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初中数学十字相乘法因式分解初中数学十字相乘法因式分解 要点： 一、x2+(p+q)x+pq型的因式分解 特点是：二次项的系数是1常数项是两个数之积一次项系数是常数的两个因数之和。对这个式子先去括号，得到： x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq) =x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q) 因此：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 利用此式的结果可以直接将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。 二、一般二次三项式ax2+bx+c的分解因式 大家知道，(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2。 反过来，就可得到：a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2) 我们发现，二次项系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，把a1,a2,c1,c2写成a1a2c1，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到ac´c212+a2c1，那么ax2+bx+c就可以分解成(a1x+c1)(a2x+c2). 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。 例1 把下列各式分解因式。x2+3x+2 x2-7x+6 例2 把下列各式因式分解。 x2+x-2 x2-2x-15 例3 把下列各式因式分解。 2x2-7x+3 6x2-7x-5 5x2+6xy-8y2 例4 将(x-y)2-3(x-y)-40分解因式。 例5 把x2y2-5x2y-6x2分解因式。 例6 将81x5y5-16xy分解因式。 一. 填空题： 1. x2-3x-28= 2. x2-2xy-35y2=(x-7y) 3. 20x2-43xy+14y2=(4x-7y) 4. 18x2-19x+5= 5. -35m2n2+11mn+6= 6. 6-11a-35a2= 7. kx2+5x-6=k= 8. m-43xy+14y2=(4x-7y)(5x-2y)，则m= 9. 20x2-43xy+m=(4x-7y)(5x+n)，则m= ，n= 10. 分解因式(x2+3x)4-8(x2+3x)2+16= 。 二. 选择题： 1. x2+10x+16分解因式为 A. (x+2)(x+8) B. (x-2)(x+8) C. (x+2)(x-8) D. (x-2)(x-8) 2. x2-13xy-30y2分解为 A. (x-3y)(x-10y) B. (x+15y)(x-2y)C. (x+10y)(x+3y) D. (x-15y)(x+2y) 3. 把6x2-29x+35分解因式为 A. (2x-7)(3x-5) B. (3x-7)(2x-5)C. (3x-7)(2x+5) D. (2x-7)(3x+5) 4. 把x2-m2+4mn-4n2分解因式为 A. (x+m+2n)(x-m+2n) B. (x+m-2n)(x-m+2n) C. (x-m-2n)(x-m+2n) D. (x+m+2n)(x+m-2n) 5. 在下列二次三项式中，不是x2+(p+q)x+pq型式子的是 A. x2+12x+20 B. x2+9x+100 C. x2-13x-14 D. x2+9x-52 三. 解答题： 1. 将下列各式因式分解。 x2+5x-6 x2-x-30 x2+30x+1441） x2+11x+18 25-26a+a2 x2-3xy+2y2 2. 将下列各式因式分解。 -m4+18m2-17 3x4-7x2y2-20y4 3b2+14b-5 2x2-x-3 2x2+5x-7 3a2-2a-1 3. 因式分解。 (x2-7x)2+10(x2-7x)-24 x4-2x2(y2+z2)+(y2+z2)2 x4. 已知15x2-47xy+28y2=0，求的值。 yba5. 已知a2-ab-6b2=0，求+的值。 ab6. 已知a2+9b2-2a+6b+2=0，求2a-3b的值。 试题答案 一. 1. x-7；x+4 2. x+5y 3. 5x-2y 4. 9x-5 5. 5mn-3；7mn+2 6. 2-7a；3+5a 7. 2x+3；6 8. 20x 9. 14y2；-2y 10. (x+1)2(x+2)2(x2+3x-2)2 二. 1. A 2. D 3. B 4. B 5. B 三.1. 解： x2+5x-6=(x+6)(x-1)x2-x-30=(x-6)(x+5) x+30x+144=(x+24)(x+6) 2. 解：-m+18m-17=-(m-18m+17)=-(m-17)(m-1) =-(m-17)(m+1)(m-1) 3x-7xy-20y=(x-4y)(3x+5y)=(x+2y)(x-2y)(3x+5y) x-2x-8x=x(x-2x-8)=x(x-4)(x+2)=x(x+2)(x-2)(x+2) 3. 解：6a53422224224222222242422222-a2n+k-35ak=ak(6a4n-a2n-35)=ak(2a2n-5)(3a2n+7) 751122x+x+=(8x+14x+5)=(2x+1)(4x+5) 4888(x2-7x)2+10(x2-7x)-24=(x2-7x+12)(x2-7x-2) 4n+k4. 解： =(x-3)(x-4)(x2-7x-2) x4-2x2(y2+z2)+(y2+z2)2=x2-(y2+z2)2=(x2-y2-z2)2 5. 解：15x2-47xy+28y2=0 (3x-7y)(5x-4y)=0 7yx37747= x=y或x=y 当x=y时，=353yy34yx544y时，= 当x=5yy5226. 解：a-ab-6b=0 (a-3b)(a+2b)=0 a=3b a=-2b bab3b11+=+3=3 当a=3b时，+=ab3bb33bab-2b11+=-2=-2 当a=-2b时，+=ab-2bb2222227. 解：a+9b-2a+6b+2=0 (a-2a+1)+(9b+6b+1)=0 122 (a-1)+(3b+1)=0 a=1 b=- 31 2a-3b=2´1-3(-)=2+1=3 3
