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北航空气动力学答案第三章理想不可压缩流体平面位流 3-1 设有直匀流V¥以正X轴方向流过位于原点的点源，点源的强度为Q，试求半无限体表面上最大垂直分速度vmax的位置及速度值，并证明，在该点处合速度的大小正好等于直匀流速度V¥。 解：根据叠加原理，流函数为 y=V¥y+QQyq=V¥y+arctg 2p2px利用流函数表达式，可以写出合速度场中的速度分量为 ¶yQxìu=V+¥ï¶y2px2+y2ï í¶yQyïv=-=ï¶x2px2+y2î由式可以确定流场中驻点A位置为 Qìx=-ïA2pV¥ íïy=0îA过驻点A的流线，即为半无限体的表面，其方程为 y=rsinq=半无限体表面上的垂直分速度为 Q(p-q) 2pV¥QyQsinqV¥sin2qv= 2px2+y22prp-q由 dvdæV¥sin2q=çdqdqèp-q可得 ö2V¥sinqcosqV¥sin2q+=0 ÷=2p-q(p-q)øìsinq=0ï ítgq=-2ïîp-qV¥sin2q当sinq=0时，q=p，v=0 p-qtgqV¥sin2q2V¥sin2q=-2时，v=-=-V¥sin2q，即 当p-qp-qtgqq1=1.9760315=113.2183，v=-V¥sin2q=0.724611V¥ q2=4.3071538=246.7817，v=-V¥sin2q=-0.724611V¥ 所以，半无限体表面上最大的垂直分速度为 vmax=0.724611V¥ 该点的位置为 Qy=，(p-q) q=1.9760315=113.21832pV¥在半无限体表面的水平速度分量为 u=V¥+在该点处的水平速度分量为 V¥sinqcosqQxQcosq=V+=V+ ¥¥2px2+y22prp-q()V¥sinqcosq=0.689158V¥ (p-q)u=V¥+则该点处的合速度为 V=u2+v2=V¥ 3-2令G(x,y)是二维拉普拉斯方程的解，请证明G(x,y)可以代表二维无粘不可压缩流动的位函数或流函数。 证明： DG(x,y)=0¶æ¶Gö¶æ¶Gö÷=0 ç÷+ç¶xè¶xø¶yè¶yøìu=ïïíïv=ïî¶G¶x¶G¶y ¶u¶v¶v¶u¶2G¶2G有：ÑV=+=DG=0Wz=-=-=0¶x¶y¶x¶y¶x¶y¶x¶y； 同时满足不可压及无旋条件，所以可以代表二维无粘不可压缩流动位函数 ¶Gìu=ï¶yïíïv=-¶G ï¶xî¶u¶v¶2G¶2G¶v¶u¶2G¶2G有：ÑV=+=-=0Wz=-=-=0¶x¶y¶x¶y¶x¶y¶x¶y¶x¶x¶y¶y； 满足不可压平面流动条件，所以可以代表二维无粘不可压缩流动流函数。 3-3 在正三角形的三个角点(a,0)，(-a,0)，0,3a处放入三个等强度的点源，试写出该流动的流函数，确定其驻点坐标，并粗略地勾画出对应的流谱。 解：设点源的强度为Q，根据叠加原理，该流动的流函数为 ()y=Q2pæyyy-3aöarctg+arctg+arctg ç÷ç÷x-ax+axèø由可以给出流动的速度分量 ìæö¶yQx-ax+axïu=ç÷=+222ï¶y2pçx-a)+y2(x+a)+y2x2+y-3a÷(ç÷ïïèø íæöï¶yQyyy-3aç÷ïv=-=+22222÷ï¶x2pçç(x-a)+y(x+a)+yx2+y-3a÷ïèøî()()由式可以确定流场中驻点A位置为 ìxA=0ïa íïyA=3î3-4 叠加中心在原点的点涡和点源，试证其合成流动是一种螺旋形流动。在这一种流动中，速度与极半径之间的夹角处处相等，其值等于arctg(-GQ)。 解：根据叠加原理，合成流动的位函数为 f=由可以给出流动的速度分量 QGlnr+q 2p2p¶fQìV=ïïr¶r2pr íïV=¶f=Gqïr¶q2prî速度与极半径之间的夹角a为 a=arctgVqG=arctgVrQ¶fQìV=ïïr¶r2príïV=¶f=Gqïr¶q2prî3-5 在(-a,0)和(a,0)分别放入强度相等的点源和点汇，直匀流V¥沿x轴流来。设点源的强度为Q=2pV¥a，试求流动的流函数、前后驻点的位置和零流线的形状。该零流线所代表的封闭物体称之为兰金卵形，试确定该兰金卵形的短半轴值。 解：根据叠加原理，该流动的流函数为 y=V¥y+yyöæarctg-arctgç÷x+ax-aøèyyöæ=V¥y+V¥açarctg-arctg÷x+ax-aøèQ2p由可以给出流动的速度分量 ìæö¶yx+ax-aïu=V¥+V¥aç-÷2222÷ç¶yïïè(x+a)+y(x-a)+yø íæöï¶yyy=V¥aç-÷ïv=-ç(x+a)2+y2(x-a)2+y2÷¶xïèøî前后驻点的位置为 ìïxA=±3a íïîyA=0零流线的形状为 yyöæV¥y+V¥açarctg-arctg÷=0 x+ax-aèø当x=0时，数值求解得y=±1.3065a，所以该兰金卵形的短半轴为1.3065a。 3-6 设有直匀流y=V¥y绕过两种物体，一种是兰金卵形封闭物体，另一种是半径等于兰金卵形物体短轴的圆柱体，试比较在这两种物体表面上所产生的最大速度之比，并给出适当的物理解释。 解：由于兰金卵形和圆柱物体均为左右对称，因此最大速度位置均出现在左右的对称面上。 兰金卵形物体表面上对称面位置的坐标为(0，±1.3065a)，该点处的速度为 ìæöx+ax-aïu1=V¥+V¥aç-÷=1.738841V¥2222÷çïïè(x+a)+y(x-a)+yø íæöïyy-÷=0ïv1=V¥açç(x+a)2+y2(x-a)2+y2÷ïèøî兰金卵形物体表面上所产生的最大速度为Vmax,1=u1=1.738841V¥。 根据叠加原理，圆柱绕流的流函数为 y=V¥y-Myx2+y2ì¶yx2-y2ïu=¶y=V¥-M222x+y() ïí2xyïv=-¶y=M222ï¶xx+y()î圆柱表面上左右对称面位置的坐标为(0，±1.3065a)，该点处的速度为 ìx2-y2=V¥ïu2=V¥-M222(x+y)ï í2xyïv=M=0222ï2(x+y)î圆柱表面上所产生的最大速度为Vmax,2=u2=2V¥。 兰金卵形物体和圆柱物体表面上所产生的最大速度之比为 Vmax,1Vmax,2=1.738841=0.869721 2a）3-7在(-a,0)和(a,0)有等强度的点源和点汇，试证明它们对无穷远处 =2222x+ypx+y根据叠加原理，强度为Q的分别位于在(-a,0)和(a,0)的点源和点汇构成的流动的位函数为 f1=QéQé22ln(x+a)+y2ù-ln(x-a)+y2ùû4pëû4pë22ù Q(x+a)+yQé4ax=ln=lnê1+ú22224p(x-a)+y4pêë(x-a)+yúû当x,ya时，有4ax(x-a)2+y2»4ax®0，固有 x2+y2ùQéQé4ax4axùf1=lnê1+»ln1+úêx2+y2ú224pê4px-a+y()ëû úëûQ4axQax»=f22224px+ypx+y3-8位于(0,a)和(0,-a)处有两个强度相等的旋转方向相反的点涡，当a®0时保持2paG为常数，试证其对应的流动与轴线在x轴的偶极子完全相同。 证明： 位于原点的轴线沿-x轴方向的强度为M的偶极子的流函数为 y=-My 22x+y根据叠加原理，位于(0,a)和(0,-a)处的强度为G的旋转方向相反的点涡产生的复合流场的流函数为 Gé2Gé222lnx+(y-a)ù+lnx+(y+a)ùû4pëû4pë 22éùéùx+y+a()=Gln1+G4ay=lnê2úê22ú24pê4pêëx+(y-a)úûëx+(y-a)úû对式两端取极限，有 y1=-ùGé4ayGayGayy1=limlnê1+2=lim= ú22222a®04pa®0ppx+yx+(y-a)êëx+(y-a)úûGa当M=-时，y=y1。 p3-9在(-a,0)和(a,0)处分别布置强度为Q的等强度的点汇和点源，直匀流V¥沿x轴方向流来，试写出合成流动的流函数，并证明其包含驻点的流线方程为 y=0 x2+y2-a2=2aytan(2pV¥yQ) 设a=V¥=Q2p=1，请画出合成流动对应的物体形状。 证明： 合成流动的流函数为 y=V¥y+Q2pyyöæarctg-arctgç÷ x-ax+aøè流场中各点的速度分量为 ìx+a)ù(¶yQé(x-a)ïu=V¥-êú2222¶y2pïê(x-a)+y(x+a)+yûúïë íöï¶yQæyy=+ç-÷ïv=-2222÷ç¶x2pè(x-a)+y(x+a)+yøïîæöQa2±+a,0由可求得驻点的位置为ç÷çpV÷，因此包含驻点的流线方程¥èø为 V¥y+Q2pyyöæarctg-arctgç÷=0 x-ax+aøè流线方程可以进一步改写为 2pV¥yyy =arctg-arctgQx+ax-atan2pV¥yyyö2ayæ =tançarctg-arctg=÷222Qx-ax+aøx+y-aè所以，包含驻点的两条流线方程为 y=0 x2+y2-a2=2aytan(2pV¥yQ)当a=V¥=Q2p=1时，包含驻点的流线方程简化为 x2+y2=1+2y tany3-10相距2a、强度为Q的等强度点源和点汇，位于一条与正x轴成45度的直线上，点源和点汇相对于原点对称。试证当a®0时，并保持2paQ等于常数M时，此时形成的偶极子的流函数为 y=证明： M2y-x2p2x2+y2ææ22ö22ö设点源位于çç2a,2a÷÷，则点源与点汇合成流ç-2a,-2a÷÷，点汇位于çèøèø动的流函数为 y=对式进行变换有 Q2pæy+22ay-22aöarctg-arctg ç÷ç÷x+22ax-22aøèy+22pyx+2tan=Qy+1+x+2ay-2ax-22ay-22ax-22a2a(x-y)22a =22222ax+y-a22ay=对式两端取极限，有 2a(x-y)Q arctg2222px+y-ay=lim=-2a(x-y)QQarctg2=22a®02px+y-a2p2a(x-y)x2+y2Qa2(y-x)M2(y-x)=-2px2+y22p22x2+y23-11试证在直匀流中，半径为a的圆柱体表面上的压强系数为 æöGCp=1-4sin2qç1+÷ 4paVsinqè¥ø设绕圆柱体的环量为G。 证明： 绕圆柱流动的位函数为 æa2öGf=V¥ç1+2÷rcosq-q 2pèrø则圆柱表面的速度分量为 ìæa2ö¶f=V¥ç1-2÷cosq=0ïur=¶rïèrø í2ïu=¶f=-Væ1+aösinq-G=-2aVsinq-G¥ç¥2÷ïqr¶q2pr2paèrøî圆柱表面的合速度为 V=uq=-2V¥sinq-G2pa则圆柱表面的压力系数分布为 æVöæp-p¥GCp=1-ç÷=1-4sin2qç1+12rV¥èV¥øè4pV¥asinq2ö÷ ø