北师九年级下册第一章直角三角形的边角关系知识点及习题.docx

北师九年级下册第一章直角三角形的边角关系知识点及习题九年级下册第一章 直角三角形的边角关系 一、锐角三角函数： 正切：在RtABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，即tanA=a; ba正弦：在RtABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即sinA=; cb; cb余切：在RtABC中，锐角A的邻边与对边的比叫做A的余切，记作cotA，即cotA=; c余弦：在RtABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即cosA=注：sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示A,习惯省去“”号； sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均0,无单位. sinA,cosA,tanA, 的大小只与A的大小有关,而与直角三角形的边长无关. 角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 1、三角函数和角的关系 tanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。 sinA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，sinA的值越大。 cosA的值越小，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，cosA的值越大。 2、三角函数之间的关系 互为余角的函数之间的关系 若A为锐角，则 sinA=cos(90°-ÐA)； sin cos tan cot 0º 0 1 0 30 º 1 245 º 60 º 90 º 1 0 0 cosA=sin(90°-ÐA) 90°-ÐA)； tanA=cot(cotA=tan(90°-ÐA) 同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinAcosA1 2)倒数关系：tanA·cotA1 223 23 32 22 21 1 3 21 23 3 33 利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°90°sinAcosA 3)商的关系：tanA，cotA 间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小）而增大(或减cosAsinA 小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小) 二、解直角三角形： 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有 222(1)三边之间的关系：a+b=c； (2)两锐角的关系：AB=90°；解直角三角形的几种基本类型列表如下： (3)边与角之间的关系： sinA=a,cb,cbcosA=,ccosB=a,ctanA=a,bb,abcotA=;acotB=a;bsinB=tanB=11ab=chc(hc为C边上的高); 22a+b-c(5)直角三角形的内切圆半径r= 21(6)直角三角形的外接圆半径R=c 2(4)面积公式:SD= 三、解直角三角形的应用： 1、当从低处测高处的目标时，视线与水平线所成观的锐角称为仰角 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角 2、 如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示，即i=图1 h=tanA l从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。 B i=h:l h A C 图3 l 图4 图2 锐角三角函数定义 一、填空题 1如图所示，B、B是MAN的AN边上的任意两点，BCAM于C点，BCAM于C点，则B'AC_，从而B¢C¢AB¢，又可得 =BCACB¢C¢=_，即在RtABC中(C90°)，当A确定时，它的_与_的比是一个¢AB_值； AC¢=_，即在RtABC中(C90°)，当A确定时，它的_与_的比也是一个AB¢B¢C¢=_，即在RtABC中(C90°)，当A确定时，它的_AC¢与_的比还是一个_ _； 第1题图 2如图所示，在RtABC中，C90° 第2题图 sinA=_， _； sinB=斜边斜边cosA=tanA=(斜边)_， cosB=_， ÐA的邻边_； 斜边ÐB的对边_ tanB=3因为对于锐角a 的每一个确定的值，sina 、cosa 、tana 分别都有_与它_，所以sina 、cosa 、tana 都是_又称为a 的_ 4在RtABC中，C90°，若a9，b12，则c_， sinA_，cosA_，tanA_， sinB_，cosB_，tanB_ 5在RtABC中，C90°，若a1，b3，则c_， sinA_，cosA_，tanA_， sinB_，cosB_，tanB_ 6在RtABC中，B90°，若a16，c30，则b_， sinA_，cosA_，tanA_， sinC_，cosC_，tanC_ 7在RtABC中，C90°，若A30°，则B_， sinA_，cosA_，tanA_， sinB_，cosB_，tanB_ 二、解答题 8已知：如图，RtTNM中，TMN90°，MRTN于R点，TN4，MN3 求：sinTMR、cosTMR、tanTMR 9已知RtABC中，ÐC=90°,tanA=34,BC=12,求AC、AB和cosB 综合、运用、诊断 10已知：如图，RtABC中，C90°D是AC边上一点，DEAB于E点DEAE12求：sinB、cosB、tanB 11已知：如图，ABC中，AC12cm，AB16cm，sinA=13× (1)求AB边上的高CD； (2)求ABC的面积S； (3)求tanB 12已知：如图，ABC中，AB9，BC6，ABC的面积等于9，求sinB 拓展、探究、思考 13已知：如图，RtABC中，C90°，按要求填空： (1)QsinA=a, ca=c×sinA,c=_； (2)QcosA=b, cb_，c_； (3)QtanA=a, ba_，b_； 3,cosB=_，tanB=_； 23(5)QcosB=, sinB=_，tanA=_； 5(6)tanB=3，sinB=_，sinA=_ (4)QsinB=正切：1、在RtABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100 倍,tanA的值 A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 2、已知A,B为锐角 (1)若A=B,则tanAtanB;(2)若tanA=tanB,则AB. 3、在ABC中，C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值. 正弦和余弦： 1已知ABC中，ÐC=90，3cosB=2， AC=25 ，则AB= 2.在RtDABC中，ÐC=90o，如果AB=2，BC=1，那么sinB的值是 o331 B. C. D.3 2323.在RtABC中，ÐC=90°，a，b，c分别是ÐA，ÐB，ÐC的对边，若b=2a，则tanA= A.4.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC=3米，cosÐBAC=子AB的长度为米 5.如果Ða是等腰直角三角形的一个锐角，则tana的值是 3，则梯4B A C 1 22 1 22 三角函数值的计算 一、填空题 1填表 锐角a sina cosa tana 30° 45° 60° 二、解答题 2求下列各式的值 (1)2sin30°-2cos45o(2)tan30°sin60°·sin30° (3)cos45°3tan30°cos30°2sin60°2tan45°(4)cos245°- 3求适合下列条件的锐角a (1)cosa=11+cos230°+sin245° sin30°tan30°231(2)tana=(3)sin2a= 322(4)6cos(a-16o)=33 综合、运用、诊断 4已知：如图，在菱形ABCD中，DEAB于E，BE16cm，sinA=形的周长 5已知：如图，在ABC中，BAC120°，AB10，AC5求：sinACB的值 6已知：如图，RtABC中，C90°，BAC30°，延长CA至D点，使ADAB求： (1)D及DBC； (2)tanD及tanDBC； (3)请用类似的方法，求tan22.5° 7已知：如图，RtABC中，C90°，AC=BC=3，作DAC30°，AD交CB于D点， 求：(1)BAD；(2)sinBAD、cosBAD和tanBAD 8已知：如图ABC中，D为BC中点，且BAD90°，tanÐB=12×求此菱131，求：sinCAD、cosCAD、tanCAD 3拓展、探究、思考 9已知：如图，AOB90°，AOOB，C、D是上的两点，AODAOC，求证： (1)0sinAOCsinAOD1； (2)1cosAOCcosAOD0； (3)锐角的正弦函数值随角度的增大而_； (4)锐角的余弦函数值随角度的增大而_ 10已知：如图，CAAO，E、F是AC上的两点，AOFAOE (1)求证：tanAOFtanAOE； (2)锐角的正切值随角度的增大而_ 11已知：如图，RtABC中，C90°，求证：(1)sin2Acos2A1(2)tanA=sinA× cosA解直角三角形 一、填空题 1在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在RtABC中，C90°，ACb，BCa，ABc， 三边之间的等量关系： _ 两锐角之间的关系： _ 边与角之间的关系： sinA=cosB=_； cosA=sinB=_；第1题图 tanA=1=_； tanB1=tanB=_ tanA直角三角形中成比例的线段(如图所示) 第小题图 在RtABC中，C90°，CDAB于D CD2_；AC2_； BC2_；AC·BC_ 直角三角形的主要线段(如图所示) 第小题图 直角三角形斜边上的中线等于斜边的_，斜边的中点是_ 若r是RtABC(C90°)的内切圆半径，则r_ 直角三角形的面积公式 在RtABC中，C90°， SABC_(答案不唯一) 2关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道_(其中至少_)，这个三角形的形状、大小就可以确定下来解直角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条_或斜边和_)及已知一边和一个锐角(_和一个锐角或_和一个锐角) 3填写下表： 已知条件 一条边和 两条边 斜边c和锐角A 两条直角边a和b 直角边a和斜边c 解法 B_，a_，b_ c_，由_求A，B_ b_，由_求A，B_ 直角边a和锐角A B_，b_，c_ 二、解答题 4在RtABC中，C90° (1)已知：a35，c=352，求A、B，b； (2)已知：a=23，b=2，求A、B，c； (3)已知：sinA= (4)已知：tanB= (5)已知：A60°，ABC的面积S=123,求a、b、c及B 2，c=6，求a、b； 33,b=9,求a、c； 2拓展、探究、思考 8如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3m，冬天太阳光与水平面的夹角为30° (1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼之间的距离BD至少为多少米?(保留根号) (2)由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离BD21m，若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建几层? 9王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地多少距离? 10已知：如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米?(保留整数) 、 解直角三角形 1已知：如图，ABC中，A30°，B60°，AC10cm 求AB及BC的长 2已知：如图，RtABC中，D90°，B45°，ACD60°BC10cm，AD的长 3已知：如图，ABC中，A30°，B135°，AC10cm求AB及BC长 4已知：如图，RtABC中，A30°，C90°，BDC60°，BC6cm求AD的长 综合、运用、诊断 5已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号) 三角函数的应用 1、 船有触礁的危险吗 例1、已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，3»1.732) 练习1、如图，某货船以20海里时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响. (1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由. (2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：21.4，3 1.7) 练习2、如图，一条小船从港口A出发，沿北偏东40方向航行20海里后到达B处，然后又沿北偏西30方向航行10海里后到达C处问此时小船距港口A多少海里？ 斜坡AB的坡角；坝底宽AD A 3C 45° H D 直角三角形的边角关系基础性测试卷 一、选择题 1如图，在DABC中，AC3，BC4，AB5,则tanB的值是 3A22 31B 3） C22 D2 43如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的点D¢处，那么tanÐBAD¢等于 A1 B2 C2 2 D22 4如图.一个小球由地面沿着坡度i=12的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为 10A5m B25m C45m Dm 35如图，在某海岛的观察所A测得船只B的俯角是30°.若观察所的标高是53m，当时的水位是3m，则观察所A和船只B的水平距离BC是 A50 m B503 m C53 m D533m 6如图，两条宽度均为40 m的国际公路相交成角，那么这两条公路在相交处的公共部分的路面面积是 16001600 B cosasinaC1600sin D1600cos A7某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植草皮，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要 A450a元 B225a元 C150a元 D300a元 8身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放出线长分别为300米、350米、280米，线与地面的夹角分别为30°、45°、60°，三人所放风筝 A甲的最高 B乙的最高 C丙的最高 D一样高 二、填空题 1在DABC中，ÐC=90o若tanB=2，a=1，则b= 2在RtDABC中，BC=3，AC=3，ÐC=90o，则ÐA= 3在DABC中，ÐC=90o，tanA=2，则sinA+cosA= 4在RtDABC中，ÐC=90o，sinA=4，BC=20，则DABC的面积为 55如图所示，在高2 m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要m 6如图所示，从位于O处的某哨所发现在它的北偏东60°的方向，相距600 m的A处有一艘快艇正 在向正南方向航行，经过若干时间，快艇到达哨所东南方向的B处，则A，B的距离为m 7如图，在高为h的山顶上，测得一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°和60°，用h表示这个建筑物的高为 三、解答题 1在等腰直角三角形ABC中，ÐC=90o，AC=10，D是AC上一点，若tanÐDBC=长 2如图，学校的保管室里，有一架5米长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成的角为45，如果梯子的底端O固定不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60，求此保管室的宽度AB的长 oo1，求AD的53如图，在DABC中，AB=15，BC=14，SDABC=84求tanÐC的值。 4一人由山底爬到山顶，他先爬了29的山坡200米，接着又爬了43的山坡 山底到山顶的高度。 5如图，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要在小山的另一边同进施工，从AC上的点B取ABD135°，BD1200米，BDE45°，那么开挖点E离D多远正好能使A、C、E成一条直线？ oo100米，到达山顶，求从直角三角形的边角关系提高性测试卷 一、选择题 1如图，在RtABC中，ACB90°，CDAB，D为垂足若AC4，BC3，则sinACD的值为 A4343 B C D 34551，则cosB的值为 526142A B C D 555523已知tana，则锐角a满足 3A0°a30° B30°a45° C45°a60° D60°a90° 4如图所示，在ABC中，ABAC5，BC8，则tanC 3443A B C D 55345如图，从山顶A望到地面C，D两点，测得它们的俯角分别是45°和30°，已知CD100m，点C在BD上，则山高AB等于 2已知AB90°且cosAA100 m B503m C502m D50m 6已知楼房AB高50 m，如图，铁塔塔基距楼房房基间的水平距离BD50 m，塔高1DC为m，下列结论中，正确的是 3A由楼顶望塔顶仰角为60° B由楼顶望塔基俯角为60° C由楼顶望塔顶仰角为30° D由楼顶望塔基俯角为30° 7如图,水库大坝的横断面积为梯形,坝顶宽6米、坝高24米、斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡度i12，则坝底AD的长为 A42米 B米 C78米 D米 二、填空题 5AB，则cosB 132将cos21°、cos37°、sin41°、cos46°的值按由小到大的顺序排列是 1在ABC中，C90°，AC32，则方程tanA·x2xtanB0的根为 244已知等腰梯形下底长4厘米，高是2厘米，下底的内角的正弦值是，则上底长为 5厘米 3在RtABC中，C90°，sinA5.水库的横断面是梯形，如图，坝高23m，斜坡的坡度为1:3，则斜坡的长为。，坡角a=. 6.如图，太阳光线与地面成60o角，一棵倾斜的大树与地面成30o角，这时测得大树在地面上的影长为10m，则大树的长约为m.(保留2位有效数字) 三、解答题 1如图，在坡度为12的山坡上种树，如果株距是6米，求斜坡上相邻两树的坡面距离 2如图，在RtABC中，ACB90°，CDAB于D， tanB的长 3a、b、c分别是ABC中A、B、C的对边，a、b、c满足24，且有5a3c0，求sinAsinB的值 1，且BC9 cm ，求AC，AB及CD34如图，在ABC中，B45°，AC5，BC3，求sinA和AB 5如图，一艘油轮以240m/min的速度向正北方向航行，行驶到A处测得一灯塔C在它的北偏西30o 的小岛上，油轮继续向北航行，5min后到达B点，又测得灯塔C在它的北偏西45o方向，根据有关资 料记载，在距灯塔C为中心1500m范围内有暗礁.试问：这艘油轮不改变前进方向继续行驶是否有触礁 的危险？为什么？