的渐近线 双曲线无限接近渐近线，但永不相交。 2 7等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 性质：渐近线方程为：y=±x； 渐近线互相垂直； 离心率e=8共渐近线的双曲线系 2 x2y2x2y2与双曲线2-2=1共渐近线的双曲线方程可表示为2-2=l(0且为待定abab常数) x2y2x2y2备注：与双曲线2-2=1 (ab0)共焦点的双曲线方程可表示为2-=1 aba-lb2+l (a2,且b2 - ) 例1 求与双曲线 - 1有共同渐近线且过点(2，3)的双曲线方程. 9共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三个量a,b,c中a,b不同c相同 共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1 10 .双曲线的焦半径 定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点F1,F2的连线段，叫做双曲线的焦半径 焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义， MF1x2y2=e-2=1 (a>0,b>0)2b设双曲线 a，F1,F2是其左右焦点 则由第二定义：d1， MF1x0+ac2=e MF1=ex0+a 同理 MF2=ex0-a 2b2d=a 11通径 定义：过焦点且垂直于对称轴的焦点弦 3