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北师九年级下册第二章二次函数知识点及习题九年级下册第二章 二次函数 一、二次函数概念： 1二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a¹0，而b，c可以为零二次函数的定义域是全体实数 2. 二次函数y=ax+bx+c的结构特征： 一次函数：2初中阶段所学函数： y=kx+b(k是常数，k¹0) x 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2 a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 正比例函数:y=k二、二次函数的图像和性质 1. 二次函数基本形式：y=ax2的性质： 反比例函数：y=k x当a越大，抛物线开口越小；当a越小，抛物线的开口越大。 最大值或最小值：当a0，且x0时函数有最小值，最小值是0； 当a0，且x0时函数有最大值，最大值是0。 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a>0 (0，0) (0，0) y轴 x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0 x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0 a<0 向下 y轴 2. y=ax2+c的性质： 上加下减。 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a>0 (0，c) (0，c) y轴 x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值c x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值c a<0 向下 y轴 3. y=a(x-h)的性质： 左加右减。 a2符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 X=h 性质 a>0 向上 (h，0) x>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值0 a<0 向下 (h，0) X=h x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值0 4. y=a(x-h)+k的性质： a的符号 2开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a>0 (h，k) (h，k) X=h x>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值k x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值k a<0 向下 X=h 5.y=ax+bx+c的性质 2b24ac-b2二次函数y=ax+bx+c配方成y=a(x+)+则抛物线的 2a4a22b4ac-bb对称轴：x=- 顶点坐标： 2a4a2a增减性：若a>0，则当x<-当x>-若a<0，则当x<-当x>-b时，y随x的增大而减小； 2ab时，y随x的增大而增大。 2ab时，y随x的增大而增大； 2ab时，y随x的增大而减小。 2a4ac-b2b最值：若a>0，则当x=-时，y最小=； 4a2a4ac-b2b 若a<0，则当x=-时，y最大= 4a2a三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： k)； 方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)+k，确定其顶点坐标(h，2k)处，具体平移方法如下： 保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到(h，y=ax2向上(k>0)平移|k|个单位y=ax2+k向右(h>0)平移|k|个单位向右(h>0)平移 |k|个单位向上(k>0)平移|k|个单位向右(h>0)平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)平移|k|个单位y=a(x-h)2+k 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二： y=ax+bx+c沿y轴平移:向上平移m个单位，y=ax+bx+c变成 22y=ax2+bx+c+m y=ax+bx+c沿轴平移：向左平移m个单位，y=ax+bx+c变成22y=a(x+m)2+b(x+m)+c 四、二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c的比较 从解析式上看，y=a(x-h)+k与y=ax2+bx+c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，bö4ac-b2b4ac-b2æ即y=açx+÷+，其中h=-， k=2aø4a2a4aè22五、二次函数y=ax2+bx+c图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y=a(x-h)2+k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 2b 先找出顶点，画出对称轴x=-； 2a4a2a 找出图象上关于直线x=-c)、以及(0，c)关于对称轴对称的点(2h，c)、与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)；一般我们选取的五点为：2a与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 把上述五点连成光滑的曲线。 六、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：y=ax2+bx+c； 2. 顶点式：y=a(x-h)2+k； 3. 两根式：y=a(x-x1)(x-x2). 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac³0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然a¹0 当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小 2. 一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在a>0的前提下， 当b>0时，-当b=0时，-当b<0时，-b<0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2ab=0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab>0，即抛物线对称轴在y轴的右侧 2a 在a<0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当b>0时，-当b=0时，-当b<0时，-b>0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2ab=0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab<0，即抛物线对称轴在y轴的左侧 2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置 总结：ab的符号的判定：对称轴x=-b在y轴左边则ab>0，在y轴的右侧则ab<0，概括的说2a就是“左同右异” 3. 常数项c 当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置 总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的 八、二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称 y=ax2+bx+c关于x轴对称后，得到的解析式是y=-ax2-bx-c； y=a(x-h)+k关于x轴对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)-k； 22 2. 关于y轴对称 y=ax2+bx+c关于y轴对称后，得到的解析式是y=ax2-bx+c； y=a(x-h)+k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a(x+h)+k； 22 3. 关于原点对称 y=ax2+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax2+bx-c； y=a(x-h)+k关于原点对称后，得到的解析式是y=-a(x+h)-k； 4. 关于顶点对称 22b2 y=ax+bx+c关于顶点对称后，得到的解析式是y=-ax-bx+c-； 2a22y=a(x-h)+k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)+k 22n)对称 5. 关于点(m，y=a(x-h)+k关于点(m，n)对称后，得到的解析式是y=-a(x+h-2m)+2n-k 22 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式 十、二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系： 一元二次方程ax2+bx+c=0是二次函数y=ax2+bx+c当函数值y=0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数： 0)，B(x2，0)(x1¹x2)，其中的x1，x2是一元二次方 当D=b2-4ac>0时，图象与x轴交于两点A(x1，b2-4ac程ax+bx+c=0(a¹0)的两根这两点间的距离AB=x2-x1=. a2 当D=0时，图象与x轴只有一个交点； 当D<0时，图象与x轴没有交点. 1' 当a>0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y>0； 2' 当a<0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y<0 2. 抛物线y=ax2+bx+c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； 3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数y=ax2+bx+c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c(a¹0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a>0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： D>0 抛物线与x轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 D=0 D<0 抛物线与x轴只有一个交点 抛物线与x轴无交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. 二次函数图像参考： y=2x2y=x2y=2x2+2y=2x2y=x22y=2x2-4y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2x2y= -2y= -x2y=-2x2十一、函数的应用 ì刹车距离二次函数应用ïí何时获得最大利润 ïî最大面积是多少 y=2x2y=2(x-4)2y=2(x-4)2-3 y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2一、二次函数概念： 基础训练： 1、一般地，形如_的函数，叫做二次函数。其中x是_，a是_，b是_，c是_ 32观察：y6x2；y2 x230x；y200x2400x200这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是_次一般地，如果yax2bxc，那么y叫做x的_ 3函数y(m2)x2mx3 当m_时，该函数为二次函数； 当m_时，该函数为一次函数 4、下列函数中，y是x的二次函数的是_： 2A、y=2x-1 B、y=6 C、y=12 D、y=x+1 2xx、二次函数y=-x+4x-3的二次项系数，一次项系数与常数项分别是_、_、_。 5、当k=_时，函数y=(k-2)xk6、把函数22-2-2x-k是以x为自变量的二次函数。 化成一般式是_。其中 y=(x-4)(x+2)+2a= ,b= ，c= 。 7、列写函数关系式： 高等于底面半径的圆柱表面积y与底面半径x的关系_； 长是宽的3倍的矩形面积S与宽a之间的关系_； 边长为x的等边三角形的面积y与x的关系_； n支球队单循环比赛，总的场数m与n的关系_； 某药品原售价25元，经过两次降价，每次都降低x，现价为y元，则y与x的函数关系_。 m-m+3是二次函数，求m的值。 8、函数y=(m-2)x29、无论x为何实数，二次函数y=(a+1)x2的值总是非负数，求a的取值范围。 巩固训练 1、 x+2与x-3的积等于y，写出y与x的函数关系式为_； 2、函数y=(m-1)xm2+1+2x-3是关于x的二次函数，则m等于 A、1 B、-1 C、±1 D、都不对 3、下列函数中，哪些是二次函数？ 232 2 -22 (1)y=3x-1 (2)y=3x (3)y=3x+2x(4)y=2x-2x+1(5)y=x+x (6)y=x-x(1+x) 拓展提高： 对于函数y=(m+3)xm-1-mx m为何值时，y是x的二次函数？ m为何值时，y是x的一次函数？ y可以成为x的反比例函数吗？如果可以，求出m的值；如果不可以，说明理由。 二、二次函数图象与性质 1、二次函数yax2的图象与性质 一、填空题 1、二次函数y=ax2的图象性质： 一般地，抛物线y=ax2的对称轴是_，顶点坐标是_。当a>0时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的最_点；当a<0时，抛物线 的开口向_，顶点是抛物线的最_点。 抛物线y=4x2的开口向_，对称轴是_，顶点坐标是_，顶点 是 _，该抛物线有最_点。 32函数y7 x2的图象开口向_，顶点是_，对称轴是_， 当x_时，有最_值是_ 3二次函数ymx有最低点，则m_ 24二次函数y(k1)x的图象如图所示，则k的取值 范围为_ 5.若二次函数y=(m-1)x2的图象的开口方向向上，则m的取值范围为 . 6.二次函数y=-12x的顶点坐标为 ，对称轴为 . 4m2-27.若点A与点B都在二次函数y=ax2的图象上，则m的值为 . 8.已知点在二次函数y=-12x的图象上，则m的值为 . 29.若二次函数y=(m-3)x2在对称轴右边的图象上，y随x的增大而减小，则m的取值范围为 . 10.二次函数y=ax2的图象必经过的一点的坐标为 . 二、选择题 1、下列二次函数的开口向下的是_ A、y=12222x B、y=(k+1)x C、y=(-m-2)x2 D、y=6x 322、二次函数y=(2-m)x开口向上，则m的非负整数值是_ A、0，1 B、0，1，2 C、1，2 D、0，2 3、下列抛物线的开口最大的是_ A、y=4x2 B、y=2x2 C、y=x2 D、0.3x2 4、对比同一坐标系中画出y=x2与y=-x2的图象；它们成轴对称吗？若是，对称轴是什么直线？y=ax2与y=-ax2 能类推结论吗？结论是什么呢？ 5、在同一直角坐标系中画出下列函数图象： y=12x 4 y=-2x2 达标检测： 1、下列点在y=-2x2图象上的点是_ A. B. C. D. 2、二次函数y=(k+3)x开口向下，则k的取值范围是_ 3、已知抛物线y=(m+2)xm2+m-42的开口向下。求当x=-2时，y的值；画出它的图像。 拓展提高： 若将抛物线y=4x2的图像绕其顶点旋转180°，所得抛物线的解析式为_；若点A、B(x2,2)(x1x2)都在抛物线y=ax的图像上，则当x=2x1+x2时，y=_. 22、二次函数yax2k的图象与性质 基础训练 1填表 函数 草图 开口方向 顶点 对称轴 最值 对称轴右侧的增减性 y3x2 y3x21 y4x25 2将二次函数y5x23向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_ 3写出一个顶点坐标为，开口方向与抛物线yx2的方向相反，形状相同的抛物线解析式_ 4抛物线y4x21关于x轴对称的抛物线解析式为_ 115抛物线y3 x22可由抛物线y3 x23向_平移_个单位得到的 6抛物线yx2h的顶点坐标为，则h_ 7抛物线y4x21与y轴的交点坐标为_，与x轴的交点坐标为_ 巩固提高 1下列二次函数的开口方向向上的是 1Ay=-3x2+1 By=ax2-3 Cy=x2-2 Dy=(a-1)x2-5 32若二次函数y=(3m-6)x2-1的开口方向向下，则m的取值范围为 Am>2 Bm<2 Cm¹2 Dm>-2 3若二次函数y1=a1x2-1与二次函数y2=a2x2+3图象的形状完全相同，则a1与a2的关系为 Aa1=a2 Ba1=-a2 Ca1=±a2 D无法判断 4将二次函数y=-2x2的图象向下平移5个单位，得到的抛物线的解析式为 Ay=2x2+5 By=-2x2-5 Cy=-2x2+5 Dy=2x2-5 5若二次函数y=m2-6x2-2由二次函数y=-5x2平移得到的，则m的值为 A1 B-1 C1 或-1 D0或-1 16二次函数y=-x2-3图象的顶点坐标为 311A B C D 337将二次函数y=-2x2-1图象向下平移5个单位得到的抛物线的顶点坐标为 A B C D 8将二次函数y=-x2+1图象向左平移3个单位得到的抛物线的对称轴为 A直线x=0 B直线x=4 C直线x=-3 D直线x=3 ()3、二次函数ya(x-h)2的图象与性质 1观察图象，填表： 函数 1y2 (x1)2 1y2 (x1)2 开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性 12请在图上把抛物线y2 x2也画上去 111 抛物线y2 (x1)2 ，y2 x2，y2 (x1)2的形状大小_ 11把抛物线y2 x2向左平移_个单位，就得到抛物线y2 (x1)2 ； 11把抛物线y2 x2向右平移_个单位，就得到抛物线y2 (x1)2 目标检测 1抛物线y2 (x3)2的开口_；顶点坐标为_；对称轴是_；当x3时，y_；当x3时，y有_值是_ 2抛物线ym (xn)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y4 (x4)2，则m_，n _ 3若将抛物线y2x21向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_ 4若抛物线ym (x1)2过点，则m_. 练习： 1二次函数y=(x-6)2的图象是由y=x2的图象经过怎样的图形变换得到的？ 开口方向 ；顶点坐标 ；对称轴为 . 2练习：二次函数y=-2(x+3)2的图象是由y=-2x2的图象经过怎样的图形变换得到的？ 开口方向 ；顶点坐标 ；对称轴为 . 3练习：将二次函数y=3x2的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到的函数解析式为 ，再沿x轴向左平移7个单位长度得到的函数解析式为 . 巩固提高 1对于二次函数y=-3x2+2x-4来说，a=_，b=_，c=_. 2抛物线y=-2x2+3的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，其顶点坐标的意义为 . 3将抛物线y=12x沿y轴向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ，再沿y轴向3上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 . 4把抛物线y=ax2+c沿y轴向下平移7个单位得到的抛物线的解析式为y=3x2-4，则a= ，c= . 5抛物线y=-2(x+3)2的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，其顶点坐标的意义为 . 6将抛物线y=-5x2沿x轴向左平移6个单位长度得到的新的二次函数解析式为 .此时函数的顶点坐标为 ，对称轴为 . 7把抛物线y=a(x-h)2沿x轴向右平移3个单位长度得到的新的二次函数解析式为y=-5(x-5)2，则a= ， h= . 8把抛物线y=12x向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式为 ，此2时抛物线的开口方向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 . 9二次函数y=2x2-4x-1 将其化成y=a(x-h)2+k的形式； 说明中抛物线是由y=2x2的图象经过怎样的图形变换得到的？ 写出中抛物线的顶点坐标，对称轴. 求中抛物线与x轴、y轴的交点坐标. 4、 二次函数yax2bxc的图象与性质 1用配方法求二次函数y2x24x1的顶点坐标 2用两种方法求二次函数y3x22x的顶点坐标 3二次函数y2x2bxc的顶点坐标是，则b_，c_ 4已知二次函数y2x28x6，当_时，y随x的增大而增大；当x_时，y有_值是_ 目标检测 11用顶点坐标公式和配方法求二次函数y2 x221的顶点坐标 2二次函数yx2mx中，当x3时，函数值最大，求其最大值 巩固提高 1、与抛物线y=ax2+bx+c的对称轴的位置有关的数据是_ A、a B、b C、a、b D、a、b、c 2、下列抛物线的顶点在第二象限的是_ A、y=x2-x+2 B、y=x2+x+2 C、y=-x2-x+2 D、y=-x2+x+2 3、抛物线y=x2-2x+3的对称轴是_，顶点坐标是_ 4、函数y=-x2+2x+2的最大值是_。 5、对于函数y=-x2-2x+3，当x_时，y随x的增大而增大；x_时，y随x的增大而减小。 6、已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，有下列结论： y abc>0；a+b+c>0a-b+c<0；2a+b=0； 其中正确的结论有 A1个 B2个 C3个 D4个 22x=1 -1 O x 7、点A、B在抛物线y=x的图象上，点A横坐标是1，点B的纵坐标是4，求经过A、B两点的直线解析式。 8、抛物线y=-2x2-x+1的对称轴是_，顶点坐标是 _ 29、已知二次函数y=x+bx+3，当x=-1时，y取得最小值，则这个二次函数的顶点在_ A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 10、已知：抛物线y=x2-6x+c的顶点在x轴上，试求c的值。 拓展提高：已知函数y=-3(x+3)+k的图像上有三个点A，B，C，求抛物线的解析式 练习：已知二次函数的图象过、三点，求这个二次函数的关系式 例2 已知抛物线顶点为，且又过点求抛物线的解析式 用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法： 1已知抛物线过三点，设一般式为yax2bxc 2已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式ya(xh)2k 3已知抛物线与x轴有两个交点， 设两根式：ya(xx1)(xx2) 练习：已知二次函数的图象的顶点坐标为，且图像过点，求这个二次函数的解析式 例3 已知抛物线与x轴的两交点为和，且过点 求抛物线的解析式 练习：已知二次函数yax2bxc的图像与x轴交于A，B两点，与 y轴交于点C，求二次函数的顶点坐标 巩固提高 1、下列点不在抛物线y=-2x2+x+1上的是_： A. B. C. D. 2、若点在y=x2-3x+2的图象上，则m=_： A. 0 B. 3 C. 0或3 D.-3 3、二次函数y=2x2+bx+c，当x取-2和1时，函数值分别为-14和4，求它的解析式。 4、点，在同一抛物线上，求这抛物线的解析式。 5、抛物线y=ax2+bx与直线y=2x-1交于A、B两点，已知A点横坐标为-1，B点纵坐标为 3，求抛物线的解析式。 四、 二次函数与一元二次方程 一、学习目标： 1懂得求二次函数yax2bxc与x轴、y轴的交点的方法； 2知道二次函数中a，b，c以及b24ac对图象的影响 二、基本知识练习 1求二次函数yx23x4与y轴的交点坐标为_，与x轴的交点坐标_ 2二次函数yx23x4的顶点坐标为_，对称轴为_ 3一元二次方程x23x40的根的判别式_ 4二次函数yx2bx过点，则b_ 5一元二次方程yax2bxc，0时，一元二次方程有_， 0时，一元二次方程有_，0时，一元二次方程_ 三、知识点应用 1求二次函数yax2bxc与x轴交点 例1 求yx22x3与x轴交点坐标 2求二次函数yax2bxc与y轴交点 例2 求抛物线yx22x3与y轴交点坐标 3a、b、c以及b24ac对图象的影响 a决定：开口方向、形状 c决定与y轴的交点为 b b与2a 共同决定b的正负性 ì>0与x轴有两个交点ï b24ací=0与x轴有一个交点 ï<0与x轴没有交点î 例3 如图， 例4 已知二次函数yx2kx9 当k为何值时，对称轴为y轴； 当k为何值时，抛物线与x轴有两个交点； 当k为何值时，抛物线与x轴只有一个交点 四、课后练习 1求抛物线y2x27x15与x轴交点坐标_，与y轴的交点坐标为_ 2抛物线y4x22xm的顶点在x轴上，则m_ 3如图： 五、目标检测 1求抛物线yx22x1与y轴的交点坐标为_ 2若抛物线ymx2x1与x轴有两个交点，求m的范围 3如图：由图可得：a _0 b_0 由图可得： a_0 b_0 c_0 b24ac_0 由图可得： a_0 b_0 c_0 _0 c_0 b24ac_0 二次函数的性质： 1.表达式：一般式：y=ax2+bx+c； 顶点式：y=a(x-h)2+k 2.顶点坐标： 3.意义：当x=-b2a时，a>0，y有最小值为4ac-b24a；a<0，y有最大值为4ac-b24a 当x=h时，a>0，y有最小值为k；a<0，y有最大值为k 4.a的意义：a>0，图象开口向上；a<0，图象开口向下； a1=±a2说明两函数图象大小形状相同. 5.对称轴：x=-b2a；x=h 6.对称轴位置分析：b=0，对称轴为y轴； ab<0，对称轴在y轴的右侧； ab>0，对称轴在y轴的左侧； 7.增减性：a>0，x>-b2a时，y随x的增大而增大；x<-b2a时，y随x的增大而减小 a<0，x>-b2a时，y随x的增大而减小；x<-b2a时，y随x的增大而增大 8.与y轴的交点为 9.与x轴的交点：ax2+bx+c=0 D=b2-4ac=0，有一个交点； D=b2-4ac>0，有两个交点； D=b2-4ac<0，没有交点10.平移：化成顶点式y=a(x-h)2+k，上加下减：k±m；左加右减：h±m 练习： 1已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，判断下列式子与0的关系. a_0； b_0； c_0； a+b+c_0； a-b+c_0； b2-4ac_0； 2a+b_0； 2a-b_0； 2若二次函数y=ax2+b，当x取x1、x2时，函数的值相等，则当xx1+x2时，函数值为 . 取