初三《圆》知识点及定理.docx

初三圆知识点及定理高图教育 数学教研组 卢老师专用 圆知识点及定理 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 Þ d<r Þ 点C在圆内； 2、点在圆上 Þ d=r Þ 点B在圆上； 3、点在圆外 Þ d>r Þ 点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 Þ d>r Þ 无交点； 2、直线与圆相切 Þ d=r Þ 有一个交点； 3、直线与圆相交 Þ d<r Þ 有两个交点； BArdCdO四、圆与圆的位置关系 外离Þ 无交点 Þ d>R+r； 外切Þ 有一个交点 Þ d=R+r； 相交Þ 有两个交点 Þ R-r<d<R+r； 内切Þ 有一个交点 Þ d=R-r； 内含Þ 无交点 Þ d<R-r； dR图1rRdr图2五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： AB是直径 ABCD CE=DE 弧BC=弧BD 弧AC=弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 A图4ddR图3rdrRRr图5rdd=rrd 即：在O中，ABCD 弧AC=弧BD - 1 - COADOECBDB高图教育 数学教研组 卢老师专用 六、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：ÐAOB=ÐDOE；AB=DE； OC=OF； 弧BA=弧BD 七、圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：ÐAOB和ÐACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 ÐAOB=2ÐACB 2、圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在O中，ÐC、ÐD都是所对的圆周角 ÐC=ÐD 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 即：在O中，AB是直径 或ÐC=90° ÐC=90° AB是直径 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在ABC中，OC=OA=OB ABC是直角三角形或ÐC=90° 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 BACDBOCACBODEF 即：在O中， 四边形ABCD是内接四边形 ÐC+ÐBAD=180° ÐB+ÐD=180° ÐDAE=ÐC 九、切线的性质与判定定理 切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 C 即：MNOA且MN过半径OA外端 MN是O的切线 性质定理：切线垂直于过切点的半径 BOA 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 MODCANBOAC十、切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：PA、PB是的两条切线 PA=PB PO平分ÐBPA 十一、圆幂定理 AAPBOBOA相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在O中，弦AB、CD相交于点P， PA×PB=PC×PD 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 即：在O中，直径ABCD， BOPCCBOEDADAE- 2 - 高图教育 数学教研组 卢老师专用 CE=AE×BE 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即：在O中，PA是切线，PB是割线 PA=PC×PB 22行：OD:BD:OB=1:3:2； ADPCOBE正四边形 DOAE同理，四边形的有关计算在Rt中进行， OE:AE:O=A1:1:：2正六边形 同理，六边形的有关计算在RtDOAB中进行，BOACED割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 即：在O中，PB、PE是割线 PC×PB=PD×PE 十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图：O1O2垂直平分AB。 即：O1、O2相交于A、B两点 O1O2垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式： 公切线长： AB2=CO12=O1O22-CO22；RtDO1O2C中，外公切线长：CO2是半径之差； 内公切线长：CO2是半径之和 。 十四、圆内正多边形的计算 正三角形 在O中ABC是正三角形，有关计算在RtDBOD中进BDAOCAB:OB:OA=1:3:2. 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 AO1BO2AOB1、扇形：弧长公式：l=npR； 180A扇形面积公式： S=npR1=lR 36022OSlBn：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积 ACO2BO12、圆柱： 圆柱侧面展开图 S表=S侧+2S底=2prh+2pr B2ADD1母线长底面圆周长B1圆柱的体积：V=prh 圆锥侧面展开图 S表=S侧+S底=pRr+pr - 3 - A22CC1ORCrB高图教育 数学教研组 卢老师专用 圆锥的体积：V=prh 十六、圆中常见的辅助线 1）作半径，利用同圆或等圆的半径相等 2）作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明 3）作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算 4）作弦构造同弧或等弧所对的圆周角 5)作弦、直径等构造直径所对的圆周角直角 6)遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角 7)遇到切线，作过切点的半径，构造直角 8)欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径 9)遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点 10)遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点 11)遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线 12)遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线 13)求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边 十七、圆中较特殊的辅助线 1)过圆外一点或圆上一点作圆的切线 2)将割线、相交弦补充完整 3)作辅助圆 - 4 - 132例1如图23-11，CA为O的切线，切点为A，点B在O上，如果CAB55°，那么AOB等于( ) A35° C110° B90° D120° 例2 如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于( ) AD B C例3 如图23-12，在半径为4的O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，延长CM交O于E，且EM>MC，连结OE、DE， 求：EM的长 例4如图23-13，AB是O的直径，PB切O于点B，PA交O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程(其中m为实数)的两根 (1)求证：BEBD； (2)若，求A的度数