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初中中考考点方程与不等式 中国教育培训领军品牌 §2 方程与不等式 教学目标 板块 方程 方程的解 一元一次方程 一元一次方程的解法 二元一次方程 二元一次方程组的解 分式方程及其应用 不等式(组) 不等式的性质 解一元一次不等式(组) 一元二次方程 教学目标 A级目标 知道方程是刻画数量关系的一个有效的数学模型 了解方程的解的概念 了解一元一次方程的有关概念 理解一元一次方程解法中的各个步骤 了解二元一次方程的有关概念 知道代入消元法和加减消元法的意义 了解分式方程的有关概念 能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义 理解不等式的基本性质 了解一元一次不等式(组)的解的意义，会在数轴上表示(确定)其解集 了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义 B级目标 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程 会用观察、画图等手段估计方程的解 会根据具体问题列出一元一次方程 能熟练掌握一元一次方程的解法；会求含有字母系数的一元一次方程的解 能根据实际问题列出二元一次方程组 掌握代入消元法和加减消元法；能选用恰当的方法解二元一次方程组 能将分式方程转化为整式方程求解 能根据具体问题中的数量关系列出不等式(组) 会利用不等式的性质比较两个实数的大小 会解一元一次不等式和由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会根据条件求整数解 能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值 C级目标 能运用方程解决有关问题 会运用一元一次方程解决简单的实际问题 会运用二元一次方程组解决实际问题 会运用分式方程解决实际问题 能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式解决简单问题 一元二次方程的解法 理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据 能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况 能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题 全力以赴赢在环雅 1 中国教育培训领军品牌 学习内容 知识梳理 一、一元一次方程 1、一元一次方程的认识及解法 板块一等式的概念和性质 1等式的概念 用等号“”来表示相等关系的式子，叫做等式 在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则 2等式的类型 矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立如：数字算式1+2=3 条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立方程x+5=6需要x=1才成立 矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立如1+2=5，x+1=x-1 注意：等式由代数式构成，但不是代数式代数式没有等号 3等式的性质 等式的性质1：等式两边都加上同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式若a=b，则a±m=b±m； 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式若a=b，ab则am=bm，=(m¹0) mm 注意： 在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边 等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同 在等式变形中，以下两个性质也经常用到：等式具有对称性，即：如果a=b，那么b=a等式具有传递性，即：如果a=b，b=c，那么a=c 板块二方程的相关概念 1方程 全力以赴赢在环雅 2 中国教育培训领军品牌 含有未知数的等式叫作方程 注意：定义中含有两层含义，即：方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必定有一个待确定的数即未知的字母二者缺一不可 2方程的次和元 方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同未知数的个数称为元 3方程的已知数和未知数 已知数：一般是具体的数值，如x+5=0中5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有a、b、c、m、n等表示 未知数：是指要求的数，未知数通常用x、y、z等字母表示如：关于x、y的方程ax-2by=c中，a、-2b、c是已知数，x、y是未知数 4方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解 5解方程 求得方程的解的过程 注意：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程 6方程解的检验 要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是 板块三一元一次方程的定义 1一元一次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数 2一元一次方程的形式 标准形式：ax+b=0的形式叫一元一次方程的标准形式 最简形式：方程ax=b叫一元一次方程的最简形式 注意： 任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证如方程x2+2x+1=x2-6是一元一次方程如果不变形，直接判断就出会现错误 方程ax=b与方程ax=b(a¹0)是不同的，方程ax=b的解需要分类讨论完成 板块四一元一次方程的解法 1解一元一次方程的一般步骤 全力以赴赢在环雅 3 中国教育培训领军品牌 去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数 注意：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号 去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号 注意：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号 移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边 注意：移项要变号；不要丢项 合并同类项：把方程化成ax=b的形式 注意：字母和其指数不变 b系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x= a注意：不要把分子、分母搞颠倒 2解一元一次方程常用的方法技巧 解一元一次方程常用的方法技巧有：整体思想、换元法、裂项、拆添项以及运用分式的恒等变形等 2、含字母系数的一次方程 板块一含字母系数的一次方程 1含字母系数的一次方程的概念 当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程 2含字母系数的一次方程的解法 含字母系数的一元一次方程总可以化为ax=b的形式，方程的解由a、b的取值范围确定 b(1)当a¹0时，x=，原方程有唯一解； a(2)当a=0且b=0时，解是任意数，原方程有无数解； (3)当a=0且b¹0时，原方程无解 板块二同解方程及方程的同解原理 1方程的解 使方程左边和右边相等的未知数的值称为方程的解 注意：方程的解是方程理论中的一个重要概念，对于方程解的概念，要学会从两个方面去运用： 求解：通过解方程，求出方程的解进而解决问题 代解：将方程的解代入原方程进行解题 2同解方程 如果方程的解都是方程的解，并且方程的解都是方程的解，那么这两个方程是同解方程 全力以赴赢在环雅 4 中国教育培训领军品牌 3方程的同解原理 方程同解原理1：方程两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程 方程同解原理2：方程两边同时乘以或除以同一个不为零的数，所得的方程与原方程是同解方程 方程同解原理3：方程f(x)g(x)=0与f(x)=0或g(x)=0是同解方程 3、含绝对值的一次方程 含绝对值的一次方程的解法 形如ax+b=c(a¹0)型的绝对值方程的解法： 当c<0时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解； b当c=0时，原方程变为ax+b=0，即ax+b=0，解得x=-； ac-b-c-b 当c>0时，原方程变为ax+b=c或ax+b=-c，解得x=或x= aa形如ax+b=cx+d(ac¹0)型的绝对值方程的解法： 根据绝对值的非负性可知cx+d³0，求出x的取值范围； 根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax+b=cx+d和ax+b=-(cx+d)； 分别解方程ax+b=cx+d和ax+b=-(cx+d)； 将求得的解代入cx+d³0检验，舍去不合条件的解 形如ax+b=cx+d(ac¹0)型的绝对值方程的解法： 根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax+b=cx+d或ax+b=-(cx+d)； 分别解方程ax+b=cx+d和ax+b=-(cx+d) 形如x-a+x-b=c(a<b)型的绝对值方程的解法： 根据绝对值的几何意义可知x-a+x-b³a-b； 当c<a-b时，此时方程无解；当c=a-b时，此时方程的解为a£x£b；当c>a-b时，分两 种情况：当x<a时，原方程的解为x=a+b-ca+b+c；当x>b时，原方程的解为x= 22形如ax+b±cx+d=ex+f(ac¹0)型的绝对值方程的解法： 找绝对值零点：令ax+b=0，得x=x1，令cx+d=0得x=x2； 零点分段讨论：不妨设x1<x2，将数轴分为三个区段，即x<x1；x1£x<x2；x³x2； 分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解 形如ax+b+cx+d=ex+f(a¹0)型的绝对值方程的解法： 解法一：由内而外去绝对值符号： 按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解 解法二：由外而内去绝对值符号： 根据绝对值的非负性可知ex+f³0，求出x的取值范围； 根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程ax+b=ex+f-(cx+d)和 ax+b=-(ex+f)-(cx+d)； 解中的两个绝对值方程 4、一元一次方程的应用 应用题是中学数学中的一类重要问题，一般通过对问题中的数量关系进行分析，适当的设未知数，找出等量关系列出全力以赴赢在环雅 5 中国教育培训领军品牌 方程加以解决很多同学见到应用题就发怵，觉得题目长，文字多，关系复杂，难以把握其实应用题关键在于读题，弄懂题意一些常见的问题，比如行程问题、工程问题、利率问题、浓度问题等等，其中的基本关系一定要深刻理解 板块一设未知数的三种方法 1直接设未知数 直接设未知数指题目问什么就设什么，它多适用于要求的未知数只有一个的情况 2间接设未知数 设间接未知数，是指所设的不是所求的，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用 3引入辅助未知数 设辅助未知数，就是为了使题目中的数量关系更加明确，可以引进辅助未知数帮助建立方程辅助未知数往往不需要求出，可以在解题时消去 注意：解应用题的方法多种多样，除此之外，还有运用逆推法解应用题、运用整体思想解应用题、运用图形图表法解应用题等等，单纯的背这些方法是没有意义的，关键还在于提高理解能力，大量练习，从而学会快速读懂题意，综合运用各种方法去求解问题 板块二列方程解应用题的步骤 1审：分析好问题中的已知量和未知量，明确各数量之间的关系，从中找出能够表示实际问题全部含义的相等关系要注意题中的相等关系有些是明显的，有些是不明显的，需要结合生活实际来发现； 2设：设未知数，一般求什么，就设什么为x，若有几个未知数，应恰当地选择其中的一个，用字母x表示出来有时直接设不容易设得话，可采用间接设； 3找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系； 4列：根据这个相等关系列出方程； 5解：解所列出的方程，求出未知数的值； 6验：检验所求得的解是否符合题意； 7答：检验所求解是否符合题意，写出答案 注意： 审题是很重要的，应反复阅读题目，用笔画出关键的语句，再找出数量之间的关系； 一般求解的几个未知量可直接设几个未知数，也可多设或少设除直接设未知数外，也可以间接设未知数； 所设未知数的单位可以与题目中要求的不同，但所列各方程的同一未知数的单位要一致，每个方程两边单位要一致，答与问的单位要一致； 全力以赴赢在环雅 6 中国教育培训领军品牌 检验包含两方面的含义：首先要检验未知数的值是不是原方程的解；其二是检验未知数的值是否符合实际意义 二、二元一次方程 1、二元一次方程组的认识及解法 板块一二元一次方程 1二元一次方程的概念 含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： 方程两边的代数式都是整式整式方程； 含有两个未知数“二元”； 含有未知数的项的次数为1“一次” 2二元一次方程的一般形式 二元一次方程的一般形式为：ax+by+c=0 3二元一次方程的解 使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解 一般情况下，一个二元一次方程有无数个解 板块二二元一次方程组 1二元一次方程组的概念 由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组 注意：二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，有的方程可以只有一元如í也是二元一次方程组 3x-y=1î2二元一次方程组的解 全力以赴赢在环雅 7 中国教育培训领军品牌 二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数 3二元一次方程组的解法 代入消元法 代入法是通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法 代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一“消元”体现了数学研究中转化的重要思想，代入法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程经常用到的方法 从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y，用另一个未知数如x的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式； y=ax+b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程； 解这个一元一次方程，求出x的值； 回代求解：把求得的x的值代入y=ax+b中求出y的值，从而得出方程组的解 ìx=a把这个方程组的解写成í的形式 y=bî加减消元法 加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程经常用到的方法 用加减法解二元一次方程组的一般步骤： 变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等； 加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； 回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值； ìx=a把这个方程组的解写成í的形式 y=bî加减消元方法的选择： 一般选择系数绝对值最小的未知数消元； 当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元； 某一未知数系数成倍数关系时，直接对一个方程变形，使其系数互为相反数或相等，再用加减消元求解； 当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解 2、含字母系数的一次方程组 板块一二元一次方程及二元一次方程的解 1二元一次方程的概念 含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程 全力以赴赢在环雅 8 中国教育培训领军品牌 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： 方程两边的代数式都是整式整式方程； 含有两个未知数“二元”； 含有未知数的项的次数为1“一次” 2二元一次方程的一般形式 二元一次方程的一般形式为：ax+by+c=0 3二元一次方程的解 使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解 一般情况下，一个二元一次方程有无数个解 板块二二元一次方程组及二元一次方程组的解 1二元一次方程组的概念 由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组 注意： 二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，其中有的方程可以只有一元如í也是二元一次方程组 3x-y=1î定义中“两个”的含义：二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数 2二元一次方程组解的情况 ìa1x+b1y=c1在x、y的方程组í中，a1、a2、b1、b2、c1、c2均为已知数，x=b2c1-b1c2 一个不等于0），则有：由´b2-´b1得：y=a1c2-a2c1 由´a2-´a1得：当a1b2-a2b1¹0时，方程组有唯一一组解； 当a1b2-a2b1=0，且b2c1-b1c2¹0，a1c2-a2c1¹0时，方程组无解； 当a1b2-a2b1=0，且b2c1-b1c2=0，a1c2-a2c1=0时，方程组有无穷多组解； 全力以赴赢在环雅 9 中国教育培训领军品牌 ìa1x+b1y=c1二元一次方程组í的解的情况有以下三种： ax+by=cî222当当a1b1c1=时，方程组有无数多解 a2b2c2a1b1c1=¹时，方程组无解 a2b2c2c1b2-c2b1ìx=ïa1b2-a2b1a1b1ï当¹时，方程组有唯一的解：í a2b2ïy=c2a1-c1a2ïa1b2-a2b1î注意： 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解，再解含待定系数的不等式或加以讨论 三、不定方程 板块一不定方程的概念 我们曾经学过一元一次方程，例如2x+3=-5，解这个方程可得x=-4如果未知数的个数不只一个，而是二个或更多个，就变成为二元一次方程或多元一次方程，例如x+y=4就是一个二元一次方程这个方程有无数多组解比ìx=1ìx=-4ìx=6.5如í，í，í等 y=8y=3y=-2.5îîî这类未知数的个数多于方程的个数的方程就叫做不定方程初中范围内通常只讨论这类方程的正整数解或整数解 板块二不定方程整数解的判定 不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解 如果方程的两端对同一个模m不同余,显然,这个方程必无整数解而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解 全力以赴赢在环雅 10 中国教育培训领军品牌 板块三不定方程整数解的求法 不定方程没有统一的解法，常用的特殊方法有:配方法、因式分解法、不等式法、奇偶分析法和余数分析法对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路 定理1：若二元一次不定方程ax+by=c，整数a和b的最大公约数不能整除c，则方程没有整数解 定理2：若整数a,b互质，则方程ax+by=1有整数解，同时方程ax+by=c也有整数解若(x0，y0)是方程ax+by=1的一个整数解，则cx0，cy0是方程ax+by=c的一个整数解 定理3：整系数方程ax+by=(a，b)有整数解 ìx=x0ìx=x0+bu定理4：如果í是满足整系数方程ax+by=c的一组整数解，则í也是满足y=yy=y-au00îî上式的整数解 这表明，满足方程的整数解有无穷组，并且在ab>0时，可选择x为正数，此时y为相应的为负数这个结论可以通过把这组解直接代入已知方程进行证明 由这个定理，只要能够观察出二元一次方程的一组整数解，就可以得到它的全部整数解 ìx=4ìx=4+5k例如，方程4x+5y=21的一组解为í，则此方程的所有整数解可表示为：í y=1-4ky=1îî注意：定理2和定理3都是“裴蜀定理”的内容 四、分式方程 1、分式方程的有关概念及其解法 1分式方程的定义 分母里含有未知数的方程叫做分式方程 2解分式方程的一般步骤 去分母，方程两边都乘以最简公分母 解所得的整式方程 验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根 解分式方程的思想：将“分式方程”转化为“整式方程”。 3用换元法解分式方程的一般步骤 (1) 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； 全力以赴赢在环雅 11 中国教育培训领军品牌 (2) 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； (3) 把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值； (4) 检验做答 注意： (1) 换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。 (2) 分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。 (3) 无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。 2、利用分式方程解应用题 1列分式方程解应用题的一般步骤 审清题意，分清已知量和未知量； 设未知数； 根据题意寻找已知的或隐含的等量关系，列分式方程； 解方程； 并验根； 写出答案。 2分式方程应用题分类： 行程类 ² 相遇问题 ² 追及问题 ² 流水问题 工程类 营销类 ² 利润与折扣问题 ² 盈亏问题 货物运输类 浓度 3行程问题 路程速度×时间； 在航行问题中，其中数量关系是 顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度 航空问题类似于航行问题 4工程问题 工作量工作效率×工作时间， 完成某项任务的各工作量的和总工作量1 全力以赴赢在环雅 12 中国教育培训领军品牌 五、不等式 1、不等式及其性质 板块一不等式的概念： 不等式： 用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： -5<-2,a+3>-1+4,x+1£0,a2+1>0,x³0,3a¹5a等都是不等式 常见的不等号有5种： “”、“”、“”、“”、“” 注意：不等式成立；而不等式也成立，因为成立，所以不等式成立 不等式的解： 使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解例如：-4，-2，0，1，2都是不等式x£2的解，当然它的解还有许多 不等式的解集： 能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解不等式的解集可以用数轴来表示 不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解 在数轴上表示不等式的解集(示意图)： 不等式的解集 在数轴上表示的示意图 x>a axx<a axx³a axx£a ax板块二不等式基本性质： 基本性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变 全力以赴赢在环雅 13 中国教育培训领军品牌 如果a>b，那么a±c>b±c 如果a<b，那么3x+2³a(x-1) 基本性质2：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变 ab如果a>b，并且c>0，那么ac>bc(或>) ccab如果a<b，并且c>0，那么ac<bc(或<) cc基本性质3：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 ab如果a>b，并且c<0，那么ac<bc(或<) cc如果a<b，并且c<0，那么ac>bc(或ax>b) 易错点：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变在计算的时候符号方向容易忘记改变 另外，不等式还具有互逆性和传递性 不等式的互逆性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b 不等式的传递性：如果a>b，b>c，那么a>c 注意：在不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，要改变不等号的方向 在不等式两边不能乘以，因为乘以后不等式将变为等式，以不等式为例，在不等式两边都乘同一个数a时，有下面三种情形： 如果a>0，那么3a>2a； 如果a=0时，那么3a=2a； 如果a<0时，那么3a<2a 板块三不等式的性质与等式性质的对比 不等式的性质 两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变 两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 主要区别：根据等式性质，方程两边可以乘以，但不能除以，而不等式性质中，不等式两边不能乘以，也不能除以 等式的性质 两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式 两边都乘(或除以)同一个数(除数不能是)，所得结果，仍是等式 板块四一元一次不等式 一元一次不等式： 经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为ax<b或ax>b的形式，其中x是未知数，a,b是已知数，并且a¹0，这样的不等式叫一元一次不等式 ax<b或ax>b(a¹0)叫做一元一次不等式的标准形式 解一元一次不等式： bb去分母去括号移项合并同类项(化成ax<b或ax>b形式)系数化一(化成x>或x<的形式) aa全力以赴赢在环雅 14 中国教育培训领军品牌 2、解一元一次不等式组 一元一次不等式组的有关概念： 一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组 ì1ïx-3³0例如í2是一元一次不等式组，定义中的“几个”并没有确定个数，但必 ïîx+8<4x-1须是两个或两个以上； 另外，这里的几个一元一次不等式组必须含有同一个未知数，否则就不是一元一次 ìx>2方程组了，例如，不等式组í中的每一个不等式虽然都是一元一次不等式，但 îy<4在这个不等式组中，未知数共有两个，所以这个不等式组不是一元一次不等式组 一元一次不等式组的解集： 一般地，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集，当几个不等式的解集没有公共部分时，称这个不等式组无解(解集为空集) 解一元一次不等式组的步骤： 求出这个不等式组中各个不等式的解集； 利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出这个不等式组的解集 由两个一元一次不等式组成的不等式组，经过整理可以归结为下述四种基本类型：(表中a>b) 不等式 图示 解集 x>a baìx>a íx>bî(同大取大数) ìx<a íx<bîx<b ba(同小取小数) ìx<a íx>bîb<x<a ba(大小交叉中间找) ìx>a íx<bîba无解 (大大小小没有解) 全力以赴赢在环雅 15 中国教育培训领军品牌 六、一元二次方程 1、一元二次方程的认识及解法 板块一一元二次方程的定义 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a¹0)，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项 要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： 一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式 一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数 一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2 任何一个关于x的一元二次方程经过整理都可以化为一般式ax2+bx+c=0(a¹0) 要特别注意对于关于x的方程ax2+bx+c=0，当a¹0时，方程是一元二次方程；当a=0且b¹0时，方程是一元一次方程 关于x的一元二次方程式ax2+bx+c=0(a¹0)的项与各项的系数 ax2为二次项，其系数为a；bx为一次项，其系数为b；c为常数项 板块二一元二次方程的解法 一元二次方程的解法： 直接开平方法：适用于解形如(x+a)2=b(b³0)的一元二次方程 配方法：解形如ax2+bx+c=0(a¹0)的一元二次方程， 运用配方法解一元二次方程的一般步骤是： 二次项系数化1 常数项右移 配方 化成(x+m)2=n的形式 若n³0，选用直接开平方法得出方程的解 公式法： 设一元二次方程为ax2+bx+c=0(a¹0)，其根的判别式为：D=b2-4ac，x1,x2是方程的两根，则： -b±b2-4acD>0Û方程ax+bx+c=0(a¹0)有两个不相等的实数根x1,2= 2abD=0Û方程ax2+bx+c=0(a¹0)有两个相等的实数根x1=x2=- 2aD<0Û方程ax2+bx+c=0(a¹0)没有实数根 2若a、b、c为有理数，且D为完全平方式，则方程的解为有理根； 若D为完全平方式，同时-b±b2-4ac是2a的整数倍，则方程的根为整数根 运用公式法解一元二次方程的一般步骤是： 把方程化为一般形式 全力以赴赢在环雅 16 中国教育培训领军品牌 确定a、b、c的值 计算b2-4ac的值 若b2-4ac³0，则代入公式求方程的根 若b2-4ac<0，则方程无解 因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式 2一元二次方程解法的灵活运用 直接开方法，配方法，公式法，因式分解法在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法 因式分解法：适用于右边为0，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法 公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算b2-4ac的值 直接开平方法：用于缺少一次项以及形如ax2=b或(x+a)=b(b0)或 2(ax+b)2=(cx+d)的方程，能利用平方根的意义得到方程的解 2配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的把一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0转化为它的简单形式Ax2=B，这种转化方法就是配方，具体方法为： æ2bb2öæb2öbö4ac-b2æax+bx+c=açx+x+2÷+çc-÷=açx+ ÷+a4a4a2a4aèøèøèø22bö4ac-b2æ所以方程ax+bx+c=0就转化为açx+÷+的形式， 2aø4aè22böb2-4acæ即çx+÷=，之后再用直接开平方法就可得到方程的解 22a4aèø2板块三可化为一元二次方程的特殊方程 解方程的基本思想： 化分式方程为整式方程 化高次方程为一次或二次方程 化多元为一元 化无理方程为有理方程 总之：最后转化为一元一次方程或一元二次方程 解方程的基本方法： 解整式方程：一般采用消元，降次等方法 解分式方程：一般采用去分母、换元法、重组法、两边夹等方法 解无理方程：一般采用两边平方、根式的定义、性质、换元、构造、三角函数等方法 2、一元二次方程根的判别式 板块一一元二次方程根的判别式的定义 b2b2-4ac运用配方法解一元二次方程过程中得到(x+)=，显然只有当b2-4ac³0时，才能直接开平方得：22a4a全力以赴赢在环雅 17 中国教育培训领军品牌 bb2-4acx+=± 2a4a2也就是说，一元二次方程ax2+bx+c=0(a¹0)只有当系数a、b、c满足条件D=b2-4ac³0时才有实数根这里b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式 板块二判别式与根的关系 在实数范围内，一元二次方程ax2+bx+c=0(a¹0)的根由其系数a、b、c确定，它的根的情况由D=b2-4ac确定 设一元二次方程为ax2+bx+c=0(a¹0)，其根的判别式为：D=b2-4ac则 -b±b2-4acD>0Û方程ax+bx+c=0(a¹0)有两个不相等的实数根x1,2= 2abD=0Û方程ax2+bx+c=0(a¹0)有两个相等的实数根x1=x2=- 2a2D<0Û方程ax+bx+c=0(a¹0)没有实数根 2若a，b，c为有理数，且D为完全平方式，则方程的解为有理根； 若D为完全平方式，同时-b±b2-4ac是2a的整数倍，则方程的根为整数根 说明： 用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有 两个不相等的实数根时，D>0；有两个相等的实数根时，D=0；没有实数根时，D<0 在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式D=b2-4ac判定方程的根的情况当D=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个根 当a>0时Û抛物线开口向上Û顶点为其最低点； 当a<0时Û抛物线开口向下Û顶点为其最高点 板块三一元二次方程的根的判别式的应用 一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： (1)运用判别式，判定方程实数根的个数； (2)利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； (3)通过判别式，证明与方程相关的代数问题； (4)借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题 3、一元二次方程根与系数的关