动能和势能物理力学答案.docx

动能和势能物理力学答案第四章动能和势能 思考题 4.1起重机起升重物。问在加速上升，匀速上升，减速上升，以及加速下降，匀速下降，减速下降六种情况下合力之功的正负。 又：在加速上升和匀速上升了距离h这两种情况中，起重机吊钩对重物的拉力所作的功是否一样多？ 答：1）加速上升：合力做正功，合力与速度方向相同； 2）匀速上升：合力为零，做功也为零； 3）减速上升：合力做负功，合力与速度方向相反； 4）加速下降：合力做正功，合力与速度方向相同； 5）匀速下降：合力为零，做功也为零； 6）减速下降：合力做负功，合力与速度方向相反； 又：不一样多，因为两种情况的拉力不一样。 4.2弹簧A和B，劲度系数kA>kB ，将弹簧拉长同样的距离;(2)拉长两个弹簧到某个长度时，所用的力相同。在这两种情况下拉伸弹簧的过程中，对那个弹簧作的功更多？ 答：1）对弹簧A做功更多。由于位移相同, kA大,则用力大; 2）力相同，劲度系数越大，位移越小，对弹簧B做功更多。 4.3 “弹簧拉伸或压缩时，弹性势能总是正的。”这一论断是否正确？如果不正确，在什么情况下，弹性势能会是负的。 答：不正确。如果选弹簧伸长量或压缩量最大时弹性势能为0，则会使弹性势能为负。 4.4一同学问：“二质点相距很远，引力很小，但引力势能大；反之，相距很近，引力势能反而小。想不通”。你能否给他解决这个疑难？ 答：两质点由相距很远到相距很近,引力作正功,引力势能减少。 4.5人从静止开始步行，如鞋底不再地面上打滑，作用于鞋底的摩擦力是否作了功？人体的动能是从哪里来的？分析这个问题用质点系动能定理还是用能量守恒定律分析较为方便？ 答：做功。摩擦力做功等于动能的增量。能量守恒定律。 4.6一对静摩擦力所做功的代数和是否总是负的？正的？为零？ 答：不是。 4.7力的功是否与参考系有关？一对作用力和反作用力所做功的代数和是否和参考系有关？答：力的功与参考系有关，一对作用力和反作用力所做功的代数和参考系无关。 4.8取弹簧自由伸展时为弹性势能零点，画出势能曲线。再以弹簧拉伸到某一程度时为势能零点，画出势能曲线。根据不同势能零点可画出若干条势能曲线。对重力势能和万有引力势能也可如此作。研究一下. 习题 4.2.2本题图表示测定运动体能的装置,绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮,下悬重物50kg,人用力向后蹬传送带而人的质心相对于地面不动,设传送带上侧以2m/s的速率向后运动,问运动员对传送带做功否?功率如何? 解：运动员对传送带做功：P = FV=50×10×2 W=1000W 4.2.3一非线性拉伸弹簧的弹力的大小为f=k1l+k2l.l表示弹簧的伸长量,k1为正.(1)研究当k20, k20和k2=0时弹簧的劲度有何不同;(2)求出弹簧由l1拉长至l2时弹簧对外界所作的功. 解：f=k1l+k2l 33dfdl=k1+3k2l， k1>0 2f=k1+3k2l,k2>0,dfdldfdldfdl2=6k2l>0,k随l的增大而增大=6k2l<0,k随l的增大而增大=k1 k与l无关 3, k2<0,k2=0,A=òl2l1(k1l+k2l)dl=12k1(l2-l1)+2214k2(l2-l1) 444.2.4一轻细线系一小球,小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动,绳穿过桌中心光滑圆孔,用力向下拉绳.证明力对线做的功等线作用于小球的拉所做的功.线不可伸长. 证明：设绳作用于小球的拉力为T，用dr表示小球的元位移，则线绳作用于小球的拉力对小球作的元功为： vvvdA=T×dr dr vvvvvvdr=d1r+d2r T d1r r vvvvvvdA=T×d1r+T×d2r=T×d1r vvvvA=òT×dr=òT×d1r=òTdr sssF = T vvvvdA=F×dl=Fdl=T×dr 4.2.5一辆卡车能够沿着斜坡以15kg/h的速率向上行驶,斜坡与水平面夹角的正切tg=0.02,所受阻力等于卡车重量的0.04,如果卡车以同样的功率匀速下坡,卡车的速率是多少? 解：以卡车为研究对象。建立OX坐标轴，平行于斜面，方向沿斜面向上。 上坡时 F-f-mgsina=0 F=f+mgsina=0.04+mgsina sina=tga=0.02 上坡的功率：p=F×v=(0.04mg+mgsina)×v=0.06mgv 下坡时，-F+f-mgsina=0， F=f-mgsina=0.04mg-0.02mg=0.02mg p=Fv¢， v¢=''vv'0.06mg´150.02mg=12.5m/s 4.3.1 质量为m=0.5kg的木块可在水平光滑直杆上滑动。木块与以不可伸长的轻绳相连绳跨过一固定的光滑小环绳端作用着大小不边的力T=50N.木块在点A时具有向右的速率v0=6m/s.求力T将木块自A点拉至B时的速度 解：研究对象木块 vvvv 受力分析：W,N,T¢, 只有T¢做功 vv dA=T¢×dr Bv4vA=òT¢×dr=òT¢cosadx A0o x =ò4050´4-x(4-x)+31212222dx=100J由动能定理：vB=v0+2mv2B-mv02=A 2mA=6+2*1000.5=20.9m/s 4.3.2质量为1.2kg的木块套在光滑铅直杆上不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离绳端作用于恒力F，F=60N.木块在A处有向上的速度v0=2m/s，求木块被拉至B时的速度 解：以A为原点建O-y坐标系 y vBv0.5vA=ò(T+W)×dr=ò(Tcosq-mg)dy A0cosq=0.5-y(0.5-y)+0.522,T=60N,m=1.2kg vA=2m/s O 12mv2B-12mv2A=AÞvB=3.86m/s 4.3.3质量为m的物体与轻弹簧相连，最初，m处于使弹簧既未压缩也为伸长的位置，并以速度v0向右运动弹簧的劲度系数为k，物体与支承面之间的滑动摩擦系数为求证物体能达到的最远距离l为 mmgæçkçèkv0222l=1+ 证明：由动能定理 A1+A2=DEk=0-mmgö-1÷÷øc 12mv0 12kl 22弹性力做功：A1=阻力做功：A2=-12kl2òll0(-kx)dx=-ò0(-mmg)dx=-mmgl 1222-mmgl=-mv0 2l=mmgk(1+kv02mmg-1) 4.3.4圆柱形容器内装有气体容器内壁光滑。质量为m的活塞将气体密封。气体膨胀前后的体积各为v1和v2,膨胀前的压强为p1.活塞初速度为v0.(1)求气体膨胀后活塞的末速率，已知气体膨胀是气体的体积和压强满足pv=恒量。 g解：1)气体膨胀后对外做功：A=òv2v1pdv=DEk=12mv2-12mv0 2 pv=c(常数),则p= 即 p1V1ln 则，v=V2V1=12mv2p1V1V12代入上式， 2-2mv0 2p1V1mlngV2V1V2V12+12v0 2）若气体的体积和压强满足PV=恒量 即 A=òv2v1pdv=p1V1glngg=12mv2-12mv0 2 v=2p1V1mglnV2V112+12v0 4.3.5 O坐标系与O坐标系各对应轴平行，O相对于O沿x轴以v0作匀速直线运动，对于O系,质点动能定理为FDx=mv22-12mv1. v1和v2沿x轴,根据伽利略变换证明:相2对于O系动能定理也取这种形式. 证明：两个惯性系：o-xyz, o-xyz 伽利略变换：由o系到o系的变换： ìx¢=x-utï¢ïy=y í¢=zzïït¢=tîDx=x(t2)-x(t1) =x¢(t2)+ut2-x¢(t1)+ut1=x¢(t2)-x¢(t1)+u(t2-t1)=Dx¢+uDt¢速度变换：vx=vx-u =ax 加速度变换：a¢x作用力不因参考系而改变：F¢=F F¢Dx¢=F(Dx-uDt)=FDx-FuDt =12x12mv2-21212mv1-FuDt ¢-mv222¢+u)-m(v2212¢+u)-FuDt=m(v1212¢+mu(v2¢-v1¢)-FuDtmv12 由 F=ma¢-v1¢=a¢v2Dtx12¢-mv22 则：F¢Dx¢=12¢ 具有形式不变性。 mv124.3.6带电量为e的粒子在均匀磁场中的偏转A表示发射带电粒子的离子源,发射出的粒子在加速管道B中加速,得到一定速率后于C处在磁场洛伦兹力作用下偏转,然后进入漂移管道D,若离子质量不同或电量不同或速率不同,在一定磁场中偏转的程度也不同,在本题装置中,管道C中心轴线偏转的半径只有一定质量的离子能自漂移管道D中引出,这种装置能将特定的粒子引出,称为 “质量分析器”,各种正离子自离子源A引出后,在加速管中受到电压为U的电场加速,设偏转磁感应强度为B,偏转半径为R,求证在D管中得到的离子的质量为m=BqR2UqU=2212mv22解：由Bqv=mvR 2U4.3.7轻且不可伸长的线悬挂质量为500g的圆柱体,圆柱体又套在可沿水平方向移动的框架内,框架槽沿铅直方向,框架质量为200g,自悬线静止于铅直位置开始,框架在水平力F=20.0N作用下移至图中位置,求圆柱体的速度,线长20cm ,不计摩擦. 解： 利用质点系动能定理 研究对象圆柱体和框架 vvv 受力分析：W,F,T 坐标系：o-x 设圆柱体速度为v1,框架速度为v2 vvv则：v1=v12+v2 在x轴上投影：v1x=0+v2x 即 v1cos30o=v2 动能增量：DEk=(m1v1+212则： m=BqR2212m2v2)-0 2合外力的功：A=Flsin30o-mgl(1-cos30o) 则 A=DEk , v1 = 2.4 m/s 4.4.1二仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组,弹簧1和2的劲度系数各为k1和k2.它们自由伸展的长度相差l坐标原点置于弹簧2自由伸展处,求弹簧组在0xl 和x<0时弹性势能的表示式 解：坐标原点置于弹簧2自由伸长处， 弹簧组的势能为两个弹簧的势能和 1）0£x£l时弹簧2不可伸长，故Ep2=0 只有弹簧1起作用：Fx=-k1(x-l) Ep=Ep1=-ò-k1(x-l)dx 0x =12k1x-k1lx 22）x<0时 Fx=F1x+F2x=-k1(x-l)-k2x Ep=-ò-k1(x-l)dx-0xòx0-k2xdx =12(k1+k2)x-k1lx 24.5.1滑雪运动下，经B越过宽为d台C时,其速度vc刚员自A自由滑的横沟到达平好在水平方向，已知A,B两点的垂直高度为25m.坡道在点B的切线方向与水平面成30°角，不计摩擦.求(1)运动员离开B处的速率vB，(2)B,C的垂直高度差h及沟宽d,(3)运动员到达平台时的速率vc. 解：仅内保守力做功，机械能守恒 EA = EB = EC mghAB=12mv2BÞvB=2ghAB=22.4m/s o vc=vBcos30,gt=vBsin30 t=h=12vBsin30t=6.28m 0oovBsin30g01.12s d=vBCOS30´1.12=22.4´32´1.12=21.75m vc=vB0cos300=19.2m/s 4.5.2装置如图所示.球的质量为5kg,杆AB长1m,AC长0.1m,A点距O点0.5m,弹簧的劲度系数为800N/m,杆在水平位置时恰为弹簧自由状态,此时释放小球,小球由静止开始运动.求小球到铅直位置时的速度.不计弹簧质量及杆的质量,不计摩擦. 解：把球、杆、弹簧、地球看成一个系统 整个过程中系统只有内保守力做功，系统机械能守恒 mgAB=12mv2+12kDx 2x=0.1m,AB=1m,m=5kg,k=800N/m 得 v=4.28m/s 4.5.3物体Q与一劲度系数为24N/m 的橡皮筋连结,并在一水平圆环轨道上运动,物体Q在A处的速度为1.0m/s。已知圆环的半径为0.24m，物体Q的质量为5k。由橡皮筋固定端至B为0.16m,恰等于橡皮筋的自由长度求(1)物体Q的最大速度;(2) 物体Q能否达到D点,并求出在此点的速度. 解：研究对象质点与橡皮筋。支持力过圆心O不作功，在水平面运动，重力不作功 仅内保守力弹力做功，机械能守恒。B点为弹力势能的零点 122mm 当Dl=0时，既B点，物体的速度最大 mv2+1k(Dl)2=E， v2=2E-k(Dl) 2EPA+EKA=12mv122max2EPA+EKA=k(OA-OB)+212mv2A2=12*24*(0.46-0.16)+12*5*1.0=3.58J5假设Q能到D点，则 EPA+EKA=EPD+EKD EPA+EKA=12vmax=2´3.58m/s=1.2m/s k(OD-OB)+212mv22D12*5*vD2=12*24*(0.64-0.16)+=3.58JVD = 0.58 m/s，所以可以到达D点。 4.6.1卢瑟夫在一篇文章中写道:可以预言,当粒子和氢原子相碰时,可使之迅速运动起来.按正碰撞考虑很容易证明.氢原子速度可达粒子碰撞前速度的1.6倍,即占入射粒子能量的64%,试证明此结论(碰撞是完全弹性的,且粒子质量接近氢原子质量的四倍) .证明：Ek=12´14m1(1.6v10)2=12m1v10(214´1.6)=64%Ek0 24.6.2 m为静止车厢的质量,质量为M的机车在水平轨道上自右方以速率V滑行并与碰撞挂钩.挂钩后前进距离s然后静止.求轨道作用于车的阻力. 解：以两个车厢的系统为研究对象，挂钩时系统满足动量守恒 Mv=(M+m)v1-fs=0-122(M+m)v122 则 f=Mv2s(M+m)4.6.3两球具有相同的质量和半径,悬挂于同一高度.静止时,两球恰好能接触且悬线平行,碰撞的恢复系数为 e,若球A自高度h1释放,求该球弹回后能达到的高度.又问若二球发生完全弹性碰撞,会发生什么现象,试描述之. 解：恢复系数：e=v2-v1v10-v20，v20=0 1） 由动量守恒m1v10=m1v1+m2v2 由机械能守恒联立得 v1=所以 h=v112212m1v102=m1gh1 (1-e)v10 2g=h114(1-e) 22） 在完全弹性碰撞中，两球交换速度，则摆的高度相同。 4.6.4质量为2g的子弹以500m/s的速度射向质量为1kg用1m长的绳子悬挂着的摆.子弹穿过摆后仍有100m/s的速度.问摆沿铅直方向升起若干. 解：分两个阶段考虑 1） 子弹射入摆并穿过，水平方向动量近似守恒： m1v10=m1v1+m2v2 可得 v2=m1(v10-v1)m2=2´10-3(500-100)1m/s=0.8m/s 2） 摆的上升：由机械能守恒v2212m2v22=m2gh 可得h=2g=0.822´10m=0.032m 4.6.5一质量为200g的框架,用一弹簧悬挂起来,使弹簧伸长10cm.今有一质量为200g的铅块在高30cm处从静止开始落进框架.求此框架向下移动的最大距离.弹簧质量不计. 解：参考系地面 坐标系：以框架平衡位置为原点建O-X 1） m1自由下落阶段 研究对象m1与地球 仅内保守力做功，机械能守恒 m1gh=12m1v0Þv0=22gh 2）研究对象m1与m2 碰撞过程无限短，内力外力 而m1=m2,m1v0=(m1+m2)v v=12v0=122gh 3) 碰后铅快与框架一起下落过程 研究对象m1+m2,地球，弹簧 仅内保守力做功，机械能守恒 以o点为重力势能零点，弹簧自由伸展状态为弹性势能零点， E0=12(m1+m2)v+21212k(Dl0) k(Dl0+xm) 22 E=-(m1+m2)gxm+k=m1gDl0,E=E0xm=0.3m4.6.6质量为m1=0.790kg和m2=0.800kg的物体以劲度系数为10N/m的轻弹簧相连,置于光滑水平桌面上.最初弹簧自由伸张.质量为0.01kg的子弹以速率v=100m/s沿水平方向射于m1内,问弹簧最多压缩了多少? 解：第一阶段：子弹射入m1 研究对象m1，m 碰撞时间无限短，此时弹簧压缩很小，可忽略，系统动量守恒： mv0=(m+m1)v1 第二阶段：一起运动 研究对象m1+m, m2，弹簧 仅内保守力做功，系统机械能守恒 12(m1+m)v1=212k(Dx)+212(m1+m+m2)v2 2动量守恒：(m+m1)v1=(m+m1+m2)v2 解得 x = 0.25 m 4.6.7一10g的子弹沿水平方向以速率110m/s击中并嵌入质量为100g小鸟体内，小鸟原来站在离地面4.9m高的树枝上，求小鸟落地处与树枝的水平距离。 解：由动量守恒 mv10=(m1+m2)v1 v1=m1v10(m1+m2)=0.01´1100.11m/s=10m/s 落地所需时间：t=2hg=2´4910=0.72s 水平距离 l=v1t=10´0.72m=12.11m 4.6.8在一铅直平面内有一光滑的轨道,左边是一个上升的曲线,右边是足够长的水平直线,二者平滑连接,现有A,B两个质点,B在水平轨道上静止,A在曲线部分高h处静止滑下,与B发生完全弹性碰撞.碰后A仍可返回上升到曲线轨道某处,并再度滑下,已知A,B二质点的质量分别为m1和m2.求A,B至少发生两次碰撞的条件. 解：第一阶段：A下滑， 研究对象A，地球 仅内保守力做功，系统机械能守恒 m1gh=12m1v0Þv0=22gh 第二阶段：A与B发生完全弹性碰撞， 研究对象A，B 动量守恒：m1v10=m1v1x+m2v2x 动能守恒：12m1v102=12m1v1x+212m2v2x 2v1x=-v1,v2x=v2 解得：v1= v2=m2-m1m2+m12m1m2+m12gh 2gh 第三阶段：A返回某高度又滑下，仍满足机械能守恒，返回后的速度仍为v1，只要v1>v2就能再碰。 m2-m12m12gh>2gh m2+m1m2+m1m2>3m1 4.6.9一刚球静止的方在铁箱的光滑底面上,如图示.CD长L铁箱与地面间无摩擦.铁箱被加速至v0时开始做匀速直线运动.后来刚球与箱壁发生完全弹性碰撞.问碰后再经过多长时间刚球与BD壁相碰 解：研究对象<M,m> Mv0=Mv1x+mv2x1动量守恒,动能守恒 12v1x=v2x=M-mM+m2MM+mv0 v0 Mv0=212Mv1x+212mv2x2车与箱的相对速度：v12=|v1x-v2x|=|-M+mM+mv0|=v0 所以，再次相碰：t = L/v0 4.6.10二车厢质量均为M.左边车厢与其地板上质量为M的货箱共同向右以v0运动.另一车厢以2v0从相反方向向左运动并与左车厢碰撞挂钩,货箱在地板上滑行的最大距离为L. 求: (1)货箱与车厢地板间的摩擦系数; (2)车厢地间摩擦. 在挂钩后走过的距离,不计车解：研究对象<M,M> 碰撞时间很短，只考虑车厢间的碰撞，货物的速度还没有来得及变化， 动量守恒 Mv0-M2v0=-2Mv2 则 v2=v02碰后系统的动能全部用来克服摩擦力作功， 1122由动能定理：mMgl=2Mv2+Mv0 221112 mMgl=2M(v0)2+Mv0 222m=3v024gl122M(12v0) 2 对两车厢运动的动能定理： mMgd=则： d=l34.7.1质量为M的氘核的速率u与静止的质量为2M的粒子发生完全弹性碰撞,氘核以与原方向成90度角散射,(1).求粒子的运动方向,(2).用u表示粒子的末速度,(3)百分之几的能量上氘核传给粒子? 解：以氘核和粒子为研究对象，设碰后粒子与水平方向夹角为， 由动量守恒m1v10=m2v2cosq0=m1v1-m2v2sinq12m1v102 其中m1=M,m2=2M,v10=u 122由机械能守恒=12m1v1+2m2v2 解此方程组可得：=30 v2=氘核初始能量为Ek=1233u 2Mu，传给粒子的能量为 1321¢2Ek=2M(u)=Mu23322=23Ek 4.7.2参考3.8.7图,桑塔纳空车质量为m1=106*10kg,载质量为70kg一人,身北行驶,另一总质量为m2=152*10kg的切诺基汽车向东行驶,二车相撞后连成一体,沿东北偏北=30度滑出d=16m而停止.路面摩擦系数为=0.8 ,该坡段规定车速不得超过80km/h,问哪辆车违北交通规则?又问因相撞损失多少动能? 解：建o-xy 坐标系 由动量守恒： x方向：m2v20=(m1+m2)vcosqy方向：m1v10=(m1+m2)vsinq由动能定理：m(m1+m2)gd=v=2mgd=12(m1+m2)v可得 22´0.8´10´16m/s=16m/s =(1130+1520)´16´sin301130(1130+1520)´16´cos301520oo则：v10=(m1+m2)vsinqm1(m1+m2)cosqm1m/s=18.76m/s v10=m/s=24.16m/s 限速22.22m/s,显然是切诺基汽车超速。 4.7.3球与台阶相撞的恢复系数e,每级台阶的宽度和高度相同,均等于l,该球在台阶上弹跳,每次弹起同样高度且在水平部分的同一位置.即AB=CD,求球的水平速度和每次弹起的高度,球与台阶问无摩擦. 解：恢复系数：e=v2-v1v10-v20， 由于 v20=0，v2=0，分别为竖直方向的速度，所以 e=v1v10。 设球的水平速度为v平，弹起的高度为h, 碰撞时的竖直速度为v10 h+l=v10=12gt22(h+l)g12mv1=2由动能定理：mgh=12m(ev10)2=12me2(h+l)g 2则 h=e(h+l)Þh=2el1-e222(h+l)gev10g由最高点落到某级台阶所需时间：t1=从某级台阶弹起到最高点所需时间：t2=则相邻两次落点间水平距离应为：l=v平t1+v平t2 可得：v平=le+1g2(h+l)=l1+eg(1-e)2l2