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初中数学各种公式中考数学各种常用公式及性质 1 乘法与因式分解 (ab)(ab)a2b2；(a±b)2a2±2abb2；(ab)(a2abb2)a3b3； (ab)(a2abb2)a3b3；a2b2(ab)22ab；(ab)2(ab)24ab。 2 幂的运算性质 a×aaa-nmnm+naa；a÷mnm-nanan；(a)a；(ab)ab；n； bbmnmnnnn1-nn0a，特别：；1(a0)。 na3 二次根式 ()2a(a0)；丨a丨；×；(a0，b0)。 4 三角不等式 |a|-|b|a±b|a|+|b|； 加强条件：|a|-|b|a±b|a|+|b|也成立，这个不等式也可称为向量的三角不等式 |a+b|a|+|b|；|a-b|a|+|b|；|a|b<=>-bab ； |a-b|a|-|b|； -|a|a|a|； 5 某些数列前n项之和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+n=n(n+1)/2；1+3+5+7+9+11+13+15+(2n-1)=n2 ； 2+4+6+8+10+12+14+(2n)=n(n+1)； 12+22+32+42+52+62+72+82+n2=n(n+1)(2n+1)/6； 13+23+33+43+53+63+n3=n2(n+1)2/4； 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3； 6 一元二次方程 对于方程：axbxc0： -b±b2-4ac2求根公式是x，其中b4ac叫做根的判别式。 2a2当0时，方程有两个不相等的实数根； 当0时，方程有两个相等的实数根； 当0时，方程没有实数根注意：当0时，方程有实数根。 若方程有两个实数根x1和x2，则二次三项式ax2bxc可分解为a(xx1)(xx2)。 第 1 页 共 12 页 1 以a和b为根的一元二次方程是x2(ab)xab0。 7 一次函数 一次函数ykxb(k0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标，称为截距)。 当k0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)； 当k0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)； 特别地：当b0时，ykx(k0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点。 8 反比例函数 反比例函数y(k0)的图象叫做双曲线。 当k0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)； 当k0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)。 9 二次函数 .定义：一般地，如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a¹0)，那么y叫做x的二次函数。 .抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。 a的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下； a相等，抛物线的开口大小、形状相同。 平行于y轴的直线记作x=h.特别地，y轴记作直线x=0。 .几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h) 2开口方向 对称轴 顶点坐标 (0, k) (h,0) (h,k) b4ac-b2(-，) 2a4ax=0 当a>0时 开口向上 当a<0时 开口向下 x=0 x=h x=h bx=- 2ay=a(x-h)+k 2y=ax+bx+c 2.求抛物线的顶点、对称轴的方法 b4ac-b2bö4ac-b2æ2 公式法：y=ax+bx+c=açx+÷+，顶点是，对称轴是2a4a2aø4aè第 2 页 共 12 页 2 2直线x=-b。 2a2 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a(x-h)+k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x=h。 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。 (x2,y) 若已知抛物线上两点(x1,y)、，则对称轴方程可以表示为：x=2y=ax+bx+c中，a,b,c的作用 .抛物线x1+x2 2 a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样。 b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线。 bbx=-，故：b=0时，对称轴为y轴；>0时，对称轴在y轴a2ab左侧；<0时，对称轴在y轴右侧。 a c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置。 当x=0时，y=c，抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点： c=0，抛物线经过原点; c>0,与y轴交于正半轴；c<0,与y轴交于负半轴. b 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 <0。 a.用待定系数法求二次函数的解析式 一般式：y=ax2+bx+c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. 顶点式：y=a(x-h)+k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。 2 交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y=a(x-x1)(x-x2)。 .直线与抛物线的交点 y轴与抛物线y=ax2+bx+c得交点为(0, c)。 抛物线与x轴的交点。 二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程 ax2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： a有两个交点Û(D>0)Û抛物线与x轴相交； b有一个交点Û(D=0)Û抛物线与x轴相切； c没有交点Û(D<0)Û抛物线与x轴相离。 平行于x轴的直线与抛物线的交点 同一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2+bx+c=k的两个实数根。 第 3 页 共 12 页 3 一次函数y=kx+n(k¹0)的图像l与二次函数y=ax2+bx+c(a¹0)的图像G的交点，由方程组 y=kx+ny=ax+bx+c2的解的数目来确定： a方程组有两组不同的解时Ûl与G有两个交点； b方程组只有一组解时Ûl与G只有一个交点； c方程组无解时Ûl与G没有交点。 抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点为A(x1，0)，B(x2，0)，则AB=x1-x2 10 统计初步 概念：所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数 公式：设有n个数x1，x2，xn，那么： 平均数为：x=x1+x2+.+xn； n极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值； 方差：数据x1、x2, xn的方差为s2， 则s2=21轾x-x+犏1n臌(x2-x)+.+2(xn-x)2标准差：方差的算术平方根。 数据x1、x2, xn的标准差s， 则s=21轾(x1-x)+犏n臌(x2-x)+.+2(xn-x)2一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。 第 4 页 共 12 页 4 11 频率与概率 频率 频率=频数，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1，频率分布直方图中各总数个小长方形的面积为各组频率。 概率 如果用P表示一个事件A发生的概率，则0P1； P=1；P=0； 在具体情境中了解概率的意义，运用列举法计算简单事件发生的概率。 大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值； 12 锐角三角形 设A是ABC的任一锐角，则A的正弦：sinAA的正切：tanA22并且sinAcosA1。 ，A的余弦：cosA，0sinA1，0cosA1，tanA0A越大，A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小。 余角公式：sin(90ºA)cosA，cos(90ºA)sinA。 特殊角的三角函数值：sin30ºcos60º，sin45ºcos45ºtan30º，tan45º1，tan60º。 h l ，sin60ºcos30º， 斜坡的坡度：i铅垂高度设坡角为，则itan。 水平宽度13 正弦定理 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R；注：其中 R 表示三角形的外接圆半径。 正弦定理的变形公式：(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC；(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB；a2=b2+c2-2bccosA；c2=a2+b2-2abcosC； 注：C所对的边为c，B所对的边为b，A所对的边为a 14 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 第 5 页 共 12 页 5 ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=(1-cosA)/2) sin(A/2)=-(1-cosA)/2) cos(A/2)=(1+cosA)/2) cos(A/2)=-(1+cosA)/2) tan(A/2)=(1-cosA)/(1+cosA) tan(A/2)=-(1-cosA)/(1+cosA) ctg(A/2)=(1+cosA)/(1-cosA) ctg(A/2)=-(1+cosA)/(1-cosA) 和差化积 sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2 cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 积化和差 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) 15 平面直角坐标系中的有关知识 对称性：若直角坐标系内一点P，则P关于x轴对称的点为P1，P关于y轴对称的点为P2，关于原点对称的点为P3。 坐标平移：若直角坐标系内一点P向左平移h个单位，坐标变为P，向右平移h个单位，坐标变为P；向上平移h个单位，坐标变为P，向下平移h个单位，坐标变为P.如：点A向上平移2个单位，再向右平移5个单位，则坐标变为A。 16 多边形内角和公式 多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n2)180º，外角和等于360º17 平行线段成比例定理 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 如图：abc，直线l1与l2分别与直线a、b、c相交与点A、B、C和D、E、F， 第 6 页 共 12 页 6 则有ABDEABDEBCEF。 =,=,=BCEFACDFACDF推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例。如图：ABC中，DEBC，DE与AB、AC相交与点D、E，则有：ADAEADAEDEDBEC =,=,=DBECABACBCABACl1ABCl2DEFAEADabcBCBCDE18 直角三角形中的射影定理 直角三角形中的射影定理：如图：RtABC中，ACB90o，CDAB于D， 则有：CD2=AD×BDAC2=AD×ABBC2=BD×AB 19 圆的有关性质 ACDB垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：经过圆心；垂直弦；平分弦；平分弦所对的劣弧；平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质注：具备，时，弦不能是直径。 两条平行弦所夹的弧相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 圆周角等于它所对的弧的度数的一半。 同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 90º的圆周角所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是90º，直径是最长的弦。、 圆内接四边形的对角互补。 20 三角形的内心与外心 三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心三角形的内心就是三内角角平分线的交点。 第 7 页 共 12 页 7 三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心三角形的外心就是三边中垂线的交点 常见结论：RtABC的三条边分别为：a、b、c，则它的内切圆的半径r=1S=lr2 ABC的周长为l，面积为S，其内切圆的半径为r，则a+b-c； 221 弦切角定理及其推论 弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图：PAC为弦切角。 弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。 A 11如果AC是O的弦，PA是O的切线，A为切点，则ÐPAC=AC=ÐAOC 22推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角 如果AC是O的弦，PA是O的切线，A为切点，则ÐPAC=ÐABC 22 相交弦定理、割线定理和切割线定理 相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。 如图，即：PA·PB = PC·PD 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。如图，即：PA·PB = PC·PD 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图，即：PC2 = PA·PB COPBDCOADBPB O C P COABPA 23 面积公式 S正×(边长)2 S菱形底×(对角线的积)， 高×1S梯形=(上底+下底)´高=中位线´高 2第 8 页 共 12 页 8 S平行四边形底×高 S圆R2 S圆柱侧底面周长×高2rh， l圆周长2R S全面积S侧S底2rh2r2 弧长L S圆锥侧×底面周长×母线rb， S扇形=npr21S全面积S侧S底rbr2 360=2lr 初中数学各种应用题公式 平均数问题公式 ÷2 反向行程问题公式 路程÷(大速+小速） 同向行程问题公式 路程÷(大速小速） 行船问题公式 同上 列车过桥问题公式 ÷车速 工程问题公式 1÷速度和 盈亏问题公式 ÷两次的相差数 利率问题公式 总利润÷成本×100 盈亏(盈亏)÷两次分配量之差参加分配的份数 (大盈小盈)÷两次分配量之差参加分配的份数 (大亏小亏)÷两次分配量之差参加分配的份数 相遇 相遇路程速度和×相遇时间 相遇时间相遇路程÷速度和 速度和相遇路程÷相遇时间 追及 追及距离速度差×追及时间 追及时间追及距离÷速度差 速度差追及距离÷追及时间 流水 顺流速度静水速度水流速度 逆流速度静水速度水流速度 静水速度(顺流速度逆流速度)÷2 水流速度(顺流速度逆流速度)÷2 浓度 溶质的重量溶剂的重量溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量×100%浓度 溶液的重量×浓度溶质的重量 溶质的重量÷浓度溶液的重量 利润与折扣 第 9 页 共 12 页 9 利润售出价成本 利润率利润÷成本×100%(售出价÷成本1)×100% 涨跌金额本金×涨跌百分比 折扣实际售价÷原售价×100%(折扣1) 利息本金×利率×时间 税后利息本金×利率×时间×(120%) 植树问题 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: 如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数段数1全长÷株距1 全长株距×(株数1) 株距全长÷(株数1) 如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数段数全长÷株距 全长株距×株数 株距全长÷株数 如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数段数1全长÷株距1 全长株距×(株数1) 株距全长÷(株数1) 2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数段数全长÷株距 全长株距×株数 株距全长÷株数 1 每份数×份数总数 总数÷每份数份数 总数÷份数每份数 2 1倍数×倍数几倍数 几倍数÷1倍数倍数 几倍数÷倍数1倍数 3 速度×时间路程 路程÷速度时间 路程÷时间速度 4 单价×数量总价 总价÷单价数量 总价÷数量单价 5 工作效率×工作时间工作总量 工作总量÷工作效率工作时间 工作总量÷工作时间工作效率 6 加数加数和 和一个加数另一个加数 7 被减数减数差 被减数差减数 差减数被减数 第 10 页 共 12 页 10 8 因数×因数积 积÷一个因数另一个因数 9 被除数÷除数商 被除数÷商除数 商×除数被除数 和差问题 (和差)÷2大数 (和差)÷2小数 和倍问题 和÷(倍数1)小数 小数×倍数大数 (或者 和小数大数) 差倍问题 差÷(倍数1)小数 小数×倍数大数 (或 小数差大数) 图形面积、周长、体积那些个要吗？晕，_| 因式分解，三角不等式，一元二次方程，和差化积，三角函数，两角和公式，倍角半角，正弦余弦。那啥啥的，都要吗？昏迷中。 小学数学图形计算公式 -上 1 正方形 C周长 S面积 a边长 周长边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2 正方体 V:体积 a:棱长 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a 3 长方形 C周长 S面积 a边长 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4 长方体 V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5 三角形 s面积 a底 h高 第 11 页 共 12 页 11