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初三数学上册知识点初三数学上册知识点 第一章 实数 重点 实数的有关概念及性质，实数的运算 内容提要 一、 重要概念 1数的分类及概念 数系表： 说明：“分类”的原则：1）相称 2）有标准 2非负数：正实数与零的统称。 常见的非负数有： 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。 3倒数： 定义及表示法 性质：A.a1/a;B.1/a中，a0;C.0a1时1/a1;a1时，1/a1;D.积为1。 4相反数： 定义及表示法 性质：A.a0时，a-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。 5数轴：定义 作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。 6奇数、偶数、质数、合数 定义及表示： 奇数：2n-1 偶数：2n 7绝对值：定义： 代数定义： 几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 a0,符号“”是“非负数”的标志;数a的绝对值只有一个;处理任何类型的题目，只要其中有“”出现，其关键一步是去掉“”符号。 二、 实数的运算 1 运算法则 2 运算定律 3 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.从“左” 到“右”;C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。 三、 应用举例 附：典型例题 1 已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：x-a+x-b =b-a. 2.已知：a-b=-2且ab<0，判断a、b的符号。 第二章 代数式 重点代数式的有关概念及性质，代数式的运算 内容提要 一、 重要概念 分类： 1.代数式与有理式 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独 的一个数或字母也是代数式。 整式和分式统称为有理式。 2.整式和分式 含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。 没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。 有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。 3.单项式与多项式 没有加减运算的整式叫做单项式。 几个单项式的和，叫做多项式。 说明：根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如， =x, =x等。 4.系数与指数 区别与联系：从位置上看;从表示的意义上看 5.同类项及其合并 条件：字母相同;相同字母的指数相同 合并依据：乘法分配律 6.根式 表示方根的代数式叫做根式。 含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。 注意：从外形上判断;区别： 、 是根式，但不是无理式。 7.算术平方根 正数a的正的平方根; 算术平方根与绝对值 联系：都是非负数， =a 区别：a中，a为一切实数; 中，a为非负数。 8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化 化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 满足条件：被开方数的因数是整数，因式是整式;被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。 把分母中的根号划去叫做分母有理化。 9.指数 ( 幂，乘方运算) a0时， 0;a0时， 0， 0 零指数： =1 负整指数： =1/ 二、 运算定律、性质、法则 1分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则 2分式的性质 基本性质： = 符号法则： 繁分式：定义;化简方法 3整式运算法则 4幂的运算性质： = ; ÷ = ; = ; = ; 技巧： 5乘法法则：单×单;单×多;多×多。 6乘法公式： = (a±b) = 7除法法则：单÷单;多÷单。 8因式分解：定义;方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分组分解法;E.求根公式法。 9算术根的性质： ; ; (a0,b0); (a0,b0)(正用、逆用) 10根式运算法则：加法法则;乘、除法法则;分母有理化：A. ;B. ;C. . 11科学记数法： 四、 数式综合运算 第三章 统计初步 重点 内容提要 一、 重要概念 1.总体：考察对象的全体。 2.个体：总体中每一个考察对象。 3.样本：从总体中抽出的一部分个体。 4.样本容量：样本中个体的数目。 5.众数：一组数据中，出现次数最多的数据。 6.中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数 二、 计算方法 1.样本平均数： ;若 ， ， ,则 (a常数， ， ， 接近较整的常数a);加权平均数： ;平均数是刻划数据的集中趋势的特征数。通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。 2样本方差： ;若 , , ,则 ;若 、 、 较“小”较“整”，则 ;样本方差是刻划数据的离散程度的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。 3样本标准差： 三、 应用举例 第四章 直线形 重点相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。 内容提要 一、 直线、相交线、平行线 1线段、射线、直线三者的区别与联系 从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。 2线段的中点及表示 3直线、线段的基本性质 4两点间的距离 5角 6互为余角、互为补角及表示方法 7角的平分线及其表示 8垂线及基本性质 9对顶角及性质 10平行线及判定与性质 11常用定理：同平行于一条直线的两条直线平行;同垂直于一条直线的两条直线平行。 12定义、命题、命题的组成 13公理、定理 14逆命题 二、 三角形 分类：按边分; 按角分 1定义 2三角形的边角关系：角与角：内角和及推论;外角和;n边形内角和;n边形外角和。边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。角与边：在同一三角形中， 3三角形的主要线段 讨论：定义××线的交点三角形的×心性质 高线中线角平分线中垂线中位线 一般三角形特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形 4特殊三角形的判定与性质 5全等三角形 一般三角形全等的判定 特殊三角形全等的判定：一般方法专用方法 6三角形的面积 一般计算公式性质：等底等高的三角形面积相等。 7重要辅助线 中点配中点构成中位线;加倍中线;添加辅助平行线 8证明方法 直接证法：综合法、分析法 间接证法反证法：反设归谬结论 证线段相等、角相等常通过证三角形全等 证线段倍分关系：加倍法、折半法 证线段和差关系：延结法、截余法 证面积关系：将面积表示出来 三、 四边形 分类表： 1一般性质 内角和：360° 顺次连结各边中点得平行四边形。 推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。 推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。 外角和：360° 2特殊四边形 研究它们的一般方法: 平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定 判定步骤：四边形平行四边形矩形正方形 菱形 对角线的纽带作用： 3对称图形 轴对称;中心对称 4有关定理：平行线等分线段定理及其推论1、2 三角形、梯形的中位线定理 平行线间的距离处处相等。 5重要辅助线：常连结四边形的对角线;梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。 6作图：任意等分线段。 四、 应用举例 第五章 方程 重点一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法;方程的有关应用题 内容提要 一、 基本概念 1方程、方程的解、方程组的解、解方程 2 分类： 二、 解方程的依据等式性质 1a=ba+c=b+c 2a=bac=bc (c0) 三、 解法 1一元一次方程的解法：去分母去括号移项合并同类项 系数化成1解。 2 元一次方程组的解法：基本思想：“消元”方法：代入法 加减法 四、 一元二次方程 1定义及一般形式： 2解法：直接开平方法 配方法 公式法： 因式分解法 3根的判别式： 4根与系数顶的关系： 逆定理：若 ，则以 为根的一元二次方程是： 。 5常用等式： 五、 可化为一元二次方程的方程 1分式方程 定义 基本思想： 基本解法：去分母法换元法 验根及方法 2无理方程 定义 基本思想： 基本解法：乘方法换元法验根及方法 3简单的二元二次方程组 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。 六、 列方程解应用题 一概述 列方程解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是： 审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。 设元。直接未知数间接未知数。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。 用含未知数的代数式表示相关的量。 寻找相等关系，列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。 解方程及检验。 答案。 综上所述，列方程解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题，在由数学问题的解决而导致实际问题的解决。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。 二常用的相等关系 1 行程问题 基本关系：s=vt 相遇问题(同时出发)： 追及问题： 若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则 水中航行： ; 2 配料问题：溶质=溶液×浓度 溶液=溶质+溶剂 3增长率问题： 4工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间。 5几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。 三注意语言与解析式的互化 如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为”、“同时”、“扩大为”、“扩大了”、 又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。 四注意从语言叙述中写出相等关系。 如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。五注意单位换算 如，“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。 七、应用举例 第六章 一元一次不等式 重点一元一次不等式的性质、解法 内容提要 1 定义：ab、ab、ab、ab、ab。 2 一元一次不等式：axb、axb、axb、axb、axb(a0)。 3 一元一次不等式组： 4 不等式的性质：a>ba+c>b+c a>bac>bc(c>0) a>bac<bc(c<0) a>b,b>ca>c a>b,c>da+c>b+d. 5一元一次不等式的解、解一元一次不等式 6一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组 7应用举例 第七章 相似形 重点相似三角形的判定和性质 内容提要 一、本章的两套定理 第一套： 涉及概念：第四比例项比例中项比的前项、后项，比的内项、外项黄金分割等。 第二套： 注意：定理中“对应”二字的含义; 平行相似平行。 二、相似三角形性质 1对应线段;2对应周长;3对应面积。 三、相关作图 作第四比例项;作比例中项。 四、证题规律、辅助线 1“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。 2找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来 3添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。 4对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。 5对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形“抽”出来的办法处理。 五、 应用举例 第八章 函数及其图象 重点正、反比例函数，一次、二次函数的图象和性质。 内容提要 一、平面直角坐标系 1各象限内点的坐标的特点 2坐标轴上点的坐标的特点 3关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点 4坐标平面内点与有序实数对的对应关系 二、函数 1表示方法：解析法;列表法;图象法。 2确定自变量取值范围的原则：使代数式有意义;使实际问题有 意义。 3画函数图象：列表;描点;连线。 三、几种特殊函数 1 正比例函数 定义：y=kx(k0) 或y/x=k。 图象：直线 性质：k>0，k<0， 2 一次函数 定义：y=kx+b(k0) 图象：直线过点与y轴的交点和与x轴的交点。 性质：k>0,k<0, 图象的四种情况： 3 二次函数 定义： 特殊地， 都是二次函数。 图象：抛物线。 用配方法变为，则顶点为;对称轴为直线x=h;a>0时，开口向上;a<0时，开口向下。 性质：a>0时，在对称轴左侧，右侧;a<0时，在对称轴左侧，右侧。 4.反比例函数 定义： 或xy=k(k0)。 图象：双曲线用描点法画出。 性质：k>0时，图象位于，y随x;k<0时，图象位于，y随x;两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。 四、重要解题方法 1用待定系数法求解析式。对求二次函数的解析式，要合理选用一般式或顶点式，并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点，寻找新的点的坐标。如下图： 2利用图象一次函数、反比例函数、二次函数中的k、b;a、b、c的符号。 六、应用举例 第九章 解直角三角形 重点解直角三角形 内容提要 一、三角函数 1定义：在RtABC中，C=Rt，则sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= . 2 特殊角的三角函数值： 0° 30° 45° 60° 90° sin cos tg / ctg / 3 互余两角的三角函数关系：sin(90°-)=cos; 4 三角函数值随角度变化的关系 5查三角函数表 二、解直角三角形 1 定义：已知边和角所有未知的边和角。 2 依据：边的关系： 角的关系：A+B=90° 边角关系：三角函数的定义。 注意：尽量避免使用中间数据和除法。 三、对实际问题的处理 1 俯、仰角： 2方位角、象限角： 3坡度： 4在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。 四、应用举例 第十章 圆 重点圆的重要性质;直线与圆、圆与圆的位置关系;与圆有关的角的定理;与圆有关的比例线段定理。 内容提要 一、圆的基本性质 1圆的定义 2有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 3“三点定圆”定理 4垂径定理及其推论 5“等对等”定理及其推论 5 与圆有关的角：圆心角定义 圆周角定义 弦切角定义 二、直线和圆的位置关系 1.三种位置及判定与性质： 2.切线的性质 3.切线的判定定理。圆的切线的判定有 4切线长定理 三、圆换圆的位置关系 1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切) 2.相切两圆连心线的性质定理 3.两圆的公切线：定义性质 四、与圆有关的比例线段 1.相交弦定理 2.切割线定理 五、与和正多边形 1.圆的内接、外切多边形 2.三角形的外接圆、内切圆及性质 3.圆的外切四边形、内接四边形的性质 4.正多边形及计算 中心角： 内角的一半： (右图) 六、 一组计算公式 1.圆周长公式 2.圆面积公式 3.扇形面积公式 4.弧长公式 5.弓形面积的计算方法 6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算 七、 点的轨迹 六条基本轨迹 八、 有关作图 1.作三角形的外接圆、内切圆 2.平分已知弧 3.作已知两线段的比例中项 4.等分圆周：4、8;6、3等分 九、 基本图形 十、 重要辅助线 1.作半径 2.见弦往往作弦心距 3.见直径往往作直径上的圆周角 4.切点圆心莫忘连 5.两圆相切公切线 6.两圆相交公共弦