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初升高函数专题初升高衔接讲义 状元堂内江校区 初中专题函数 一次函数 知识点一、点的坐标 1、已知A，B，若A，B关于x轴对称，则a=_,b=_; 若A,B关于y轴对称，则a=_,b=_; 若若A，B关于原点对称，则a=_,b=_； 2、若点P是第二象限的点，则a,b的范围为_； 知识点二、关于点的距离的问题 方法：点到x轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y轴的距离用横坐标的绝对值表示； 任意两点A(xA,yA),B(xB,yB)的距离为(xA-xB)2+(yA-yB)2； 点A(xA,yA)到原点之间的距离为xA2+yA2 1、点B到x轴的距离是_；到y轴的距离是_； 2、点C到x轴的距离是_；到y轴的距离是_；到原点的距离是_； 3、 已知点G、H，则G、H两点之间的距离是_； 知识点三、函数图像及其性质 性质 函数 图象 经过象限 变化规律 b0 k0 b=0 y=kx+b b0 b0 k0 b=0 b0 千里之行 始于足下 状元之路 尽在今朝 1 初升高衔接讲义 状元堂内江校区 知识点四：一次函数y=kx+b中k、b的意义： k(称为斜率)表示直线y=kx+b 的倾斜程度； b表示直线y=kx+b与y轴交点的 ，也表示直线在y轴上的 。 同一平面内，不重合的两直线 y=k1x+b1与 y=k2x+b2的位置关系： 当 时，两直线平行。 当 时，两直线垂直。 当 时，两直线相交。 当 时，两直线交于y轴上同一点。 1、对于函数y5x+6，y的值随x值的减小而_。 2、对于函数y=1-2x, y的值随x值的_而增大。 233、一次函数 y=(6-3m)x(2n4)不经过第三象限，则m、n的范围是_。 5、已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y=-bx+k经过第_象限。 知识点五、平移 方法：直线y=kx+b与y轴交点为，直线平移则直线上的点也会同样的平移，平移不改变斜率k，则将平移后的点代入解析式求出b即可。 直线y=kx+b向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;。 1. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线 12. 直线y=x向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线 。 333. 直线y=-x+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线_。 44. 过点且平行于直线y=2x的直线是_ _。 5把函数y=3x+1的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位，可得到的图像表示的函数是_； 知识点六、交点问题及直线围成的面积问题 千里之行 始于足下 状元之路 尽在今朝 2 初升高衔接讲义 状元堂内江校区 已知点A，B，C，求ABC的面积。 反比例函数 一：反比例函数图象与性质 2)和(-2，3)，则m的值为 1.已知反比例函数的图象经过点(m，2.如果反比例函数y=1-2m的图象在第二、四象限内，则m的取值范围 x121212 Am<0 Bm< Cm> Dm 3.已知一次函数y = kx + b的图象经过第一、二、四象限，则函数y=kb 的图象x过 A第一、三象限 B第二、四象限 C第三、四象限 D第一、二象限 4. 函数y=1-k的图象过点P，则该函数图象在其所在的每个象限内，y随x的增加x而 5. 反比例函数y=的图象上的三个点，则下列成立的是 Ax1x2x3 Bx2x1x3 Cx1x3x2 Dx3x2x1 16.若点(-2,y1)、(-1,y2)、(1,y3)都是反比例函数y=的图象上的点,则下列各式中正确的是xA.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1 kx千里之行 始于足下 状元之路 尽在今朝 3 初升高衔接讲义 状元堂内江校区 -a2-17已知函数y=的图象上有三点则函数值y1，xy2，y3的大小关系是 Ay2y3y1 By3y2y1 Cy1y2y3 Dy3y1y2 K的几何意义 k(k<0)图象上的两点，分别过点A、B作xx轴的垂线，垂足分别是C、D，已知点O是坐标原点，则AOC、BOD的面积S1、S2的大小关系是( ) A.S1>S2 B.S1=S2 C.S1<S2 D.S1S2 12.A、B是函数y=的图象上关于原点对称的任意两点，ACy轴，交xx轴于点C，BDy轴，交x轴于点D，设四边形ADBC的面积为S，则 A.S=1 B.S=2 C.1S2 D.S2 1.如图，点A、B是函数y=yADCBx3. 如图，A、B是函数y=的图象上关于原点O对称的任意两点，AC平 行于y轴，BC平行于x轴，ABC的面积为S，则 AS = 1 B1S2 CS = 2 DS2 43. 函数y与y=-的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为点=-kx(k¹0)xBOCC，则D的面积为_。 1x千里之行 始于足下 状元之路 尽在今朝 4 初升高衔接讲义 状元堂内江校区 4 如图，已知双曲线，且四边形经过矩形的边的中点的面积为2，则 一次函数与反比例函数 k1. 函数y=与y=kx+1(k0)在同一坐标系内的大致图象是 x 2.在同一坐标系中，正比例函数y=(m-1)x与反比例函数y= 。 3. 已知反比例函数y=与直线y=-2x相交于A、B两点，A点的横坐标为-1，则两函数图象另一个交点B的坐标为 千里之行 始于足下 状元之路 尽在今朝 5 4m的图象大致位置不可能是xkx初升高衔接讲义 状元堂内江校区 4. 如图14，已知A(-4，n)，B(2，-4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=象的两个交点 (1)求反比例函数和一次函数的解析式 (2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及AOB的面积； (3)求方程kx+b-m； =0的解xm<0的解集. xm的图x(4)求不等式kx+b- 二次函数 知识点一：二次函数的图象和性质 顶点坐标 顶点式： y=a(xh)2+k的顶点坐标为(h,k)；由顶点式可直接写出顶点坐标； æb4ac-b2ö一般式：y=ax+bx+c的顶点坐标为ç-,由一般式可配方求出顶点坐标； ÷；4aøè2a2交点式：y=a(xx1)(xx2)的顶点横坐标为定顶点横坐标， x1+x2. 由交点式可由抛物线的对称性确2进而求出顶点坐标。此法适用于数字比较大的实际问题。 求顶点坐标 1. 抛物线y(x2)23的顶点坐标是 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 千里之行 始于足下 状元之路 尽在今朝 6 初升高衔接讲义 状元堂内江校区 2. 抛物线y=x2-2x+1的顶点坐标是 A B C D 3.下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是( ) Ay = (x 2)2 + 1 By = (x + 2)2 + 1 Cy = (x 2)2 3 Dy = (x + 2)2 3 4. 若下列有一图形为二次函数y2x28x6的图形，则此图为何？ 利用顶点坐标平移 5. 将抛物线y=x2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为 6. 将抛物线y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是 Ay=-(x+2)2 By=-x2+2 Cy=-(x-2)2 Dy=-x2-2 7. 抛物线y=(x+2)-3可以由抛物线y=x2平移得到,则下列平移过程正确的是( ) A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 8将抛物线y=x22x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_. 系数与图象 对于二次函数yax2+bx+c 千里之行 始于足下 状元之路 尽在今朝 7 2初升高衔接讲义 状元堂内江校区 1. 开口方向Ûa的符号： 开口向上，a>0；开口向下， a<0。 开口大小Ûa的绝对值： 绝对值越大开口越小；绝对值越小，开口越大。 a相同的两个抛物线抛物线的形状、方向完全一样。 2a、bÛ对称轴的位置： 同左异右。 2a 若a、b同号Û对称轴在y轴的左侧; 若b=0Û对称轴就是y轴; 若a、b异号Û对称轴在y轴的右侧 3图象与y轴的交点位置Ûc的符号： 当图象与y轴的交点在正半轴时c>0； 当图象与y轴的交点在负半轴时c<0； 过原点则c=0。 4函数图象与x轴交点的横坐标为x1，x2和系数的关系：x1+x2=- 5图象与x轴的交点的个数Ûb2-4ac： 当b2-4ac0时，抛物线与x轴有两个交点. 当b2-4ac0时，抛物线与x轴有一个交点. 当b2-4ac= 0时，抛物线与x轴没有交点. 6. 函数图象上的点与相关代数式： 、 ； 、 图像与系数的关系 1已知函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 A.k<4 2. 已知抛物线yax2bxc(a0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( ) A a>0 B b0 C c0 D abc>0 千里之行 始于足下 状元之路 尽在今朝 8 bc，x1x2=。 aa B.k£4 C.k<4且k¹3 D.k£4且k¹3 初升高衔接讲义 状元堂内江校区 3. 如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：b2-4ac>0；c>1；2ab<0；a+b+c<0。你认为其中错误的有 A2个 B3个 C4个 D1个 4. 如上图为抛物线y=ax2+bx+c的图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是 Aab=1 B ab=1 C b<2a D ac<0 5. 已知函数y=(x-a)(x-b)的图象如下面右图所示，则函数y=ax+b的图象可能正确的是 y 1 O 1 x -1 O y 1 x -1 O -1 y x O -1 y 1 x 千里之行 始于足下 状元之路 尽在今朝 9 初升高衔接讲义 状元堂内江校区 6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数在同一坐标系中的大致图象是. a与一次函数y=bx+cy=x7. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比列函数y=标系内的大致图象是 y O x y y y y a与正比列函数y=bx在同一坐xO A x O B x O C x O D x 对称性 增减性 二次函数yax2+bx+c的图象是轴对称图形，其对称轴为x=-b。 2a对于二次函数yax2+bx+c， 1. 若二次函数y=(x-m)2-1当xl时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 Am=l Bm>l Cml Dml 2. 由二次函数y=2(x-3)2+1，可知 A其图象的开口向下 B其图象的对称轴为直线x=-3 C其最小值为1 D当x<3时，y随x的增大而增大 3. 已知二次函数yax2bxc的图象如图，则下列结论中正确的是 千里之行 始于足下 状元之路 尽在今朝 10 初升高衔接讲义 状元堂内江校区 Aa0 B当x1时，y随x的增大而增大 Cc0 D3是方程ax2bxc0的一个根 4. 若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表： X 7 y 27 6 13 5 3 4 3 3 5 2 3 则当x=1时，y的值为 A.5 B.3 C.13 D.27 知识点二：二次函数与方程、不等式 二次函数与方程 1. 若x1,x2(x1 x2)是方程(x a)(xb) = 1(a < b)的两个根，则实数x1,x2,a,b的大小关系为 Ax1x2ab Bx1ax2b Cx1abx2 Dax1bx2 2.设一元二次方程=m(m>0)的两实根分别为，且<，则，满足 A. 1<<<2 B. 1<<2 < C. <1<<2 D.<1且>2 3. A1x3 Bx1 C x3 Dx1或x3 4. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的两个实数根x1、x2满足x1+x2=4和x1x2=3，那么二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象有可能是 k 5. 如图，抛物线y = x2 + 1与双曲线y = 的交点A的横坐标是1，则关于x的不等x k 式 + x2 + 1 < 0的解集是 ( ) xAx > 1 Bx < 1 C0 < x < 1 D1 < x < 0 千里之行 始于足下 状元之路 尽在今朝 12