卢氏一高 数列求和的常用方法.docx
卢氏一高 数列求和的常用方法宁可苦学三年，不可苦拼一辈子！ 学习不一定成功，不学习一定不能成功 专题二 数列求和的常用方法 数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是，抓通项，找规律，套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法： 一、直接由等差、等比数列的求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. n(a1+an)n(n-1)=na1+d 1、 等差数列求和公式：Sn=22(q=1)ìna1ï2、等比数列求和公式：Sn=ía1(1-qn)a1-anq =(q¹1)ï1-qî1-qn113、 Sn=åk=n(n+1) 4、Sn=åk2=n(n+1)(2n+1) 62k=1k=1n15、 Sn=åk3=n(n+1)2 2k=1例1设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和已知nS3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列 求数列an的通项公式 令bn=lna3n+1，n=1求数列bn的前n项和T ，2，L，ìa1+a2+a3=7，ï解：由已知得:í(a1+3)+(a3+4)解得a2=2 =3a2.ïî22 设数列an的公比为q，由a2=2，可得a1=，a3=2q q2又S3=7，可知+2+2q=7，即2q2-5q+2=0， q1解得q1=2，q2=由题意得q>1，q=2 2a1=1故数列an的通项为an=2n-1 由于bn=lna3n+1，n=1由得a3n+1=23n ，2，L， bn=ln23n=3nln2， 又bn+1-bn=3ln2 bn是等差数列 Tn=b1+b2+L+bn n(b1+bn)=2n(3ln2+3ln2) = 23n(n+1)=ln2.23n(n+1)ln2 故Tn=21 不简单就是把简单的事反复做好 ！ 如果我没有,我就一定要,我一定要,就一定能 ！ 宁可苦学三年，不可苦拼一辈子！ 学习不一定成功，不学习一定不能成功 二、错位相减法 设数列an是等比数列，数列bn是等差数列，则数列anbn的前n项和Sn求解，均可用错位相减法。 例2 1、在数列an中，an=(n-1)ln，其中l>0求数列an 的前n项和Tn； 2、在数列an中，a1=2,an=(n-1)ln+2n，其中l>0求数列an 的前n项和Sn； 解：1: Tn=l2+2l3+3l4+L+(n-2)ln-1+(n-1)ln， lTn=l3+2l4+3l5+L+(n-2)ln+(n-1)ln+1 当l¹1时，式减去式， l2-ln+1-(n-1)ln+1， 得(1-l)Tn=l+l+L+l-(n-1)l=1-ll2-ln+1(n-1)ln+1(n-1)ln+2-nln+1+l2 Tn=-=22(1-l)1-l(1-l)23nn+1n(n-1) 22：前半部分与上面相同 当l=1时，Tn=123n 解：Sn=+2+3+L+n2222 112n-1n Sn=2+3+L+n+n+122222 11111n 相减得：(1-)Sn=+2+3+L+n-n+1222222 1æ1ö ç1-n÷1n1 S=2è2ø-nS=2-nnn-1nn+112222 1-2 三、倒序相加法 把数列正着写和倒着写再相加 2x123n-1),nÎN*,求Sn; 例4 设函数f(x)=x，若Sn=f+f+f+¼+f(nnnn2+221-x22x解：因为f(1-x)=1-x 又因为 f(x)=x =2+22+2×2x2+2所以 f(x)+f(1-x)=1 n(n-1)+2n+1-2 2(n-1)ln+2-nln+1+l2这时数列an的前n项和Sn=+2n+1-2 2(1-l)123n 例7：求+2+3+L+n的和2222 这时数列an的前n项和Sn=2 不简单就是把简单的事反复做好 ！ 如果我没有,我就一定要,我一定要,就一定能 ！ 宁可苦学三年，不可苦拼一辈子！ 学习不一定成功，不学习一定不能成功 æ1öæ2öæn-1ö又Sn=fç÷+fç÷+L+fç÷(1)ènøènøènø，+得：æn-1öæ2öæ1ö=f+L+f+f÷ç÷ç÷(2)Snçnnèøèøènøéæ1öéænöæn-1öùéæ2öæn-2öùæ1öù2Sn=êfç÷+fç+f+f+L+f+f÷úêç÷ç÷úç÷úêçn÷ènøûëènøènøûènøûëènøëèø =1+1+L+1=n-1n-1Sn=2四、裂项求和法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解如： 111 =-n(n+1)nn+11111an=(-) (2n-1)(2n+1)22n-12n+1an=1111=-等。 n(n-1)(n+2)2n(n+1)(n+1)(n+2)111,×××,×××的前n项和. 例5 求数列1+22+3n+n+11=n+1-n 解：设an=n+n+1111+×××+则 Sn= 1+22+3n+n+1 (2-1)+(3-2)+×××+(n+1-n) an= n+1-1 评析：一般地，若数列an为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，则求和：åi=1n1111=å(-)则首先考虑åai+1i=1aiai+1i=1dain1 也可用裂项求和法。 åai+ai+1i=1nnn1aiai+11111n=(-。下列求和：)=åda1an+1a1an+1i=1aiai+1练习：已知等差数列an满足：a3=7,a5+a7=26，an的前n项和为Sn 求an及Sn； 令 bn=1nÎN*)，求数列bn的前n项和Tn (2an-1五、分组求和法 所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列3 不简单就是把简单的事反复做好 ！ 如果我没有,我就一定要,我一定要,就一定能 ！ 宁可苦学三年，不可苦拼一辈子！ 学习不一定成功，不学习一定不能成功 适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 例7 数列an的前n项和Sn=2an-1，数列bn满b1=3,bn+1=an+bn(nÎN*) . 证明数列an为等比数列；求数列bn的前n项和Tn。 解析：由Sn=2an-1,nÎN*,Sn+1=2an+1-1， 两式相减得：an+1=2an+1-2an,an+1=2an,nÎN*.同a1=1知an¹0， an+1=2,同定义知an是首项为1，公比为2的等比数列. anan=2n-1,bn+1=2n-1+bnbn+1-bn=2n-1, b2-b1=20,b3-b2=21,b4-b3=22,L bn-bn-1=2n-2,等式左、右两边分别相加得： bn=b1+2+2+L+201n-21-2n-1=3+=2n-1+2,1-2Tn=(20+2)+(21+2)+(22+2)+L+(2n-1+2)=(20+21+22+L+2n-1)+2n 1-2n=+2n=2n+2n-1. 1-2 练习：已知数列an，an=n(n+1)求其前n项和Sn 点评：分组求和即将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和. 六、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法. 例9 求1+11+111+×××+111×3××1之和. 12n个1解：由于111×××1=123k个111k´999×××9=42439(10-1) 1+11+111+×××+111×3××1 12n个11111(101-1)+(102-1)+(103-1)+×××+(10n-1) 11+14+1+4×××+1) (101+102+103+×××+10n)-(12439914n个1110(10n-1)n- ×910-191(10n+1-10-9n) 814 不简单就是把简单的事反复做好 ！ 如果我没有,我就一定要,我一定要,就一定能 ！
