函数的连续性与间断点.docx

函数的连续性与间断点第七节 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 1 增量：变量x从初值x1变到终值x2，终值与初值的差叫变量x的增量，记作Dx，即Dxx1x2。 例1 分析函数y=x2当x由x0=2变到x0+Dx=2.05时，函数值的改变量。 2函数在点连续的定义 定义：设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果自变量x的增量Dx=x-x0趋向于零时，对应的函数增Dyf(x)-f(x0)也趋向于零，则称函数yf(x)在点x0处连续。 定义：设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果函数f(x)当x®x0时的极限存在，即limf(x)=f(x0)，则称函数yx®x0f(x)在点x0处连续。 定义3：设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数e，总存在正数d，使得对于适合不等式x-x0<d的一切x，所对应的函数值f(x)都满足不等式：f(x)-f(x0)<e，则称函数yf(x)在点x0连续。 注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数f(x)在点x0连续，必须同时满足下列三个条件： 函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义 limf(x)存在；limf(x)=f(x0)。 f(x)在点x0有定义）x®x0x®x0 3函数yf(x)在点x0处左连续、右连续的定义： 函数yf(x)在点x0处左连续Ûf(x)在(x0-d,x0内有定义，且x®x0lim-0f(x)=f(x0)。 函数yf(x)在点x0处右连续Ûf(x)在x0,x0+d)内有定义，且x®x0lim+0f(x)=f(x0)。 显然，函数yf(x)在点x0处连续Û函数yf(x)在点x0处既左连续又右连续。 (3)、函数yf(x)在点x0处连续是limf(x)存在的充分条件，而非必要条件。 x®x03、函数在区间上连续的定义 定义4：如果函数yf(x)在某一区间上每一点都是连续的，则称函数yf(x)在该区间上是连续的。 例1：讨论下列函数在区间(-¥,+¥)内的连续性 f(x)=x2 f(x)=cosx f(x)=ex ìsin2xïf(x)=íx2ïîx+ax<0x³0例2：设，试确定b的值，使函数f(x)在x=0处连续。 二、函数的间断点 间断点概念：设函数f(x)在U(x0,d)内有定义，如果函数f(x)在点x0处不连续，则称点x0为函数f(x)的一个间断点。 函数f(x)在点x0连续： 函数f(x)在点x0不连续： 函数f(x)在点x0有定义， 函数yf(x)在点x0没有定义 limf(x)存在； limf(x)不存在 x®x0x®x0Ùlimf(x)=f(x0) limf(x)存在，但f(x)在点x0 没有定x®x0x®x0义， 或limf(x)¹f(x0) x®x0.间断点的分类 设x0为函数f(x)的一个间断点， 1、第一类间断点 f(x0-0)，f(x0+0)都存在， 若f(x0-0)=f(x0+0)，即limf(x)存在，此类间断点称为可去间断点。 x®x0函数f(x)在点x0无定义，函数f(x)在点x0有定义，但limf(x)¹f(x0)。 x®x0若f(x0-0)¹f(x0+0)，即limf(x)不存在，此类间断点称为跳跃间断点。 x®x02. 第二类间断点 f(x0-0)与f(x0+0)中至少有一个不存在。其中有两类特殊的间断点：无穷 间断点和振荡间断点。 例3：讨论下列函数的连续性，若有间断点，指出其类型 f(x)=sin2xx1xf(x)=arctan2f(x)=x-1x-3x-21x2f(x)=sin