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初二数学轴对称单元复习基础知识点整理轴对称单元复习基础知识点整理 轴对称图形的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分 图形的轴对称 画一个图形的轴对称图形的步骤：找关键点连线 用坐标表示轴对称：点关于x轴对称的点的坐标为； 点关于y轴对称的点的坐标为。 轴对称图形的定义 线段的垂直平分线 性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 判定：到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上 用尺规作线段的垂直平分线 性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等 角平分线 图形的轴对称 判定：角的内部，到角两边的距离相等的点在角平分线上 用尺规作角平分线 轴对称图形 性质 等腰三角形 判定 等腰三角形 性质 等边三角形 判定 等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边的垂直平分线 等腰三角形的底边的高、底边上的中线，顶角的平分线重合 等腰三角形的两个底角相等 两边相等的三角形是等腰三角形；有两个角相等的三角形是等腰三角形 等腰三角形的两个底角相等 等边三角形的各角都相等 等边三角形的各角都相等 三条边都相等的三角形是等边三角形 有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形 1 两种不同 图形 知识点 掌握和记忆的困惑及需要突破的学习难点 轴对称图形 轴对称 、“轴对称图形”与“轴对称”最关键的区别在哪里？究竟哪一个是“一个图形”，哪一个是“两个图形”?学习过程中和复习时，学生总是互相打混并且记不住，奥秘究竟在哪里？ 、 “完全重合”和“完全一样”是两个不同的概念 “完全重合”的图形可以“完全一样”，但“完全一样”的图形不一定“完全重合” ，这个在学习中容易混淆。 记忆口诀的意思解释： 用“轴对称图形”与“轴对称”这两个名词字数的多少加以判别。我们不妨数一数，“轴对称图形”一词有5个字，“轴对称”一词有3个字。将两个名词的字数进行对比，“轴对称图形”比“轴对称”多了两个字。所以名词我们得出结论，“轴对称图形”字多， “轴对称”相对比较起来就字少。于是我们运用反向思维来判断和记忆这两个名词之下图形的个数。记忆的方法是：字多的反而只有一个图形，字少的却有两个图形。据此我们提炼出记忆的口诀： 为便于复习记忆，作者独创的记忆法 口 诀：字多一个图形，字少两个图形。 反向思维记忆法：“轴对称图形”字多一个图形， “轴 对 称”字少两个图形。 把这个口诀背住，在学习本资料或做轴对称题目时，嘴里一边轻声吟读这个口诀，一边看下面的一系列繁杂的内容，你一定会有势如破竹之爽感。 字多轴对称图形字少轴对称的定义 的定义 轴对称图形指的是在一个图形内轴对称指的是两个图形之间的关系。部，如果你沿着某一条直线对折，对如果其中的一个图形沿着某一条直线翻折的两部分能够互相重合，那么这一折，可以和另一个图形重合,那么 个图形就叫轴对称图形。 就说 备注： 这两个图形关于这条直线对称， 、轴对称图形是沿某直线折叠或说 后直线两旁的部分互相重合，其要素这两个图形成轴对称。 有两点：一是沿某直线折叠，二是两备注： 部分互相重合。 关于某条直线对称的两个图形，对应、根据轴对称图形的定义可以线段相等，对应角相等。 知道，下面我们要讲到，轴对称图形有两个重要性质：对称轴垂直并且平分连接两个对称点的线段。两个轴对称图形是全等的。但是须注意，成轴对称的图形是处于特殊相对位置的两个全等形，所以全等形不一定是轴对称图形。 一个图形内的两部分关于某条直两个图形之间关于某条直线对称。 线对称。 、轴对称图形是一个具有特殊特征的、有两个图形，能够完全重合，形状大小定义 定义简述 定义提示 2 对称轴 图形，对折后能够完全重合，即对称轴两旁 的部分是全等形。 一个轴对称图形的对称轴可能不止一条。 这某一条直线就是这一个图形的对称轴。 、对称轴是一条直线，不是一条都完全相同。 、两个图形沿对称轴对折后能够重合 、两个图形只有一条对称轴。 这某一条直线就是这两个图形的对称轴。 、对称轴是一条直线，不是一条射线，也不是一条线段 、成轴对称的两个图形一般只有一条对称轴。 对于两个图形来说，两个图形翻折后互相重合时的点，叫对称点 这两个图形关于这某条直线对称 。 射线，也不是一条线段 、轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条。 对于一个图形来说，沿着这某条直线折叠后互相重合时的点叫对称点 这一个图形内关于这某条直线对称 。 对称点 成轴对称 轴对称变换 、“轴对称变换”的定义 由一个平面图形得到它的轴对称图形的过程叫做轴对称变换 、轴对称变换是一个运动的过程 轴对称变换是一种变换，讲的是由一个图形得到与它成轴对称的图形的过程，是一个运动的过程。 、轴对称图形与轴对称各自的变换 轴对称图形的变换：一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的。 轴对称的变换：成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换得到。 图形 轴对称图形 轴对称 ADBMEA'D'B'CFC'下图如果不考虑颜色，所示的图案就是一个轴对称图形，直线l是它的一条对称轴。 l 3 判断所列图形中有哪些是轴对称图形？是否只有第不是。 问题解释： 1、问：两条边不一样长的角是轴对称图形吗？ 答：是，它的对称轴是它角平分线所在的直线。因为角的定义是：由一点发出的两条射线所围成的图形叫做角。又因为射线是无限延伸的，因此，就算两边不一样长，它照样是轴对称图形。 4 轴对称的性质定理 对称的两个图形全等） 轴对称性质定理、关于某条直线对称的两个图形是全等形。 轴对称性质定理、如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。 轴对称性质定理、两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。 备注： 、全等的图形不一定是轴对称的，而轴对称的图形一定是全等的。 、轴对称的性质是证明线段相等、线段垂直及角相等的依据之一，例如：若已知两个图形关于某直线成轴对称，则它们的对应边相等，对应角相等。 轴对称的 判定定理 特征 如果两个图形的对应点连线线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 一个轴对称图形的特征： 成轴对称的两个图形的特征： 轴对称图形是一个图形本身的特征。 轴对称是两个图形之间的关系。 其特征就是能够沿着某条直线翻折，直成轴对称的两个图形的特征是沿对称轴翻线两旁的部分能够互相重合。 转180度重合，对应点到对称轴的距离相等。 轴对称图形只是一个特殊形状的图形。 不一定只有一条对称轴。 对称点在同一个图形上。 轴对称图形是沿对称轴对折，一个图形内的两部分重合。 轴对称是两个图形之间的位置关系。 肯定只有一条对称轴， 对称点分别在两个图形上， 轴对称沿对称轴翻折，两个图形重合 区别 联系 识别对称轴的方法 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部如果把成轴对称的两个图形看做一个整体，分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对那么它就是一个轴对称图形； 称。 备注：两者的相同点，都是沿某直线翻折后能够互相重合。不过轴对称图形是沿对称轴对折，一个图形内的两部分重合。而轴对称是沿对称轴翻折，两个图形重合。 识别对称轴的方法，就是前面所述“轴对称的判定定理”。该定理的作用是判定两个图形是否关于某直线对称，它是作对称图形的主要依据。 1、找出轴对称图形的任意一组对称点。 2、连结对称点。 寻找对称轴、3、画出对称点所连线段的垂直平分线，就是该图形的对称轴。 画对称轴的方 备注：无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形的对称轴，都是任何一对对应点所法 连线段的垂直平分线。因此，只要找到其任意一对对应点，作出所连线段的垂直平分 线，就可以得到它们的对称轴 1、画已知特殊点的对称点的步骤： 、过已知点A作已知对称轴直线的垂线，标出垂足O。 、在这条直线的另一侧，从垂足O出发，截取与已知点A到垂足O的距离相等的线段OA，那么截点A就是点A关于该对称轴直线的对称点。 5 作轴对称图形的方法步骤 即可。 找已知点：确定图形中的一些特殊点。 画对应点：找到已知点关于已知对称轴直线的对称点。 连 线：连接对称点。把这些对称点顺次连结起来，就形成了一个符合条件的对称图形。 2、画已知图形的对称图形的步骤：按对应点的坐标在图形上找出各点，进行连线 正确性审核 用坐标表示 轴对称 备注：画已知图形的对称图形，一定要先明确轴对称的以下性质： 、本画已知图形的对称图形，它的对称轴是直线 、垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，或中垂线线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 、在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等 、在轴对称图形中，对称轴把图形分成完全相等的两份 、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 注意，如果对称轴的图形题目中，遇有一个三角形斜压在作为对称轴的竖线上时，要打破原点一般在对称轴的左边，对应点一般在对称轴右边的习惯思维，对应点字母的位置要注意在对称轴两侧灵活交错确定。 3、画已知圆的对称图形的步骤 若题目画一个已知圆的关于一条直线的轴对称图形。有个已知圆，可知其圆心点坐标A(a,b)以及半径R，过圆心点作直线的垂线交直线于C ，延长此线并截取B点，使得AC=BC，以B 点为圆心，以R为半径作圆，即为所求图形。 4、已知半个轴对称图形和对称轴，样求另一半对称图形？ 从各关键点向对称轴引垂线并延长相同单位得到各点的对应点，顺次连接即可。作AOL于点O，并延长，在延长线上截取OA=OA，得到点A的对称点 A，同法作出左侧图形中其余关键点关于直线l的对称点，按左侧图形中的次序连接即可。 怎样检验你画的这个轴对称图形对否？看各对应点到对称轴的距离是否相等即可。 找对应点的方法请参见以下四点规定。 再看以下课件中的举例，加深对以上规定的理解。免费课件举例在百度网点下列课件： 12.2.2 用坐标表示轴对称 课件2 、关于坐标轴对称 点P关于x轴对称的点的坐标是 点P关于y轴对称的点的坐标是 、关于原点对称 点P关于原点对称的点的坐标是 、关于平行于坐标轴的直线对称 点P关于直线x=m对称的点的坐标是 点P关于直线y=n对称的点的坐标是 、关于坐标轴夹角平分线对称 点P关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是 点P关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= -x对称的点的坐标是 6 轴对称图形的判断实例 线”这几个字，是必要的，也是正确的。 1、另外，我们从学习对称轴的定义可以知道，“对称轴是一条直线”所以强调一下“所在的直2、由于“线段的垂直平分线”可简称为“中垂线”，故文内均用“中垂线”。 3、判断时要特别熟记以下概念 、要根据定义判断区分哪些图形是轴对称图形，哪些是中心对称图形。区分的方法简言之： 沿着中轴线能折叠的就是轴对称图形。 转180度能重合的就是中心对称。 、轴对称图形的定义是：如果一个图形沿着一条直线对折后两边的图形能完全重合，这个图形叫做轴对称图形。 、对称轴是一条直线！ 、垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，或中垂线。线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 、在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等。 、轴对称的图形是全等的 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 常见图形的对称性对比表 名称 直线 射线 线段 角 圆 等腰三角形 等边三角形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 等腰梯形 正偶边形 正奇边形 26个字母 对称轴 数量 无数条 1 2 1 无数条 1 3 0 2 2 4 1 对称轴在哪里？ 轴对称兼 中心对称 有无 对称中心 无 无 线段中点 无 圆心 无 无 对角线交点 对角线交点 对角线交点 对角线交点 无 对角线交点 无 一条是它本身，其他的是直线上任一点的垂线。 不是 是射线所在的直线 不是 、线段所在直线;、线段的垂直平分线 角平分线所在的直线 兼中心对称图形 不是 兼中心对称图形 不是 不是 兼中心对称图形 兼中心对称图形 兼中心对称图形 兼中心对称图形 不是 兼中心对称图形 不是 圆的直径所在的直线 顶角平分线所在的 直线 三条顶角平分线所 在的直线 是中心对称，但不是轴对称图形。 两组对边的垂直平分线 两组对角顶点所连直线 两组对边的垂直平分线和两组对角顶点所连直线 两底的垂直平分线 ABCDEHIKMOTUVWXY共16个轴对称图形。 7 AHIMOTUVWXY共11 个左右成轴对称。BCDEK另5个上下成轴对称。 OHX既是轴对称图形，又是中心对称图形. 为使读者便于理解，对图表的进一步表述： 、线段是轴对称图形。 它有2条对称轴。 一条是线段所在的直线，另一条是它的中垂线。 、直线是轴对称图形。 它有无数条对称轴。 一条是直线本身，另一条是直线的任何一条垂线 、角是轴对称图形。 它只有1条对称轴。 角平分线所在的直线是它的对称轴。 、等腰三角形是轴对称图形。 它只有1条对称轴。 底边的中垂线是它的对称轴。 、等边三角形是轴对称图形。 因为它等边，所以它有3条对称轴。 每条边的中垂线都是它的对称轴。 、圆是轴对称图形。 它有无数条对称轴。 圆的直径所在的直线是圆的对称轴，圆的任意一条直径都是它的对称轴。 （注：两个等圆成轴对称时则只存在一条对称轴) 、矩形的对边中点所在的两条直线为矩形的两条对称轴； 、正方形的对边中点所在的两条直线和两条对角线所在的直线为它的四条对称轴。 8