分式方程与无理方程.docx

分式方程与无理方程初中数学辅导网 分式方程 一、教学重点和难点 1教学重点： (1)可化为一元一次方程的分式方程的解法 (2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想 2教学难点：理解解分式方程时可能无解的原因 3疑点及分析和解决办法： 解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根让学生在学习中讨论从而理解、掌握 二、教学过程 第一步：引入新课 1回忆：一元一次方程的解法，并且解方程2提出本章引言的问题： 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为v千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程10020+v=60. 20-vx+22x-3-=2 46第二步：归纳定义 1提问：方程10060和方程=20+v20-vx+22x-3-=2有何不同？ 462归纳： 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程. 注意：分母是否含有末知数是区别分式方程与整式方程的关键。 3巩固练习：下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程? (2)13=x-2x1 京翰教育中心 初中数学辅导网 43x(x-1)x-2x7(4)-1(1)） =x + y = = x233-xx2x+11x-1(3)=+3x=1x-=22x+=10p2 x x 5第三步：探究分析 1提问：如何来解分式方程10060呢？ =20+v20-v2归纳：解分式方程的基本思想和解法 分式方程-整式方程-解整式方程-检验 3练习 32(1)=xx-3 ( x=9 ) 1 10(2)=2x-5x-25 ( 增根 x=5) 3x(3)=-1(x-1)(x+2)x-1第四步：学习小结 1解分式方程的基本思想： 2解分式方程的方法： 把分式方程“转化”为整式方程，再利用整式方程的解法求解 在方程的两边同乘最简公分母，就可约去分母，化成整式方程 3解分式方程的解的两种情况： 所得的根是原方程的根、所得的根不是原方程的根 4原方程的增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根 5产生增根的原因：在把分式方程转化为整式方程时，分式的两边同时乘以了零 6验根的方法：把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零。使最简公分母值为零的根是增根，不为零的根是原方程的根 第五步：随堂练习 京翰教育中心 2 初中数学辅导网 (1)122x=x+3(2)xx+1=2x3x+3+1 (3)2x-1=4x2-1(4)51x2+x-x2-x=0 11x-2+3=2-x1如果 有增根,那么增根为x=( ) x-3x-1=mx-12解关于x的方程 产生增根,则常数m=( 京翰教育中心 ) 3 初中数学辅导网 无理方程 知识梳理： 1、 无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程 2、 有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程；有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程 3、 解无理方程基本思路：通过乘方，把无理方程转化为有理方程 4、 无理方程的增根： 乘方之后所得整式方程的根，代入原无理方程检验得不是原无理方程的根 5、 解分式方程基本步骤： 去根号，把无理方程化为有理方程； 解这个有理方程； 验根；写出原方程的根 1、下列方程中，不是无理方程的是 x+1=x； 2x+3=1； x+2-x-1=1； 2x+3-x=1 2、下列方程中，有实数根的方程是 x+1=0； x-2+221=0； x+1=2； 2x-2=4 3、x+2=-x 4、x+ 京翰教育中心 4 初中数学辅导网 5、x-1×2x+6-x=3 6、2x-4-x+5=1 分式方程和无理方程的解法 一、可化为一元二次方程的分式方程 1去分母化分式方程为一元二次方程 解方程 1x+2+4x2x2-4-x-2=1 分析：去分母，转化为整式方程 解：原方程可化为： 1x+2+4x(x+2)(x-2)-2x-2=1 方程两边各项都乘以x2-4： (x-2)+4x-2(x+2)=x2-4 即3x-6=x2-4， 整理得：x2-3x+2=0 解得：x=1或x=2 检验：把x=1代入x2-4，不等于0，所以x=1是原方程的解； 把x=2代入x2-4，等于0，所以x=2是增根 京翰教育中心 5 初中数学辅导网 所以，原方程的解是x=1 说明： (1) 去分母解分式方程的步骤： 把各分式的分母因式分解； 在方程两边同乘以各分式的最简公分母； 去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； 解一元二次方程； 验根 (2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大而分式方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为0的根因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为0若为0，即为增根；若不为0，即为原方程的解 2用换元法化分式方程为一元二次方程 x223x2解方程 -4=0 x-1x-1分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难但注意到方程的结构x2特点，设=y，即得到一个关于y的一元二次方程最后在已知y的值的情况下，用x-1x2去分母的方法解方程=y x-1x2解：设=y，则原方程可化为：y2-3y-4=0 解得y=4或y=-1 x-1x222=4，(1)当y=4时，去分母，得x=4(x-1)Þx-4x+4=0Þx=2； x-1x2-1±5=-1Þx2=-x+1Þx2+x-1=0Þx=(2)当y=-1时， x-12检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0 所以，x=2，x=-1±5都是原方程的解 2京翰教育中心 6 初中数学辅导网 说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出y的值，而没有求到原方程的解，即x的值 8(x2+2x)3(x2-1)解方程 +2=11 2x-1x+2xx2+2xx2-1分析：注意观察方程特点，可以看到分式2与2互为倒数因此，可以设x-1x+2xx2+2x=y，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程 2x-1x2-11x2+2x= 解：设2=y，则2x+2xyx-1原方程可化为：8y+33=11Þ8y2-11y+3=0Þy=1或y= y8x2+2x1(1)当y=1时，2=1Þx2+2x=x2-1Þx=-； 2x-1(2)当y= 23时，x2+2x=3Þ8x2+16x=3x2-3Þ5x2+16x+3=0Þx=-3或x=-1 85x-18检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0 所以，原方程的解是x=-11，x=-3，x=- 25说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想 二、可化为一元二次方程的无理方程 根号下含有未知数的方程，叫做无理方程 1平方法解无理方程 解方程 x+7-x=1 分析：移项、平方，转化为有理方程求解 京翰教育中心 7 初中数学辅导网 解：移项得：x+7=x+1 两边平方得：x+7=x+2x+1 移项，合并同类项得：x+x-6=0 解得：x=-3或x=2 检验：把x=-3代入原方程，左边¹右边，所以x=-3是增根 把x=2代入原方程，左边 = 右边，所以x=2是原方程的根 22所以，原方程的解是x=2 说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤： 移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；两边同时平方，得到一个整式方程；解整式方程；验根 解方程 3x-2+x+3=3 分析：直接平方将很困难可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式，再用例4的方法解方程 解：原方程可化为：3x-2=3- x+3 两边平方得：3x-2=9-6x+3+x+3 整理得：6x+3=14-2xÞ3x+3=7-x 两边平方得：9(x+3)=49-14x+x 整理得：x-23x+22=0，解得：x=1或x=22 检验：把x=1代入原方程，左边=右边，所以x=1是原方程的根 把x=22代入原方程，左边¹右边，所以x=22是增根 22所以，原方程的解是x=1 说明：含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤： 京翰教育中心 8 初中数学辅导网 移项，使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；一下步骤同例4的说明 2换元法解无理方程 解方程 3x+15x+2x+5x+1=2 分析：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现：3x+15x+3=3(x+5x+1)因此，可以设x+5x+1=y，这样就可将原方程先转化为关于y的一元二次方程处理 2222解：设x+5x+1=y，则x+5x+1=yÞ3x+15x=3(y-1) 2222222原方程可化为：3(y-1)+2y=2， 即3y+2y-5=0，解得：y=1或y=-2225 3(1)当y=1时，x+5x+1=1Þx+5x=0Þx=-1或x=0； (2)当y=-52时，因为x+5x+1=y³0，所以方程无解 3检验：把x=-1,x=0分别代入原方程，都适合 所以，原方程的解是x=-1,x=0 说明：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了化归思想 A 组 1解下列方程： (1) 2x-1x-5= (x-1)(x-2)(x-2)(x-3)21=-1 2y-4y+2(2) xx+7 =222x-11x-21x-12x+35152+=1 2x-42-x9 (3) (4) 京翰教育中心 初中数学辅导网 2用换元法解方程：x2+3解下列方程： (1) 4=4 x2x+2=-x (2) x-5+x=7 (3) x+3-2=x 4解下列方程： (1) 3x+1=x+4+1 (2) 2x-4-x+5=1 5用换元法解下列方程： (1) x-12+x=0 (2) x+3x+2x2+3x=6 B 组 1解下列方程： (1) 2x-541 +=22x-3x+2x-4x-2 (2) x-41x-6 =+22x+x-2x-1x-4x-12x4x+-2=0 x+1x-1x-1 (3) 1x+11 =+2x+7(2x-1)(x+7)2x-3x+1(4) 2用换元法解下列方程： x2-5x24(x+1)+14=0 (1) x+1x(x-5)2(x2+1)6(x+1)+2=7 (2) x+1x+1x4+2x2+1x2+1+=2 (3) 2xx3若x=1是方程4解下列方程： x1+=4的解，试求a的值 x+ax-a3(1) 2=2x2-4x-1 x-2x-33x6x2a-x+2= (2) 2x-aa-xx+a5解下列方程： (1) x+2x2-1=3 2 (2) x+10-6x+10=5 (3) 2x-4x+3x-2x+6=15 京翰教育中心 10 2初中数学辅导网 第七讲 分式方程和无理方程的解法答案 A 组 1(1)x=-1 ,(2)x=-1,x=-21,(3)y=0,y=1,(4)x=3,x=-5 2x=±2 3(1)x=-1,(2)x=6,(3)x=5-32 4(1)x=5(2) x=20 5(1)x=9,(2)x=1,x=-4 B 组 1(1)x=-1±13,(2)x=3,(3)x=5,x=-1,(4)x=13 2(1)x=1,x=2,x=-3,x=-4,(2)x=1±2,x=3±174,(3)x=-1 3±22 4(1)x=0,x=2,x=2±322,(2)x=-12a 5(1)x=±2,(2)x=26,(3)x=3,x=-1 京翰教育中心 11