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华师七年级下册数学知识点总结七年级数学下期期末复习提纲 第六章 一元一次方程 一、基本概念 方程的变形法则 法则1：方程两边都 或 同一个数或同一个 ，方程的解不变。 例如：在方程7-3x=4左右两边都减去7，得到新方程：-3x+3=4-7。 在方程6x=-2x-6左右两边都加上4x，得到新方程：8x=-6。 移项：将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移动到另一边，这样的变形叫做移项，注意移项要变号。 例如：(1)将方程x57移项得：x7+5 即 x12 (2)将方程4x3x4移项得：4x3x4即 x4 法则2：方程两边都除以或 同一个 的数，方程的解不变。 例如： (1)将方程5x2两边都除以-5得：x=-2 53122(2)将方程 x 两边都乘以得：x= 2339这里的变形通常称为“将未知数的系数化为1”。 注意： 如遇未知数的系数为整数，“系数化为1”时，就要除以这个整数；如遇到未知数的系数为分数，“系数化为1”时，就要乘以这个分数的倒数。 不论上一乘以或除以数时，都要注意结果的符号。 方程的解的概念：能够使方程左右两边都相等的未知数的值，叫做方程的解。 求不方程的解的过程，叫做解方程。 一元一次方程的概念及其解法 1定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是 ，未知数的次数是 ，这样的方程叫做一元一次方程。 例如：方程7-3x=4、6x=-2x-6都是一元一次方程。 12而这些方程5x3x+10、2x+yl3y、 5就不是一元一次方程。 x-11 2一元一次方程的一般式为：ax+b=0 一元一次方程的一般式为：ax=b 3解一元一次方程的一般步骤 步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1。 注意：方程中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法去括号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。 “去分母”指去掉方程两边各项系数的分母；去分母时，要求各分母的最小公倍数，去掉分母后，注意添括号。去分母时，不要忘记不等式两边的每一项都乘以最小公倍数 一元一次方程的应用 1纯数学上的应用：一元一次方程定义的应用；方程解的概念的应用；代数中的应用；公式变形等。 2实际生活上的应用：调配问题；行程问题；工程问题；利息问题；面积问题等。 3探索性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。 第七章 二元一次方程组 一、基本概念 二元一次方程组的有关概念 1二元一次方程的定义：都含有 个未知数，并且 的次数都是1，像这样的整式方程，叫做二元一次方程。 一般形式为：ax+by=c 结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的理解；“元”与“未知数”相通，几个元是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。 例如：方程7y-3x=4、-3a+3=4-7b、2m+3n=0、1-s+t=2s等都是二元一次方程。 而6x=-2y-6、4x+8y=-6z、22=n等都不是二元一次方程。 m2二元一次方程组的定义：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 例如：íì2x-3y=5ì7a+3b=-3ìm+n=2ìs-t=2、í、í、í等都是二元一次方程组。 îm-n=1î3s+t=-11îx+y=-8îa-2b=12 1ì2x-3y=5ì7a+3a=-3ìï+n=2而í、í、ím等都不是二元一次方程组。 îx+z=-8îa-2a=1ïîm-n=1注意：只要两个方程一共含有两个未知数，也是二元一次方程组。如：í也是二元一次方程组。 3二元一次方程和二元一次方程组的解 二元一次方程的解：能够使二元一次方程的左右两边都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 注意：写二元一次方程或二元一次方程组的解时要用“联立”符号“í”把方程中两个未知数ì2x=5ìs=2、íîy=-8ît=-11ìî的值连接起来写。 二元方程解的写法的标准形式是：í二元一次方程组的解法 1解二元一次方程组的基本思想：“消元”，化二元一次方程组为一元一次方程来解。 2二元一次方程组的基本解法 代入消元法 定义：通过“代人”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解的这种解法叫做代人消元法，简称代入法。 步骤：选取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程。 把代人另一个方程，得一元一次方程。 解这个一元一次方程，得一个未知数的值。 把这个未知数的值代人，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。 加减消元法 定义：通过将两个方程相加(或相减)，消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫加减消元法，简称加减法。 步骤：把两个方程同一个未知数的系数乘以适当的倍数，使得这两个未知数的绝对值相同。 ìx=a， îy=b3 把未知数的绝对值相同的两个方程相加或相减，得一元一次方程。 解这个一元一次方程，得一个未知数的值。 把这个未知数的值代人原方程组中系数叫简单的一个方程，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。 注意：正确选用两种基本解二元一次方程组 若二元一次方程组中有一个未知数系数的绝对值为1，适宜用“代入法”。 用加减法解二元一次方程组，两方程中若有一个未知数系数的绝对值相等，可直接加减消元；若同一未知数的系数绝对值不等，则应选一个或两个方程变形，使一个未知数的系数的绝对值相等，然后再直接用加减法求解；若方程组比较复杂，应先化简整理。 二元一次方程组的应用 1纯数学上的应用：二元一次方程定义的应用；方程解的概念的应用；代数中的应用；公式变形等。 2实际生活上的应用：调配问题；行程问题；工程问题；利息问题；面积问题等。 3探索性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。 注意事项： (1)在实际问题中，常会遇到有多个未知量的问题，和一元一次方程一样，二元一次方程组也是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型之一，要学会将实际问题转化为二元一次方程组，从而解决一些简单的实际问题。 (2)二元一次方程组的解法很多，但它的基本思想都是通过消元，转化为一元一次方程来解的，最常见的消元方法有代人法和加减法。一个方程组用什么方程来逐步消元，转化应根据它的特点灵活选定。 (3)通过列方程组来解某些实际问题，应注意检验和正确作答，检验不仅要检查求得的解是否适合方程组的每一个方程，更重要的是要考察所得的解答是否符合实际问题的要求。 第8章 一元一次不等式 一、基本概念 不等式的有关概念和性质 4 1不等式的定义：用 表示不等关系的式子叫做不等式。 常见不等号：、。 注：“>”、“<”不仅表示左右两边不等关系，还明确表示左右两边的大小；“”、“”也表示不等，前者表示“不大于”(小于或等于)，后者表示“不小于”(大于或等于)， “”表示左右两边不相等 例如：方程7y-3x4、-3a+34-7a、2m+3n0等都是不等式。 而-2y-6、4x+8y=-6z等都不是不等式。 2不等式解的定义：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 例如：不等式120<5x中x25，26，27，等都是120<5x的解，而x24，23，22，21则都不是不等式的解。 3不等式的解集 定义：一个不等式的所有解，组成这个不等式解的集合，简称为这个不等式的解集。 求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 在数轴上表示不等式的解集： 没有等号画空心圆圈，有等号画实心圆点。“大于”向右画，“小于”向左画。 4不等式的基本性质 不等式的基本性1：不等式的两边都加上同一个数(或式子)，不等号的方向 。 即：如果ab，那么a+cb+c，a-cb-c； 如果ab，那么a+cb+c，a-cb-c. 不等式的基本性2：不等式的两边都乘以同一个 ，不等号的方向不变。 即：如果ab，c>0，那么acbc，a/cb/c 不等式的基本性3：不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的 。 即：如果ab，c0，那么acbc，a/cb/c 解一元一次不等式 1一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1，像这样的不等式叫做一元一次不等式。 例如：方程7-3x4、6x-2x-6、3x-2x+150都是一元一次不等式。 12而这些方程5x3x+10、2x+yl3y、 5就不是一元一次不等式。 x-12一元一次不等式的解法 5 解一元一次不等式的一般步骤 步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1。 注意：不等式中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法去括号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。 “去分母”指去掉不等式两边各项系数的分母；去分母时，要求各分母的最小公倍数，去掉分母后，注意添括号。去分母时，不要忘记不等式两边的每一项都乘以最小公倍数。 不等式的解法与解一元一次方程类似，完全可以把解一元一次方程的思想照搬过来。 一元一次不等式组 1一元一次不等式组的定义：几个一元一次不等式合起来就组成一元一次不等式组 与二元一次方程组不同的是，这里的“几个”可以两个，也可以三个，或更多个。 2一元一次不等式组的解集：不等式组中几个不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。 3一元一次不等式组的解集的确定规律 同“大”取大，同“小”取小，“大”小“小”大中间找，“大”大“小”小无解了 4一元一次不等式组的解法 求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。 一般步骤： 分别解不等式组中的每个不等式； 把每个不等式组的解集在数轴上表示出来； 找出各个不等式解集的公共部分； 再结合不等式组解集的确定规律，写出不等式组的解集。 一元一次不等式的应用 1纯数学上的应用：一元一次不等式定义的应用；不等式解集的概念的应用；代数中的应用； 2实际生活上的应用：调配问题；行程问题；工程问题；利息问题；决策问题等。 3探索性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。 6 第九章 多边形 一、基本概念 三角形有关概念 1三角形定义：三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边。 三角形专用符号：“” A 2三角形的顶点、边 B C 组成三角形的线段如图中的AB、BC、AC是这个三角形的三边， 两边的公共点叫三角形的顶点。(如点A等)三角形顶点只能用大写字 母表示，整个三角形表示为ABC。 3三角形的内角，外角的概念： 内角：每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如BAC等。每个三角形有三个内角， 外角：三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角 叫做三角形的外角，如下图中ACD是ABC的一个外角， A 它与内角ACB相邻。 外角 例如右图中ACD是ABC的一个外角，它与内角ACB相邻。 B C D 与ABC的内角ACB相邻的外角有几个?它们之间有什么关系? 一个三角形共有几个外角？ 4三角形的分类 是锐角）ì锐角三角形三角形按角分类可分为：í直角三角形î各类三角形的定义 锐角三角形：所有内角都是锐角的三角形叫锐角三角形； 直角三角形：有一个内角是直角的三角形叫直角三角形； 钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形叫钝角三角形。 都不相等）ì不等边三角形ì腰和底不相等的等腰三三角形按边分类可分为：í 等腰三角形íï形î腰和底相等的等腰三角î7 各类三角形的定义 不等边三角形：三边互不相等的三角形叫做不等边三角形； 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形。相等的两边叫做等腰三角形的腰。 等边三角形；三条边都相等的三角形叫等边三角形(或正三角形)。 5三角形的中线、角平分线、高 三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线。 三角形的角平分线：三角形内角的平分线与对边的交点和这个内角顶点之间的线段叫三角形的角平分线。 三角形的高：过三角形顶点作对边的垂线，垂足与顶点间的线段叫三角形的高。 注意： (1)一个三角形中三条中线(高、角平分线)之间的位置关系怎样? 三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点 (2)一个三角形的三条中线(角平分线)的交点与三角形有怎样的位置关系? 三条中线(角平分线)相交于一点，这一点在三角形内部 (3)直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系?钝角三角形呢? 直角三角形有一条高在三角形内部，另外两条就是直角三角形的两条直角边，三条高的交点就是直角三角形的直角顶点，钝角三角形有一条高在形内，两条高在形外，三条高所在的直线的交点在形外。 (4)以上三线都是线段。 三角形外角的性质以及其外角的和 1三角形外角的性质： (1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 A 如图： D是ABC边BC上一点，则有ADCDAB+ABD； ADC>DAB，ADC>ABD B D C 问：ADB( )+( ) 2三角形外角的和。 三角形的外角与和它相邻内角有什么关系?(互补) 三角形外角和的定义：与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相等的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和。 8 三角形外角和定理：三角形的外角和是360° 三角形的三边关系 1三角形三边不等关系定理：三角形的任何两边的和大于第三边。 三角形的任何两边的差小于第三边。 即三角形第三边的取值范围是： |任何两边的差|第三边任何两边的和 以上定理主要用语判断给出一定长度的线段能否构成三角形和求第三边的取值范围。 2三角形具有稳定性 这就是说三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了。三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。四边形就不具有这个性质。 多边形的内角和与外角和 1多边形及其相关概念 定义：由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为n边形，又称多边形。 一个n边形有n个内角，有2n个外角。 如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形，如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等。 对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 从n边形的一个顶点引对角线，可以引(n-3)条，这(n-3)条对角线把n边形分成个三角形。 从n边形的所有顶点引对角线的总条数为：2多边形的内角和公式 n边形的内角和(n-2)·180° 3多边形的外角和。 多边形的外角和定义：从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和。 多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°。 多边形的外角和与多边形的边数无关。 用正多边形拼地板 n(n-3)条。 29 1用相同的正多边形拼地板：能拼成既不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是围绕一点拼在一起的几个多边形的内角相加恰好等于360°。 在正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中能够拼出完整地面是 (n2)·180°这就是说，当(360°÷ )为正整数时 n即2n 为正整数时，用这样的正n边形就可以铺满地面。 n-2设正多边形的个数为n，每个内角为，则要铺满地面，它们满足下列关系：n=360° 2用多种正多边形拼地板 铺垫满地面的标志：满足围绕一点的这几个正多边形的一个内角的和等于360° 设正多边形甲的个数为n，每个内角为，正多边形乙的个数为m，每个内角为，则它们满足下列关系：n+m=360° 第十章 轴对称、平移与旋转 一、轴对称： 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能 ， 那么这个图形就是 ，这条直线就是它的 。 2.两个图形成轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，它能与另一个图形 那么这两个图形成 ，这条直线就是它们的 ， 折叠时重合的对应点就是 3.轴对称的性质：轴对称(成轴对称的两个)图形的对应线段 ，对应角 4.垂直平分线的定义： 5.对称轴的画法：先连结一对 点，再作所连线段的 6.对称点的画法：过已知点作对称轴的 并 二、平移 图形的平移：一个图形沿着一定的方向平行移动一定的距离，这样的图形运动称 为 ，它是由移动的 和 所决定。 平移的特征：经过平移后的图形与原图形对应线段 (或在同一直线上)且 ， 10 对应角 ,图形的 与 都没有发生变化，即平移前后的两个图形 连结每对对应点所得的线段 (或在同一直线上)且 。 三、旋转 图形的旋转：把一个图形绕一个 沿某个 旋转一定 的变换， 叫做 ，这个定点叫做 。 图形的旋转由 、 和 所决定。 注意：旋转 在旋转过程中保持不动 旋转 分为 时针 和 时针。 旋转 一般小于360°。 旋转的特征：图形中每一点都绕着 旋转了 的角度，对应点到旋 转中心的 相等，对应线段 ，对应角 ，图形的 和 都没有发生变化，也就是旋转前后的两个图形 。 旋转对称图形：若一个图形绕一定点旋转一定角度(不超过180°)后，能与 重合，这种图形就叫 。 四、中心对称 中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转 °后，如果能够与 重合， 那么这个图形叫做 图形，这个点就是它的 。 成中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转 °后，如果它能够与 重合 那么就说这两个图形关于这个点成 ，这个点叫做 。 这两个图形中的对应点叫做关于中心的 。 中心对称的性质：关于中心对称的图形，对应点所连线段都经过 ， 而且被对称中心 。(中心对称是旋转对称的特殊情况)。 中心对称点的作法连结 和 ，并延长一倍。 对称中心的求法方法：连结一对对应点，再求其 ； 方法：连结两对对应点，找他们的 。 五、图形的全等 1.全等图形定义：能够完全 的两个图形叫做全等图形。 2.图形变换与全等：一个图形经翻折、平移、旋转变换所得到的新图形与 全等；全等的两个图形经过上述变换后一定能够 。 11 3.全等多边形：有关概念：对应顶点、对应边、对应角等。 性质：全等多边形的 、 相等； 判定： 、 分别对应相等的两个多边形全等。 4.全等三角形：性质：全等三角形的 、 相等； 判定： 、 分别对应相等的两个三角形全等。 12