初中数学竞赛平面几何中几个重要定理.docx

初中数学竞赛平面几何中几个重要定理初中数学竞赛平面几何中几个重要定理 定理1 正弦定理 DABC中，设外接圆半径为R，则证明:如图1-1，图1-2 过B作直径BA¢，则ÐA¢=ÐA,ÐBCA¢=90o，故abc=2R sinAsinBsinCBCaa=sinA¢=sinA,即=2R； 同理可得BA¢2RsinAabc=2R sinAsinBsinC当ÐA为钝角时，可考虑其补角p-A. 当ÐA为直角时，sinA=1，故无论哪种情况正弦定理成立。 定理2 余弦定理 DABC中，有关系a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosC 有时也用它的等价形式 a=bcosC+ccosB b=acosC+ccosA c=acosB+bcosA 定理3 梅涅(Menelaus)劳斯定理 直线DEF截DABC的边BC,CA,AB或其延长线于D,E,F.则 AFBDCE××=1. FBDCEA定理4塞瓦定理(Ceva) 设O是DABC内任意一点，AD,BE,CF分别交对边于D,E,F则 BDCEAF××=1 DCEAFB定理5塞瓦定理逆定理 在DABC三边所在直线BC,CA.AB上各取一点D,E,F，若 BDCEAF××=1则AD,BE,CF平行或共点。: DCEAFB定理6 斯特瓦尔特定理 b2p+c2q在DABC中，若D是BC上一点，且BD=p,DC=q,AB=c,AC=b，则AD=-pq p+q2 1 / 2 定理7 托勒密定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆 AB×CD+BC×AD=AC×BD的充要条件是A,B,C,D四点共圆。 定理8 西姆松(Simson)定理 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上 DABC的三边BC,CA.AB上有点P,Q,R，则AP,BQ,CR共点的充要条件是BPCQARPC×QA×RB=1。 2 / 2