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利用放缩法证明数列型不等式压轴题 利用放缩法证明数列型不等式压轴题 摘要：纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。 关键词：放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题 主体： 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。裂项放缩法主要有两种类型： 先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。 2n41n+12例1设数列an的前n项的和Sn=an-´2+，n=1,2,3,L。设Tn=，Sn333n=1,2,3,L，证明：åTi<i=1n3。 232n3112n+1n=(-)， 证明：易得Sn=(2-1)(2-1),Tn=n+1nnn+12(2-1)(2-1)22-12-133n113111111T=(-)=(-+-+L+-)ååiii+11223nn+12i=12-12-122-12-12-12-12-12-1i=1 =n3113(1-n+1)< 22-12-122n11点评： 此题的关键是将n+1裂项成，然后再求和，即可-(2-1)(2n-1)2n-12n+1-1达到目标。 先放缩通项，然后将其裂成n(n³3)项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列an和bn满足a1=2,an-1=an(an+1-1)，bn=an-1，数列bn的前n和为Sn，Tn=S2n-Sn； 1 求证：Tn+1>Tn； 求证：当n³2时，S2n³7n+11。 12111111证明：Tn+1-Tn=+L+-(+L+) n+2n+32n+2n+1n+22n=1111=>0 +-2n+12n+2n+1(2n+1)(2n+2)Tn+1>Tn Qn³2,S2n=S2n-S2n-1+S2n-1-S2n-2+L+S2-S1+S1 =T2n-1+T2n-2+L+T2+T1+S1 17,S1=1,T2=， 212717n+11S2n=T2n-1+T2n-2+L+T2+T1+S1³(n-1)T2+T1+S1=(n-1)+1= 122127n+11即当n³2时，S2n³。 12由可知Tn递增，从而T2n-1³T2n-2³L³T2，又T1=点评：此题充分利用的结论，Tn递增，将S2n裂成S2n-S2-n1+S2-n1-S2-n2L+项。用于解决积式问题。 2+S1-S的和，从而找到了解题的突破口。+S 12、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间例3 已知数列an的首项为a1=3,点(an,an+1)在直线3x-y=0(nÎN)上。 * 若cn=log3an-2(nÎN),证明对任意的nÎN ，不等式 3*(1+111)(1+)×L×(1+)>33n+1恒成立 c1c2cn133n-133n-13n3n+13n+1)=>××= cn3n-23n-23n-13n3n-2证明： cn=3n-2，(1+所以(1+111473n+1)(1+)×L×(1+)3>××L×=3n+1 c1c2cn143n-2(1+111)(1+)×L×(1+)>33n+1。 c1c2cn点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更 2 容易处理。(1+133n-13)=可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两cn3n-2项假分数分子分母同时加1，加2，则积变小，(而通项式为3n-133n-13n3n+13n+1 )>××=3n-23n-23n-13n3n-23n+1的数列在迭乘时刚好相消，从而达到目标。 3n-23、迭代放缩法：通过放缩法构造递推不等关系，进行迭代，从而求解。 例4 已知数列xn满足，x1=1112证明：|xn+1-xn|£×n-1。 ,xn+1=,nÎN*，21+xn65证明：当n=1时，|xn+1-xn|=|x2-x1|=当n³2时，易知0<xn-1<1,1+xn-1<2,xn=1，结论成立。 611> 1+xn-12(1+xn)(1+xn-1)=(1+15)(1+xn-1)=2+xn-1³1+xn-12 |xn+1-xn|=|xn-xn-1|11-|=1+xn1+xn-1(1+xn)(1+xn-1) £22212|xn-xn-1|£2|xn-xn-1|£L£n-1|x2-x1|=n-1 55565点评：此题将目标式进行放缩得到递推不等关系，进行迭代，找到解题途径。 4、等比公式放缩法：先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标转化。 例5已知数列an的各项均为正数，且满足a1=2,an+1-12an=(nÎN*),记an-1an+1bn=an2-an，数列bn的前n项和为xn，且f(xn)=数列bn和an的通项公式； 求证： 1xn 2f(xn)n-1f(x1)f(x2)n<+L+<(nÎN*) 2f(x2)f(x3)f(xn+1)2n1+1+2n+2n略解： bn=2，an=，f(xn)=2-1。 2f(xn)2n-12n-11=n+1=<, 证明：f(xn+1)2-12(2n-1)223 f(xn)f(x1)f(x2)n+L+< f(x2)f(x3)f(xn+1)2f(xn)2n-1111111=n+1=-=->-, f(xn+1)2-122(2n+1-1)22n+1+(2n+1-2)22n+1f(xn)nf(x1)f(x2)111n11n-1 +L+>-(2+3+L+n+1)=-(1-n)>f(x2)f(x3)f(xn+1)22222222f(xn)n-1f(x1)f(x2)n<+L+< 2f(x2)f(x3)f(xn+1)22n-11n1反思：右边是，感觉是n个的和，而中间刚好是n项，所以利用n+1<；左2-1222边是n-1n-1n1不能用同样的方式来实现，想到=-(+f(n)(f(n)>0)，试着考虑将22222n-11缩小成，从而找到了此题的突破口。 -cn(cn是等比数列）n+12-125、二项式定理放缩法：在证明与指数有关的数列型不等式时，用二项式定理放缩特别有效。二项式定理放缩法有两种常见类型： 部分二项式定理放缩法：即只在式子的某一部分用二项式定理放缩。 例6已知数列an满足a1=a(a¹-2)，an+1=(4n+6)an+4n+10 2n+1ìa+2ü证明数列íný是等比数列，并求出通项an； 2n+1îþ如果a=1时，设数列an的前n项和为Sn，试求出Sn，并证明当n³3时，有 1111+L+<21世纪教育网 S3S4Sn10略解： an=(a+2)(2n+1)n-1n， 则Sn=(2n-1)(2-1) ×2-2301n-1nQ2n=Cn+Cn+L+Cn+Cn， 01n-1n+Cn+Cn+Cn³2(n+1)，则2n-1³2n+1 当n³3时，2n=Cn Sn³(2n-1)(2n+1)，则11111£=(-) Sn(2n-1)(2n+1)22n-12n+1 4 因此，1111111111+L+£(-)+(-)+L+(-) S3S4Sn257792n-12n+1 =1111(-)< 252n+110111放缩成=Sn(2n-1)(2n-1)(2n-1)(n2+反思：为什么会想到将1)？联想到11111111+L+是一个+L=1-<1，因为要证明<，而S3S4Sn1×22×3n×(n+1)n+110数列前n项的和，最后通过放缩很可能变成11-f(n)(f(n)>0)的形式，而应是由10101111111111=£放缩后裂项而成，< =(-)，nS33×7S33×5235Sn(2n-1)(2-1)(2n-1)(2n+1)1111111111+L+£(-)<此时刚好得到，接下来就要=(-)，S3S4Sn252n+11022n-12n+1处理2-1³2n+1，想到用二项式定理。 n完全二项式定理放缩法：整个式子的证明主要借助于二项式定理。 例7设数列an的前n项和为Sn，且对任意的nÎN*，都有33an>0,Sn=a13+a2+L+an. (I)求a1,a2的值；求数列an的通项公式an；证明：a2n+1³a2n+a2n-1。 略解：a1=1,a2=2，an=n； 证明(1+x)=Cn+Cnx+Cnx+Cnx+L, 012233(1-x)n=Cn-Cnx+Cnx-Cnx+L, 133551(1+x)n-(1-x)n=2Cnx+2Cnx+2CnxL³2Cnx=2nx，令x=n012233nnn1， 2n则有(1+1n1nnn)-(1-)n³1，从而(2n+1)n³(2n)n+(2n-1)n，即a2n+1³a2n+a2n-1。 2n2n点评：利用二项式定理结合放缩法证明不等式时，一定要紧密结合二项式展开式的特点，联系需证不等式的结构，通过化简、变形、换元等手段使问题得以解决。 6、比较放缩法：比较法与放缩法的结合，先进行比较，再进行放缩。 例8在单调递增数列an中，a1=1，a2=2，且a2n-1,a2n,a2n+1成等差数列，a2n,a2n+1,a2n+2成等比数列，n=1,2,3,L 5 分别计算a3，a5和a4，a6的值； 求数列an的通项公式； 设数列14n，nÎN* 的前n项和为Sn，证明：Sn<ann+2ì(n+1)(n+3),n为奇数ï9ï8略解：得a3=3，a4=，a5=6，a6=8an=í 22(n+2)ï,n为偶数ïî88ì,n为奇数ï1ï(n+1)(n+3)=í证明：由，得 anï8,n为偶数2ïî(n+2)144´1=1<=显然，S1=； a131+2当n为偶数时， é111111ù4n4n+2+2+L+- Sn-=8ê2ú2´444´66n´(n+2)(n+2)n+2n+2ëûéæ1æöù4n1öæ11ö11<8êç+L+ ç÷ú-÷ç÷2´42´44´64´6n´(n+2)n(n+2)n+2øèøèøûëèéæ11öæ11öæ11ö1öù4næ1=8êç-÷+ç-÷+ç-÷+L+ç- ÷ú-244668nn+2n+2øèøèøèøûëè1ö4næ1=8ç-=0； ÷-2n+2n+2èø4n14n4(n-1)84nSn-=Sn-1+-<+-当n为奇数时， n+2ann+2(n-1)+2(n+1)(n+3)n+2én-12nù8=4ê+-=-<0. ún+1(n+1)(n+3)n+2(n+1)(n+2)(n+3)ëû4n4n综上所述，Sn-，nÎN* <0，即Sn<n+2n+2点评： 此题在作差比较中实施裂项放缩，进而得到最后结果小于0，从而得证。 7、单调函数放缩法：根据题目特征，构造特殊的单调函数，再进行放缩求解。 例9设函数f(x)=x+bln(x+1)，其中b¹0证明对任意的正整数n，不等式2æ1ö11lnç+1÷>2-3都成立 ènønn分析：欲证上述结论，直接作差比较lnç11æ1ö+1÷-(2-3)，无从下手；接着想到令ènønn 6 11æ1ög(n)=lnç+1÷-(2-3)，判断函数g(n)(nÎN*)的单调性，由于定义域为正整数，ènønn不能用导数，只能计算g(n+1)-g(n)，其结果还是很难处理；联想到数列是一种特殊的函数，将命题加强，令1=xÎ(0，+¥)，判断函数h(x)=x3-x2-ln(x+1)(x>0)的单调n性，如果在(0,+¥)单调，则函数g(n)也单调。 解：令函数h(x)=x-x-ln(x+1)=x-x+ln(x+1)， 323213x3+(x-1)2则h¢(x)=3x-2x+ =x+1x+12+¥)时，h'(x)>0，所以函数h(x)在0，+¥)上单调递增， 当xÎ0，xÎ(0，+¥)时，恒有h(x)>h(0)=0，即x2>x3-ln(x+1)恒成立 故当xÎ(0，+¥)时，有ln(x+1)>x-x 对任意正整数n取x=231æ1ö11Î(0，+¥)，则有lnç+1÷>2-3 nènønn二、放缩法的注意问题以及解题策略 1、明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于某个项，则缩小。 2、放缩的项数：有时从第一项开始，有时从第三项，有时第三项，等等，即不一定是对全部项进行放缩。 3、放缩法的常见技巧及常见的放缩式： 根式的放缩：111； <<k+k+12kk+k-1在分式中放大或缩小分子或分母：111<2<(k³2)； k(k+1)kk(k-1)nn-1； <n+1n2n+12n假分数分子分母同时加上一个正数，则变小，如； >2n2n-1真分数分子分母同时加上一个正数，则变大；，应用基本不等式放缩：nnn+2nn+2+>2×=2； n+2nn+2n二项式定理放缩：如2-1³2n+1(n³3)； 舍掉一些项，如：|an-a1|£|a2-a1|+|a3-a2|+L+|an-an-1|(n³2)。 7 4、把握放缩的尺度：如何确定放缩的尺度，不能过当，是应用放缩法证明中最关键、最难把握的问题。这需要勤于观察和思考，抓住欲证命题的特点，只有这样，才能使问题迎刃而解。 n1117n+11+L+n-(nÎN*)， 2232121117n+181117n+11则f(n+1)-f(n)=(1+L+n+1-)-(1+L+n-) 2321223212111117171n=n+n+L+n->×2-=-=-<0 2+12+22+2n22n+2n1221212再看例2，若构造函数f(n)=S2n-(1+)=1+前后不等号不一致，不能确定f(n)的单调性，此时放缩过当，此题不适宜用单调函数放缩法。若要证明S2n³(1+)，则f(n+1)-f(n)=(1+n111n+3+L+n+1-) 22322111n+21111 -(1+L+n-)=n+n+L+n-23222+12+22+2n21111nÎN*递)增，>n×2-=-=0，所以f(n+1)>f(n)，从而f(n)(nn2+222213nf(n)³f(1)=1+-=0，所以S2n³(1+)成立，此时用单调函数放缩法可行。同样222的题干，稍有调整，我们所用的方法便有不同。 5、放缩法的策略以及精度的控制 例10已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1=数列1,an+2SnSn-1=0(n³2)。 21是否为等差数列？并证明你的结论； Sn求Sn和an； 求证：S1+S2+S3+L+Sn<22221。 2ì1(n=1)ï1ï2,an=í简解：Sn=； 12nï-(n³2)2n(n-1)ïî证法一：当n=1时，S1=当n³2,Sn=2211<成立； 421111<(-)， 24n4n-1n111111111111+L+=+(1-+-+L+-)441´22´3(n-1)´n44223n-1n22S12+S2+S32+L+Sn<=111111+(1-)=-< 44n2n28 22综上所述，S12+S2+S32+L+Sn<1。 2证法二：Sn=2111111<=(-) 4n24n2-1(2n+1)(2n-1)22n-12n+111111111122S12+S2+S32+L+Sn<(1-+-+L+-)=(1-)<。 23352n-12n+122n+1211点评：两种证法的不同在于策略的选择不同。方法一是将2放大成2，需从4n4n-4n1122第二项起，要分类讨论；而方法二是将放大成。明显比4n-14n-4n大很224n4n-1111多，2比2更接近2。从中可以发现放缩后的式子越接近放缩前的式子，4n-14n-4n4n即放缩程度越小，精确程度越高，保留的项就越少，运算就越简单。因此，在放缩时，要尽量缩小放缩度，提高放缩精度，避免运算上的麻烦。 本文选取的例题都是高考或模拟考中的压轴题，有一定难度，从中我们可以发现放缩法是证明数列型不等式的压轴题的最重要的方法。对于某个题目可能用到单一的放缩法，也可能用到复合型的放缩法，在平时或考试中遇到数列型不等式的证明问题，我们不能望题兴叹，也不能轻言放弃，更不能盲目瞎撞。多想几个为什么：用放缩法能否解决，是哪种类型的放缩法，要注意什么问题等等。只有正确把握了放缩法的方法思路和规律特征，我们在证明数列型不等式的压轴题时，就会豁然开朗，快速找到突破口，成为解决此类题的高手。 9