北师大年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题.docx

北师大年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题第一章 勾股定理 知识点一：勾股定理定义 画一个直角边为3cm和4cm的直角ABC，量AB的长；一个直角边为5和12的直角ABC，量AB的长 发现3+4与5的关系，5+12和13的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 1如图，直角ABC的主要性质是：C=90°， 两锐角之间的关系： ； 若D为斜边中点，则斜边中线 ； 若B=30°，则B的对边和斜边： ； 三边之间的关系： 。 知识点二：验证勾股定理 知识点三：勾股定理证明 例1。已知：在ABC中，C=90°，A、B、C的对边为a、b、c。 D求证：ab=c。 证明： 例2。已知：在ABC中，C=90°，A、B、C的对边为a、b、c。 求证：ab=c。 证明： 知识点四：勾股定理简单应用 在RtABC中，C=90° (1) 已知：a=6, b=8，求c (2) 已知：b=5，c=13，求a 知识点五：勾股定理逆定理 如果三角形的三边长为a,b,c，满足a+b=c，那么，这个三角形是直角三角形 222222222222222222ADCBCbAcaBbaccaaabcabbccaabbcbab利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： 先找出最大边 计算c与a+b，并验证是否相等。 若c=a+b，则ABC是直角三角形。 若ca+b，则ABC不是直角三角形。 1.下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt的是 A.a=7,b=24,c=25 C.a=6,b=8,c=10 B.a=7,b=24,c=24 D.a=3,b=4,c=5 2222222222.三角形的三边长为(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 3.已知x-6+y-8+(z-10)=0 ,则由此x,y,z为三边的三角形是 三角形. 知识点六：勾股数 满足a+b=c的三个正整数，称为勾股数 勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数 常见的勾股数有：3、4、55、12、13；8、15、17；7、24、25； 11、60、61；9、40、41 1.设a、b、c是直角三角形的三边,则a、b、c不可能的是. A.3,5,4 B. 5,12,13 C.2,3,4 D.8,17,15 1. 若线段a，b，c组成Rt，则它们的比可以是 A.234 B.346 C.51213 D.467 D AD'A' B' BC' C2222知识点七：确定最短路线 1.一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm, 有一只甲虫从A出发，沿表面爬到C¢，最近距离是多少？ 知识点八：逆定理判断垂直 1在ABC中，已知ABBCCA，则ABC的形状是( ) A锐角三角形；B直角三角形；C钝角三角形；D无法确定 2如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为1，则ABC是( ) 222A B 2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程是 . BCA直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D以上答案都不对 知识点九：勾股定理应用题 A1.在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要_米. 3.一根直立的桅杆原长25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两部分各是多长？ 4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？ 5米 3米 综合练习一 一、选择题 1、下面几组数:7,8,9;12,9,15;m+ n, m n, 2mn(m,n均为正整数,m>n);a,a+1,a+2.其中能组成直角三角形的三边长的是( ) 2 222222 A.; B.; C.; D. 2已知一个Rt的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是 A.25 B.14 C.7 D.7或25 3.三角形的三边长为(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形. 4.ABC的三边为a、b、c且(a+b)(a-b)=c，则( ) A.a边的对角是直角 B.b边的对角是直角 C.c边的对角是直角 D.是斜三角形 5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有 6、7、8，8、15、17，7、24、25，12、35、37，9、40、41 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 6.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形 7.若ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则ABC是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 8.如图，C=B=90°，AB=5，BC=8，CD=11，则AD的长为 A、10 B、11 C、12 D、13 9.如图、山坡AB的高BC=5m，水平距离AC=12m，若在山坡上每隔0.65m栽一棵茶树,则从上到下共 ( ) A、19棵 B、20棵 C、21棵 D、22棵 10.RtABC中，C=90°，A、B、C所对的边分别是a、b、c，若c=2，则a+b+c的值是 A、6 B、8 C、10 D、4 11.下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是 、9，12，15 B、222253，1， C、0.2，0.3，0.4 D、40，41，9 4412.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 A.25海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里 二、填空题 1.在RtABC中，C=90°，若a=5，b=12，则c=_；若a=15，c=25，则b=_；若c=61，b=60，则a=_；若ab=34，c=10则SRtABC=_ 2.现有长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为 cm 3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求 ；勾股定理的逆定理的作用是用来证明 4.如图中字母所代表的正方形的面积：A= B= 40022522581AB5.在ABC中，C90°，若 a5，b12，则 c 6.ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，则高AD= ，SABC = 。 7.在RtABC中，有一边是2，另一边是3，则第三边的平方是 。 8.在ABC中，AC=17 cm，BC= 10 cm，AB=9 cm，这是一个_三角形。 9.已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积为 。 三、简答题 1.判断正误，并指出为什么？ ABC的两边为3和4，求第三边 解：由于三角形的两边为3和4，所以它的第三边c为5。 若已知ABC为直角三角形，则第三边为5 2.在ABC中，BC=m2-n2，AC=2mn，AB=m2+n2(mn)。 求证：ABC是直角三角形。 3.求斜边长17厘米，一条直角边长15厘米的直角三角形的面积(画图求解) 4.已知一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以12km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口一个半小时相距多少千米？(画图求解) 5.如图，一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高？ 家庭作业： 一、基础达标: 1. 下列说法正确的是 222 9米12米6.如图，在四边形ABCD中，BAD =90°，DBC =90°，AD = 3，AB = 4，BC = 12，求CD； DACB222222A.若 a、b、c是ABC的三边，则abc； B.若 a、b、c是RtABC的三边，则abc； C.若 a、b、c是RtABC的三边，ÐA=90o，则abc； D.若 a、b、c是RtABC的三边，ÐC=90o，则abc 2. ABC的三条边长分别是a、b、c，则下列各式成立的是 Aa+b=c B. a+b>c C. a+b<c D. a2+b2=c2 3直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为 222A121 B120 C90 D不能确定 4斜边的边长为17cm，一条直角边长为8cm的直角三角形的面积是 5假如有一个三角形是直角三角形，那么三边a、b、c之间应满足 ，其中 边是直角所对的边；如果一个三角形的三边a、b、c满足a2+c2=b2，那么这个三角形是 三角形，其中b边是 边，b边所对的角是 B 6一个三角形三边之比是10:8:6，则按角分类它是 三角形 7如图，已知DABC中，ÐC=90°，BA=15，AC=12，以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是 28 一长方形的一边长为3cm，面积为12cm，那么它的一条对角线长是 C 二、综合发展: 1如图，一个高4m、宽3m的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长 2.一个三角形三条边的长分别为15cm，20cm，25cm，这个三角形最长边上的高是多少？ A 3如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积. 3m 4m 20m 4如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？ 勾股定理综合二 1如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6，BC=8。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于 cm A C 22已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与D重合，折痕为EF，则ABE的面积为E D 1题 A BB E D C A D E 第2题 F F B C 3已知：将正长方形纸片ABCD折叠两次，第一次折痕为AC，第二次折痕为AE，且点D落在F处.若长方形长为4，宽为3，求DE. 4已知：如图，ABC中，C90º，AD是角平分线，CD15，BD25求AC的长 分类讨论思想 1 在RtABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为 2在RtABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为 3等腰三角形的两边长为10和12，则周长为_，底边上的高是_，面积是_。 4.一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是 A. 第三边一定为10 B. 三角形的周长为25 C. 三角形的面积为48 D. 第三边可能为10 确定三角形形状 1已知a、b、c是ABC的三边，且acbcab，试判断三角形的形状 2. 在ABC中，BC=1997，AC=1998，AB=1997+1998，则ABC是否为直角三角形？为什么？ 3.若ABC的三边a、b、c满足a+b+c+338=10a+24b+26c，则ABC为 三角形 4.已知三角形的三边分别是n-2，n，n+2，当n是多少时，三角形是一个直角三角形？ 最短距离问题 1.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 2.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ A C D L B 22222222443.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是 4.如图，在直角ABC中，AB=4BM+MN的最小值是 5.如图，在正方形ABCD的边AB上连接等腰直角三角形，然后在等腰直角三角形的直角边上连接正方形，无限重复上述过程，如果第一个正方形ABCD的边长为1，那么第n个正方形的面积为 ，BAC=45°，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则综合练习三 一、选择题 1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ).30 28 56 不能确定 2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长 4 cm 8 cm 10 cm 12 cm 3. 已知一个Rt的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是25 14 7 7或25 4. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) 13 8 25 64 5. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是 72520242524202425207242025(D)15715(A)7(B)1515(C)6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) 钝角三角形 锐角三角形 直角三角形 等腰三角形. D7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( ) AC 25 12.5 9 8.5 8. 三角形的三边长为(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是( ) B 等边三角形 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形. 9.ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金. 50a元 600a元 1200a元 1500a元 10.如图，ABCD于B，ABD和BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的长为. 12 7 5 13 A E C D 二、填空题 B 11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要_米. 22212. 在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB+AC+BC=_. 13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 . 14. 如图，在ABC中，C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是_. A 5米 3米 D E B C 15. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞_米. 16. 如图，ABC中，C=90°，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，则AC等于_. 17. 如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是_. 18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为_cm. 三、解答题 19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题： “小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺，另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？ 20. 如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长. 21. 如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 22. 如图所示的一块地，ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。 第21题图 A C D L B 23. 如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？ CDBAAA1B1BC