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初三中考数学几何变换历年真题和考点总结中国教育培训领军品牌 §7 几何变换 教学目标 板块 教学目标 A级目标 了解图形平移，理解平移中对应点连线平行(或在同一条直线上)且相等的性质 B级目标 能按要求作出简单平面图形平移后的图形；能依据平移前后的图形，指出平移的方向和距离 能按要求作出简单平面图形经过一次C级目标 能运用平移的知识解决简单的计算问题；能运用平移的知识进行图案设计 平移 轴对称 了解图形的轴对称，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；了解物体的镜面对称 或两次轴对称后的图形；掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；掌握基本图形的轴对称性及其相关性质 能运用轴对称进行图案设计 能运用旋转的了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前后的图形，指出旋转中心和旋转角 知识解决简单的计算问题；能运用旋转的知识进行图案设计 旋转 距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形 比例及定理 熟知定理内容 会运用定理及其推掌握平行线分线段成比例定理的内容论的内容来解决相以及其推论，同时会运用定理解决问题 似的问题 掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型 会运用相似三角形相关的知识解决有关问题 相似三角形 了解相似三角形 全力以赴赢在环雅 1 中国教育培训领军品牌 学习内容 知识梳理 一、几何变换 1、几何变换 几何变换是一类重要的解题方法，通过几何变换可以把图形变得更对称、更美观、更便于处理；通过几何变换可以将互不相邻的元素集中到一起，使我们能够更有效地利用条件；通过几何变换还可以自然地利用图形本身的对称性，有意无意地将我们平时注意不到的条件运用到解题中 几何变换可以分为以下几类： 1平移：即保持点沿同一方向移动相同距离，且保持线段平行的变换平移的性质有：保持角度不变，保持几何图形全等 2轴对称：将图形沿直线翻折轴对称的性质有：对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段的交点在对称轴上，保持几何图形全等 3中心对称：将图形关于一个点对称中心对称的性质有：对应点的连线的中点永远是对称中心，保持几何图形全等 4旋转：即将平面图形绕一个定点旋转一个角度旋转的性质有：对应点到旋转中心的距离相等，对应直线的夹角等于旋转角，保持几何图形全等 5位似：将图形关于一个点作放大或缩小变换初中几何暂时不涉及这部分内容 2、平移变换 1平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小 注：平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换 图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据 图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据 2平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等(或在同一直线上)，对应线段平行且相等，对应角相等 平移变换前后的图形具有如下性质： 对应线段平行(或共线)且相等； 对应角的两边分别平行且方向一致； 对应的图形是全等形 注：要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据 3简单的平移作图 想一想： 生活中的图形是由什么构成的？结论：点、线、面 全力以赴赢在环雅 2 中国教育培训领军品牌 我们知道线可以看作是由许多点构成的，给出一条线段和它平移后的一个端点的位置，你能否作出它平移后的图形呢？结论：在进行平移作图时，要知道平移的距离和方向，利用平移的相关性质(如：平移不改变图形的大小和形状等)作图，要找出图形的关键点 平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：图形原来的位置；平移的方向；平移的距离 平移变换的方法应用 平移变换时通过作平行线的手段把图形中的某条线段或某个角移动到一个新的位置上，使图形中分散的条件与结论有机地联系起来 平移法在应用时有三种情况： 平移条件：把条件中的某条线段或角平移； 平移结论：把结论中的线段或角平移； 同时平移条件或结论：是把图形中条件或结论中的线段或角同时平移 5平移变换的主要功能： 把分散的线段、角相对集中起来，从而使已知条件集中在一个基本图形之中，而产生进一步的更加深入的结果，这种思想我们称之为“集散思想”或者通过平移产生新的图形，而使问题得以转化 应用平移变换可以把一个角在保持大小不变、角的两边方向不变的情况下移动位置也可以使线段在保持平行且相等的条件下移动位置，从而达到相关几何元素相对集中、使元素之间的关系明朗化的目的因为应用平移变换可以把角在保持大小不变、角的两边方向不变的情况下移动位置，也可以使线段在保持平行且相等的条件下移动位置，因此，当条件中有平行四边形、中点、中位线等情形时，常常可以作平移变换以集中条件、解决问题 3、翻折变换 轴对称图形： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时我们就说这个图形关于这条直线对称. 如下图，DABC是轴对称图形. 两个图形轴对称： 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 如下图，DABC与DA'B'C'关于直线l对称，l叫做对称轴.A和A',B和B'，C和C'是对称点. 轴对称图形和两个图形轴对称的区别和联系： 区图形的个数 别 对称轴的条数 联系 对称轴的性质： 全力以赴赢在环雅 轴对称图形 1个图形 一条或多条 两个图形轴对称 2个图形 只有1条 二者都的关于对称轴对称的 3 中国教育培训领军品牌 对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.即：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 线段的垂直平分线： 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 如图，直线l经过线段AB的中点O，并且垂直于线段AB，则直线l就是线段AB的垂直平分线. 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 如图，点P是线段AB垂直平分线上的点，则PA=PB. 线段垂直平分线的判定： 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 成轴对称的两个图形的对称轴的画法： 如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴. 成轴对称的两个图形的主要性质： 成轴对称的两个图形全等 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线 轴对称变换的方法应用： 轴对称变换是通过作图形关于一直线的对称图形的手段，把图形中的某一图形对称地移动到一个新的位置上，使图形中的分散条件和结论有机地联系起来常用的辅助线有角平分线条件时的各种辅助线，本质上都是对称变换的思想 轴对称变换应用时有下面两种情况： 图形中有轴对称图形条件时，可考虑用此变换； 图形中有垂线条件时，可考虑用此变换 4、旋转有关概念 旋转：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P'，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点(如图) PQP'OQ'注意：研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角 每一组对应点所构成的旋转角相等 旋转的性质： 旋转后的图形与原图形是全等的；(进而得到相等的线段、相等的角) 全力以赴赢在环雅 4 中国教育培训领军品牌 旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；(进而得到等腰三角形) 对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；(若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形) 旋转作图的基本步骤： 由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件： 旋转中心；旋转方向及旋转角度 具体步骤分以下几步： 连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心 转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角) 截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点 连：即连接所得到的各点 5、中心对称 中心对称的有关概念： 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点(如图) DAOBC注意： 两个图形成中心对称是旋转角为定角(180°)的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系 中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系 中心对称的特征： 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分 关于中心对称的两个图形是全等图形 关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等 如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称 中心对称图形： 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心(如图) ADOBC中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的一个图形若把中心对称图形的两个部分分别看作两个图形，则他们成中心对称；若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形 关于原点对称的点的坐标特征： 两个点关于原点对称时，他们坐标符号相反，反过来，只要两个点的坐标符号相反，则两个点关于原点对称 中心对称图形与旋转对称图形的比较： 名称 定义 区 别 联 系 全力以赴赢在环雅 5 中国教育培训领军品牌 旋转对称图形 如果一个图形绕着某一点旋转角度不一旋转一定角度(小于周角)定是180° 后能与原图形完全重合，那么这个图形叫做旋转对称图形 中心对称如果一个图形绕某一点旋必须旋转180° 图形 转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形 中心对称图形与轴对称图形比较： 名称 定义 基本图形 中心对称图形 如果一个图形绕着某点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形 轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线翻折180°后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这样的图形叫做轴对称图形 沿某一条直线翻折180°(对折) 线段、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆 旋转对称图形只有旋转180°才是中心对称图形，而中心对称图形一定是旋转对称图形 区别 绕某一点旋转180° 举例 线段、平行四边形、矩形、菱形、圆 180°二、相似 1、比例线段 板块一比例的性质 1234567ac=Ûad=bc,这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式; bdacbd=Û=(反比定理); bdacacabdc=Û=(或=)(更比定理); bdcdbaaca+bc+d(合比定理); =Û=bdbdaca-bc-d(分比定理); =Û=bdbdaca+bc+d(合分比定理); =Û=bda-bc-dacma+c+×××+ma=×××=(b+d+×××+n¹0)Û=(等比定理). bdnb+d+×××+nb全力以赴赢在环雅 6 中国教育培训领军品牌 板块二成比例线段 1比例线段 b，c，d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如对于四条线段a，ac=b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段 ，那么这四条线段a，2比例的项 acb，c的第四比例项 在比例式=中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项，d叫做a，bdab三条线段=中，b叫做a和c的比例中项 bc3黄金分割 ACB如图，若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC和BC，且使AC是AB和BC的比例中项则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中AC=23-5BC=AB»0.382AB，AC与AB的比叫做黄金比 2板块三平行线分线段成比例定理 1定理 三条直线截两条直线，截得的对应线段成比例 2推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例 3推论的逆定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 4三角形一边的平行线性质 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例 如图，ABCDEF，则ACBDCEDFACBDCEDF若将AC称为上，CE称为下，AE称=，=，=，=CEDFACBDAEBFAEBF上上下下上上下下=，=，=，= 下下上上全全全全ACEBDCEABDF为全，上述比例式可以形象地表示为F当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“A”字型，“X”字型则有BCEFÛAEAFAEAFEF =，=EBFCABACBC全力以赴赢在环雅 7 中国教育培训领军品牌 AEBFCFABEC板块四拓展定理 1、梅涅劳斯定理 梅内劳斯，是希腊数学家兼天文学家梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理 梅涅劳斯定理：X、Y、Z分别是ABC三边所在直线BC、CA、AB上的点则X、Y、Z共线的充分必要条件是：CXBZAY××=1 XBZAYC根据命题的条件可以画出如图所示的两个图形：或X、Y、Z三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其它两点在三角形的边上；或X、Y、Z三点分别都在三角形三边的延长线上 AZbBaYcCXYZabBAcCX证明：必要性，即若X、Y、Z三点共线，则CXBZAY××=1 XBZAYC设A、B、C到直线XYZ的距离分别为a、b、c则 CXcBZbAYaCXBZAYcba=，=、=，三式相乘即得××=××=1 XBbZAaYCcXBZAYCbacCXBZAY××=1，则X、Y、Z三点共线 XBZAYCCXBZAY¢设直线XZ交AC于Y¢，由已证必要性得：××=1 XBZAY¢CCXBZAYAY¢AY又因为 ××=1，所以=¢XBZAYCYCYC因为Y¢和Y或同在AC线段上，或同在AC边的延长线上，并且能分得比值相等，所以Y¢和Y比重合为一点，也充分性，即若就是X、Y、Z三点共线 梅涅劳斯定理的应用，一是求共线线段的笔，即在是证明三点共线 CXBZAY、三个比中，已知其中两个可以求得第三个二ZAXBYC2、塞瓦定理 连结三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线塞瓦是意大利数学家兼水利工程师他在XX年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理 CZ则AX，BY，CZ共点的充分必要条件是塞瓦定理：从ABC的每个顶点出发作一条塞瓦线AX，BY，全力以赴赢在环雅 8 中国教育培训领军品牌 BXCYAZ××=1 XCYAZBC'ZPBAB'YXCCZ共点，则必有充分性命题：设ABC的三条塞瓦线AX，BY，CZ是三条塞瓦线，如果必要性命题：设ABC中，AX，BY，BXCYAZ××=1 XCYAZBBXCYAZCZ三线共点 ××=1，则AX，BY，XCYAZB我们先证明充分性命题 C¢由平行截割定CZ相交于P点，过A作BC边的平行线，分别交BY，CZ的延长线于B¢，如图，设AX，BY，理，得BXCYAZBXAB¢CYBCAZAC¢上面三式两边分别相乘得：××=1 =，=，=¢¢XCYAZBXCACYAABZBBC我们再证明必要性命题 AZ'ZYPBXC假设AX与BY这两条塞瓦线相交于P点，连CP交AB于Z¢则CZ¢也是一条过P点的ABC的塞瓦线根据已¢BXCYAZBXCYAZAZ¢AZAZ¢AZ证充分性命题，可得所以，因此××=1，由因为××=1，进而可得=¢BXCYAZXCYAZBZ¢BZBABABCZ共点 AZ¢=AZ所以Z¢与Z重合，从而CZ¢和CZ重合，于是得出AX，BY，塞瓦定理在平面几何证题中有着举足轻重的作用第一方面，利用塞瓦定理的必要性可证明三线共点问题第二方面，当一个三角形有三条塞瓦线共点时，依据塞瓦定理的充分性命题，就可以得出六条线段比例乘积等于1的关系式利用这个关系式可以证明线段之间的比例式或乘积式 2、相似三角形 板块一相似的有关概念 1相似形 具有相同形状的图形叫做相似形相似形仅是形状相同，大小不一定相同相似图形之间的互相变换称为相似变换 全力以赴赢在环雅 9 中国教育培训领军品牌 2相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等 3相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例 板块二相似三角形的概念 1相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形 如图，ABC与A¢B¢C¢相似，记作ABCA¢B¢C¢，符号读作“相似于” 2相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比全等三角形的相似比是1“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形” 板块三相似三角形的性质 1相似三角形的对应角相等 如图，ABC与A¢B¢C¢ÐA=ÐA¢，ÐB=ÐB¢，ÐC=ÐC¢ AA'相似，则有AA'BBCB'C'CB'C'2相似三角形的对应边成比例 如图，ABC与A¢B¢C¢相似，则有ABBCAC =kA¢B¢B¢C¢A¢C¢AA'BCB'C'3相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比 如图1，ABC与A¢B¢C¢相似，AM是ABC中BC边上的中线，A¢M¢是A¢B¢C¢中B¢C¢边上的中线，则有ABBCACAM =k=A¢B¢B¢C¢A¢C¢A¢M¢全力以赴赢在环雅 10 中国教育培训领军品牌 AA'BMCB'M'C'图1 如图2，ABC与A¢B¢C¢相似，AH是ABC中BC边上的高线，A¢H¢是A¢B¢C¢中B¢C¢边上的高线，则有ABBCACAH =k=A¢B¢B¢C¢A¢C¢A¢H¢AA'BHCB'H'C'图2 如图3，ABC与A¢B¢C¢相似，AD是ABC中ÐBAC的角平分线，A¢D¢是A¢B¢C¢中ÐB¢A¢C¢的角平分线，ABBCACAD则有 =k=A¢B¢B¢C¢A¢C¢A¢D¢AA'BDCB'D'C'图3 4相似三角形周长的比等于相似比 如图4，ABC与A¢B¢C¢相似，则有ABBCAC应用比例的等比性质有=kA¢B¢B¢C¢A¢C¢ABBCACAB+BC+AC=k ¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢ABBCACAB+BC+ACAA'BCB'C'图4 5相似三角形面积的比等于相似比的平方 全力以赴赢在环雅 11 中国教育培训领军品牌 如图5，ABC与A¢B¢C¢相似，AH是ABC中BC边上的高线，A¢H¢是A¢B¢C¢中B¢C¢边上的高线，则有1×BC×AHSABCBCAHABBCACAH2进而可得=×=k2 =k=SA¢B¢C¢1×B¢C¢×A¢H¢B¢C¢A¢H¢A¢B¢B¢C¢A¢C¢A¢H¢2AA'BHCB'H'C'图5 板块四相似三角形的判定 1平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 2如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似 3如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 4如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似 5如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 6直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似 7如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似 板块五相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式 证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法” 1横向定型法 ABBC，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC，三个字母A，B，C恰为ABC的顶点；分=BEBF母的两条线段是BE和BF，三个字母B，E，F恰为BEF的三个顶点因此只需证ABCEBF 欲证2纵向定型法 ABDE，纵向观察，比例式左边的比AB和BC中的三个字母A，B，C恰为ABC的顶点；右边的比两条=BCEF线段是DE和EF中的三个字母D，E，F恰为DEF的三个顶点因此只需证ABCDEF 欲证3中间比法 全力以赴赢在环雅 12 中国教育培训领军品牌 由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形这种方法就是等量代换法在证明比例式时，常用到中间比 比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解 倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之 复合式的证明比较复杂通常需要进行等线代换，等比代换，等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明 板块六相似证明中常见辅助线的作法 在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等 BDAB如图：AD平分ÐBAC交BC于D，求证： =DCAC证法一：过C作CEAD，交BA的延长线于E Ð1=ÐE，Ð2=Ð3 Ð1=Ð2，Ð3=ÐEAC=AE BDBABAADCE， =DCBEAC点评：做平行线构造成比例线段，利用了“A”型图的基本模型 证法二；过B作AC的平行线，交AD的延长线于E Ð1=Ð2=ÐE，AB=BE BDBEABBEAC， =DCACAC点评：做平行线构造成比例线段，利用了“X”型图的基本模型 A123BDCE板块七相似证明中的面积法 面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题 常用的面积法基本模型如下： AA12BDCBCHDE图1：“山字”型全力以赴赢在环雅 13 中国教育培训领军品牌 1×BC×AHBC2 =1CD×CD×AH2A如图：SABCSACDBHOGDC如图：SABCSBCD1×BC×AHAHAO2 =1DGOD×BC×DG2图2：“田字”型AEDBC图3：“燕尾”型如图： SABDSABDSAEDABADAB×AD=×=×= SACESAEDSACEAEACAE×AC板块八相似证明中的基本模型 AIAAEDFAEEDEFDBBCBCGCBDHGCABOABOAEBAFBECDCDCFDCD全力以赴赢在环雅 14 中国教育培训领军品牌 AAOBCBCDDEBCEDBCAAEHDAAEACBDCBCDBDCADBADEBCFBGDEADEFBCAGDFBMPBECBECECBHECDAGDAEBFCFGCAFNADFGDAFH全力以赴赢在环雅 15 中国教育培训领军品牌 例题讲解 板块一：几何变换 考点一：轴对称图形 例1 娜娜有一个问题请教你，下列图形中对称轴只有两条的是 A B C D 圆等边三角形矩形等腰梯形 考点：轴对称图形 分析：根据轴对称图形的概念，分别判断出四个图形的对称轴的条数即可 解答：解：A、圆有无数条对称轴，故本选项错误； B、等边三角形有3条对称轴，故本选项错误； C、矩形有2条对称轴，故本选项正确； D、等腰梯形有1条对称轴，故本选项错误 故选C 点评：本题考查轴对称图形的概念，解题关键是能够根据轴对称图形的概念正确找出各个图形的对称轴的条数，属于基础题 例2 如图，在平面直角坐标系xOy中，点P关于y轴的对称点的坐标为 A B C D 考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标 分析：根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答 解答：解：点P关于y轴的对称点的坐标为 故选B 点评：本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： 关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； 关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； 关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数 全力以赴赢在环雅 16 中国教育培训领军品牌 对应训练 1. 下列交通标志图案是轴对称图形的是 A B C D 考点：轴对称图形 专题：常规题型 分析：根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解 解答：解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误 故选B 点评：本题考查了轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合 2在平面直角坐标系中，点P关于x轴的对称点的坐标为 A B C D 考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标 分析：根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答 解答：解：点P关于x轴的对称点的坐标为 故选A 点评：本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： 关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； 关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； 关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数 考点二：最短路线问题 12x+bx-2与x轴交于A、B两点，与y交于C点，且A，点M如图，抛物线y= 0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，m的值是 A25 40B24 4123 40D25 41全力以赴赢在环雅 17 中国教育培训领军品牌 考点：轴对称-最短路线问题；二次函数的性质；相似三角形的判定与性质 分析：首先可求得二次函数的顶点坐标，再求得C关于x轴的对称点C，求得直线CD的解析式，与x轴的交点的横坐标即是m的值 解答：解：点A在抛物线y=12x+bx-2上， 21×2+b×-2=0， 23b=-， 213抛物线的解析式为y=x2-x-2， 22325顶点D的坐标为， 28作出点C关于x轴的对称点C，则C，OC=2 连接CD交x轴于点M， 根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小 设抛物线的对称轴交x轴于点E EDy轴， OCM=EDM，COM=DEM COMDEM OMOC=， EMEDm2即， =325-m2824m= 41故选B 全力以赴赢在环雅 18 中国教育培训领军品牌 点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，作出辅助线，找对相似三角形 对应训练 3. 如图，MN为O的直径，A、B是O上的两点，过A作ACMN于点C，过B作BDMN于点D，P为DC上的任意一点，若MN=20，AC=8，BD=6，则PA+PB的最小值是 考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理 专题：探究型 分析：先由MN=20求出O的半径，再连接OA、OB，由勾股定理得出OD、OC的长，作点B关于MN的对称点B，连接AB，则AB即为PA+PB的最小值，BD=BD=6，过点B作AC的垂线，交AC的延长线于点E，在RtABE中利用勾股定理即可求出AB的值 解答：解：MN=20， O的半径=10， 连接OA、OB， 在RtOBD中，OB=10，BD=6， OD=OB-BD=10-6=8； 同理，在RtAOC中，OA=10，AC=8， OC=OA-AC=10-8=6， CD=8+6=14， 作点B关于MN的对称点B，连接AB，则AB即为PA+PB的最小值，BD=BD=6，过点B作AC的垂线，交AC的延长线于点E， 在RtABE中， AE=AC+CE=8+6=14，BE=CD=14， AB=22222222AE2+B¢E2=142+142=142 故答案为：142 全力以赴赢在环雅 19 中国教育培训领军品牌 点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键 考点三：中心对称图形 例4 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是 A B C D 考点：中心对称图形；轴对称图形 分析：依据轴对称图形与中心对称的概念即可解答 解答：解：B选项是轴对称也是中心对称图形，C、D选项是轴对称但不是中心对称图形，A选项只是中心对称图形但不是轴对称图形 故选A 点评：对轴对称与中心对称概念的考查： 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心 对应训练 4下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是来源:Zxxk.ComA B C D 考点：中心对称图形；轴对称图形 分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案 解答：解：A、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； B、此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误； C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确； D、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误 故选C 点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴 考点四：平移旋转的性质 例5 如图，将周长为8的ABC沿BC方向平移1个单位得到DEF，则四边形ABFD的周长为 A6 B8 C10 D12 全力以赴赢在环雅 20 中国教育培训领军品牌 考点：平移的性质 分析：根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC即可得出答案 解答：解：根据题意，将周长为8个单位的等边ABC沿边BC向右平移1个单位得到DEF， AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC； 又AB+BC+AC=8， 四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10 故选；C 点评：本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等得到CF=AD，DF=AC是解题的关键 例6 如图，O是正ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO，下列结论：BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60°得到；点O与O的距离为4；AOB=150°；S四边形AOBO=6+33；SAOC+SAOB=6+A B 93其中正确的结论是 4C D 考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理 分析：证明BOABOC，又OBO=60°，所以BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论正确； 由OBO是等边三角形，可知结论正确； 在AOO中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故AOO是直角三角形；进而求得AOB=150°，故结论正确； S四边形AOBO=SAOO+SOBO=6+43