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北京市义务教育课程改革实验教材年级数学上八年级数学知识点 第十一章 分式 一、分式的定义 1、分式 设A、B表示两个整式。如果B中含有字母，那么式子就叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母。注意分母B不能为0，否则分式无意义。 2、最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。如果分子与分母有公因式，要进行化简。 3、分式的基本性质 二、分式的混合运算 分式的混合运算关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除混合运算一样，也是先算乘除，再算加减，有括号的先算括号内的。但应注意纵观算式全貌，能否用变形、构造公式等方法进行简便计算。 三、分式的加减运算法则 遇到分式相加减，首先观察比较，辨别是同分母分式相加减，还是异分母分式相加减；若是同分母分式相加减，分母不变，只把分子相加减，即若是异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减，即运算的结果，能约分的一定要约分，将结果化为最简形式。 四、分式的乘方 分式的乘方表示几个相同分式的积。如；分式的乘方运算就是把分式内的分子、分母各自乘方，但要注意这里的分子、分母各自乘方，一定要是分子、分母的整体，而不是部分。如，这个公式反过来也成立。 注意：在一个算式中，如果既有乘方，又有乘除，要先算乘方，再算乘除；乘除混合时，按从左到右的顺序算；分式运算的结果一定要约分成最简形式。 五、分式乘除法则 分式的乘法：分式乘以分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。即一般地，为了计算简便，在具体的计算过程中，采取先约分，再相乘的办法，约分应在相乘分式、分子与分母间进行。如计算：；约分后，再将剩余部分相乘。 分式的除法：分式的除法通常转化为分式的乘法来计算，分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘，可简单理解为：除以一个数等于乘以这个数的倒数。即。 六、分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。 最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤： 取各分母系数的最小公倍数； 单独出现的字母的幂的因式连同它的指数作为一个因式； 相同字母的幂的因式取指数最大的。 保证凡出现的字母为底的幂的因式都要取。 注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。 七、分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 注意： 分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 八、分式方程意义与解法 分式方程的意义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 分式方程的解法 去分母方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程；若遇到互为相反数时。不要忘了改变符号； 按解整式方程的步骤求出未知数的值； 验根。 一般地验根，只需把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根，否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。如果分式本身约分了，也要代进去检验。 九、分式的基本性质 分式的分子和分母同乘一个不等于0 的整式，分式的值不变。 字母表示：，其中，A、B、C是整式，C0。 拓展： 分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何一个，分式的值不变，即注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。 十、列分式方程基本步骤 审仔细审题，找出等量关系。 设合理设未知数。 列根据等量关系列出方程。 解解出方程，注意检验。 答答题。 十一、解分式方程的步骤 去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。 解整式方程，得到整式方程的解。 检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中： 如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。 产生增根的条件是：是得到的整式方程的解；代入最简公分母后值为0。 十二、与分式有关的条件 分式有意义：分母不为0 分式无意义：分母为0 分式的值为0：分子为0且分母不为0 分式的值为正或大于0：分子分母同号 分式的值为负或小于0：分子分母异号 分式的值为1：分子分母值相等 分式的值为-1：分子分母值互为相反数分式的乘除法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为：分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。 注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。 加减后得出的结果一定要化成最简分式。 第十二章 实数和二次根式 一、概述 实数定义：有理数与无理数统称为实数。 实数的分类 无理数：无限不循环小数叫无理数。 有理数：整数和分数统称有理数。 实数的大小比较： 用数轴表示数，右边的数总比左边的数大：正数0负数 差值比较法： 0，=0，0 商值比较法： 若为两正数，则； 绝对值比较法： 若为两负数，则 两数平方法：如实数与数轴上的点一一对应。平面直角坐标系中的点与有序实数对之间一一对应。 数a的相反数是a 一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. 在实数运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用。 规律：正数的平方根中被开方数大的较大。正数的立方根中被开方数大的较大。 被开方数相同时，开方的次数越大结果越小。 二、非负数 非负数：正实数与与零的统称。 常见的非负数有： 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负单数均为0. 三、绝对值的定义与符号 定义： 代数定义： 几何定义：数a的绝对值的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 a0，符号“”是“非负数”的标志； 数a的绝对值只有一个； 处理任何类型的题目，只要其中有“”出现，其关键一步是去掉“”符号。 四、实数的分类 五、实数运算顺序： 高级运算到低级运算； 同级运算从“左”到“右”；有括号时由“小”到“中”到“大”。 六、运算定律 五个加法乘法交换律、结合律；乘法对加法的分配律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 其中a、b、c表示任意实数运用运算律有时可使运算简便。 七、实数的运算法则 实数的运算贯穿于初中数学的始终，是学好初中代数的基础。熟练掌握实数的运算法则、运算律以及运算顺序并能正确、灵活地运用它们解决计算问题是学好数学的关键。 1、加法法则：互为相反数的两个数相加，和为0；同号相加，取相同的符号，然后把它们的绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的符号，然后用较大的绝对值减去较小的绝对值；任何数与0相加，和仍然是该数。 2、减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。 3、乘法法则：同号相乘得正，异号相乘得负；任何数与0相乘，积为0. 4、除法法则：除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。 5、混合运算：先算幂，再乘除，后加减；如果有括号，要先算括号里面的。混合运算遵循交换律、结合律。 八、 科学记数法和近似数 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。 2、科学记数法 把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。 九、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|0.零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a0；若|a|=-a，则a0.正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1.零没有倒数。 十、实数大小比较的几种常用方法： 数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 求差比较：设a、b是实数， 求商比较法：设a、b是两正实数，平方法：设a、b是两负实数，则。 十一、二次根式的概念 1、定义：如的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而等都不是二次根式。 即a必须为非负数。 2、积的算术平方根： 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积； 二次根式的乘法法则：。 二次根式比较大小的方法： 利用近似值比大小； 把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； 分别平方，然后比大小。 3、商的算术平方根：=绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。 0，b>0）， 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 4、最简二次根式： 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开的尽的因数或因式； 最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2， 且不含分母； 化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式； 二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式。 5、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 性质：一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式。 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断。 6、二次根式的混合运算： 二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用； 二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等。 十二、二次根式取值范围与性质 1、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a0时，没有意义。 3、二次根式的性质 十三、二次根式的异同 十四、二次根式的运算 1.积的算术平方根的性质：积的算术平方根等于每个因式的算术平方根的积。 2.乘法法则： 二次根式的乘法运算法则：两个二次根式相乘，等于把被开方数相乘，根指数不变。 3、商的算数平方根的性质= 4、除法法则 二次根式的除法运算法则：两个二次根式相除，等于把被开方数相除，根指数不变。 5、有理化因式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式。 6、同类二次根式： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 7、合并同类二次根式：把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 8、合并同类二次根式方法：二次根式的系数相加减，二次根式的被开放数及指数不变。 9、二次根式加减方法：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。 定义：化成最简二次根式后，被开方数相同。这样的二次根式叫做同类二次根式。 性质：一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式。 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断。 十五、二次根式的化简与计算 知识点： 二次根式的化简，实际上就是把二次根式化成最简二次根式，然后通过合并同类二次根式的方法进行二次根式的加减运算。 知识特点： 第十三章 三角形 一、三角形的相关概念 三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形。 三角形的特征：不在同一直线上；三条线段；首尾顺次相接；三角形具有稳定性。 三角形中的三条重要线段：角平分线、中线、高 角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 说明： 三角形的角平分线、中线、高都是线段； 三角形的角平分线、中线都在三角形内部且都交于一点；三角形的高可能在三角形的内部、外部，也可能在边上，它们相交于一点。 二、三角形的边和角 三角形知识点： 三角形三边的关系：三角形中任意两边之和大于第三边。 由三边关系可以推出：三角形任意两边之差小于第三边。 三、相似三角形的性质 相似三角形对应角相等、对应边成比例。 相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比。 相似三角形对应面积的比等于相似比的平方。 四、三角形的分类 把三角形可按边角分为两大类。 一、按边分类： 1、等边三角形， 2、等腰三角形 3、不等边三角形 二、按角分类 1、斜角三角形：锐角三角形，钝角三角形 2、直角三角形 五、三角形边与角的关系 三角形是最基本的图形之一，是研究其他复杂图形的基础，三角形的三边相互制约，三个内角之和为定值，边与角之间有密切的联系，反映三角形的边与角关联的基本知识有：三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段。 1、三边关系： 三角形中任意两边之和大于第三边。 由三边关系可以推出：三角形任意两边之差小于第三边。 2、三角形内、外角的关系： 三角形的内角和等于180°。 直角三角形的两个锐角互余。 三角形的一外角等于和它不相邻的两个内角之和，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 三角形的外角和为360°。 六、相似三角形定理 1.相似三角形定义 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法：用符号“”表示，读作“相似于”。 3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截成的三角形与原三角形相似。 5.相似三角形的判定性质 三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下： 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。 6.直角三角形相似： 直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 7.相似三角形的性质定理： 相似三角形的对应角相等。 相似三角形的对应边成比例。 相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 相似三角形的周长比等于相似比。 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8.相似三角形的传递性 如果ABCA1B1C1，A1B1C1A2B2C2，那么ABCA2B2C2 七、证明三角形对称的性质 根据等腰三角形的对称性还应有如下重要的性质，虽在证明中不能直接引用，但对于填空、选择则可直接运用，并且这些性质对今后的推理证明都有非常重要的作用。 等腰三角形两腰上的中线相等 已知：在ABC中，ABAC，若BD，CE分别是AC，AB边上的中线，则有BDCE. 证明：BD，CE是AB，AC边上的中线 ADAC，AEAB ABAC ADAE 在ABD和ACE中， ABDACE BDCE。 等腰三角形两腰上的高相等 已知：在ABC中，ABAC，如果BD，CE分别是AC，AB边上的高，那么BDCE. 同学可以试着证明一下，还用全等三角形去证。 等腰三角形两底角的平分线相等 已知：在ABC中，ABAC，如果BD，CE分别是ABC和ACB的平分线，那么BDCE. 同学可利用全等三角形法证明。 八、等腰三角形的性质 等腰三角形是一种特殊三角形，它除具有一般三角形所有的性质外，还有许多特殊性，正是由于它的这些特殊性，使得它比一般三角形的应用更广泛。因此，我们有必要把这部分内容学得更扎实些。 等腰三角形的重要性质： 等腰三角形的两底角相等。这一性质是今后论证两角相等的常用依据之一。 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。这一性质是今后论证两条线段相等，两角相等及两直线垂直的重要依据。 九、三角形面积公式与性质 1、一般计算公式： 2、性质：等底等高的三角形面积相等。 十、平行线 1、平行线的性质 2、两直线平行的判定方法