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初中二次函数讲解比较详细二次函数知识要点讲解 定稿人：李老师 定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax²+bx+c 则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量，y是x的函数 二次函数的三种表达式 一般式：y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a0) 顶点式抛物线的顶点 P(h，k) ：y=a(x-h) ²+k 交点式仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线：y=a(x-x1)(x-x2) 以上3种形式可进行如下转化： 一般式和顶点式的关系 对于二次函数y=ax²+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b²)/4a)，即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b²)/4a 一般式和交点式的关系 x1,x2=-b±(b²-4ac)/2a(即一元二次方程求根公式) 二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴 2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b²)/4a ) 当-b/2a=0时，P在y轴上；当= b²-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于 6.抛物线与x轴交点个数 = b²-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。 = b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 = b²-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。 当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在x|x<-b/2a上是减函数，在x|x>-b/2a上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是y|y4ac-b²/4a相反不变 当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax²+c(a0) 7.定义域：R 值域：(4ac-b²)/4a，正无穷）；t，正无穷） 奇偶性：偶函数 周期性：无 解析式： y=ax²+bx+c一般式 a0 a0，则抛物线开口朝上；a0，则抛物线开口朝下； 极值点：； =b²-4ac, 0，图象与x轴交于两点： 和； 0，图象与x轴交于一点： ； 0，图象与x轴无交点； y=a(x-h) ²+t配方式 此时，对应极值点为，其中h=-b/2a，t=(4ac-b²)/4a）； 二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数y=ax²+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程， 即ax²+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1二次函数y=ax²，y=a(x-h) ²，y=a(x-h) ² +k，y=ax²+bx+c(各式中，a0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式 y=ax² y=a(x-h)² y=a(x-h)²+k y=ax²+bx+c 顶点坐标 (0，0) (h，0) (h，k) (-b/2a，4ac-b²/4a) 对 称 轴 x=0 x=h x=h x=-b/2a 当h>0时，y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到， 当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象； 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象； 当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象； 当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象； 因此，研究抛物线 y=ax²+bx+c(a0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)²+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了这给画图象提供了方便 2抛物线y=ax²+bx+c(a0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，4ac-b²/4a) 3抛物线y=ax²+bx+c(a0)，若a>0，当x -b/2a时，y随x的增大而减小；当x -b/2a时，y随x的增大而增大若a<0，当x -b/2a时，y随x的增大而增大；当x -b/2a时，y随x的增大而减小 4抛物线y=ax²+bx+c的图象与坐标轴的交点： (1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； (2)当=b²-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax²+bx+c=0 (a0)的两根这两点间的距离AB=|x-x| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由2×|A | 当=0图象与x轴只有一个交点； 当<0图象与x轴没有交点当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0 5抛物线y=ax²+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b²)/4a 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值 6用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式： y=ax²+bx+c(a0) (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)²+k(a0) (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x)(x-x)(a0) 7二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现
